Лекции по линалу

Добавил:

Hist Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

Теорема 9.1 Система (9.2) с верхней трапециевидной матрицей совместна

Пусть система (9.1) совместна.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2014

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

- базис в	,	- называются координатами вектора
в этом базисе.	– вектор – столбец (координатный столбец) из координат в базисе
;	- матрица – строка	.

Теорема 6.4 При сложении векторов их координаты в одном базисе складывается, а при умножении

вектора на число его координаты умножаются на это число.
	,

Теорема 6.5	Для того, чтобы элементы				ЛП были линейно зависимы (независимы)
столбцы их	координат		в	каком-нибудь базисе были			линейно зависимы
(независимы).
	- базис в	;
	- базис в	;
« »	- линейно зависимы				(нетривиальная комбинация):
в силу единственности разложения				по базису				-
линейно зависимы.
« » Пусть	столбцы	–	линейно зависимы				(нетривиальная
комбинация):		. Рассмотрим	линейную комбинацию
	(	- столбец координат				)
Аналогично для линейной независимости.
Пусть	и	- два базиса. Разложим векторы базиса по базису						:
		,						(6.1)

называется матрицей перехода от базиса к базису .

				(6.2)
Теорема 6.6 Матрица перехода от одного базиса к другому не вырождена.
Пусть		один из столбцов матрицы		есть линейная комбинация других столбцов, , в
силу линейности координат, один из векторов				(6.1) линейно выражается через другие,
,	- линейно зависимы, , противоречие.
Теорема 6.7 Если		, то	.	11



Теорема 6.8	, то
		(Т. 6.3 – единственность разложения)

7. Определение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), матричная форма записи.

Квадратные СЛАУ, правило Крамера.

Определение 7.1 Системой ЛАУ с неизвестными называется совокупность соотношений вида:

(7.1)

- неизвестные, - коэффициенты системы, - свободные

члены.

Упорядоченная совокупность чисел называется решением системы (7.1), если при подстановке этих чисел в систему вместо неизвестных соответственно каждое уравнение обращается в тождество.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной,

если не имеет ни одного решения.

Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения.

Исследовать и решить систему – это значит:

-установить, совместна она или нет;

-если совместна, установить, является ли она определенной или неопределенной, при этом: в

случае определенности найти единственное решение, в случае неопределенности описать множество всех решений.

	- основная матрица.
	- столбец свободных членов.
	- столбец неизвестных.
(7.1)	(7.2)

	12

		(7.3)
столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы		, коэффициентами
которой служат компоненты	решения.

Определение 7.2 Две СЛАУ с одинаковым числом неизвестных называются эквивалентными, если множества решений этих систем совпадают.

Теорема 7.1 Умножение обеих частей слева на невырожденную матрицу приводит к ее эквивалентной системе.

Пусть

(1), если

(2) – решение (2). Наоборот, если - решение (2), т.е.

умножим на

Системы с квадратной невырожденной матрицей.

Теорема 7.2 СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей совместна и имеет единственное

решение.

- решение системы, т.к.

Пусть

- другое решение, то

Запишем

покомпонентно:

- разложение определителя по – тому

столбцу

	,	(7.4)




где		.

(7.4) называется правилом Крамера.

8. Исследование совместности СЛАУ. Критерий совместности.

(8.1)

Рассмотрим вопрос о совместности системы (8.1).

	- расширенная матрица системы (8.1),
Теорема 8.1 (теорема Кронекера – Капелли) СЛАУ совместна
«» Пусть (8.1) совместна			:	- линейная комбинация
		(ранг не изменится, если вычеркнуть или приписать столбец, который
является линейной комбинацией других столбцов).
« »		. Возьмем в	какой-нибудь базисный минор. Т.к.		, то он же
будет базисным минором и для . По теореме о базисном миноре последний столбец матрицы
есть линейная комбинация базисных столбцов, т.е. столбцов матрицы				, следовательно,		есть
линейная комбинация столбцов , следовательно, система совместна.
Схема исследования совместности системы.
Пусть (8.1) совместна и			. Не нарушая общности, будем считать, что базисный

минор матрицы находится в левом верхнем углу:

Рассмотрим укороченную систему:

(8.2)

Теорема 8.2 Укороченная система эквивалентна исходной: (8.1) ~ (8.2).

1) обе системы содержат одинаковое число неизвестных; 2) любое решение (8.1) – решение (8.2); 3) докажем, что любое решение (8.2) – есть решение (8.1).

В расширенной матрице системы (8.1) первые строк базисные, следовательно, все остальные

строки – линейная комбинация базисных строк. Следовательно, любое уравнение (8.1), начиная с

-	линейная комбинация первых уравнений,		следовательно, любое решение первых
уравнений есть решение (8.1).
Поэтому будем исследовать укороченную систему (8.2).
Если	, следовательно, (8.2) имеет единственное решение, как система с квадратной
невырожденной матрицей.
Пусть	. Неизвестные	, коэффициенты	при которых входят в базисный минор,
называются главными, а остальные неизвестные			- свободными. Запишем (8.2) в виде:

		.	(8.3)

		14

Придав свободным неизвестным произвольные значения , получим систему уравнений относительно неизвестных :

	.		(8.4)

Система (8.4) имеет единственное решение		, следовательно, совокупность
- решение системы (8.1).

Теорема 8.3 Придавая свободным неизвестным произвольные значения и вычисляя значения

главных неизвестных из системы (8.4), можно получить все решения (8.1).
Пусть		– произвольное решение. Возьмем	в качестве	;
дальше из (8.4) найдем		- значения главных неизвестных. Т.к.		- решение
(8.2)	- решение (8.4). Но (8.4) имеет единственное решение, следовательно, получим
только	.

Итак, мы нашли правило, которое позволяет получить любое решение (8.2), следовательно, (8.1).

Теорема 8.4	СЛАУ с неизвестными имеет единственное решение			.
«»	, следовательно, существует единственное решение.
« » существует единственное решение и		. Следовательно,	существует хотя		бы одно
свободное неизвестное, следовательно, существует множество решений.
Однородная СЛАУ:
				(8.5)


(8.5) всегда совместна, т.к. всегда существует тривиальное решение:			.
Теорема 8.5	Однородная СЛАУ с неизвестными имеет нетривиальное решение			.
Теорема 8.6	Однородная СЛАУ с квадратной матрицей имеет нетривиальное решение					.
Теорема 8.6						.
Вернемся к (8.4). Разрешим систему относительно главных неизвестных:
	.			(8.6)

Соотношения (8.6) при различных описывают множество всех решений системы и называются общим решением системы. В отличие от общего, конкретное решение где - известные числа, называется частным решением.

9. Метод Гаусса исследования и решения систем.

1. Системы с трапециевидной матрицей.

. (9.1)

- верхняя трапециевидная матрица. Расширенная матрица имеет вид:

(9.2)

*В качестве базисного минора выберем , расположенный в верхнем углу.

*Укороченная система состоит из уравнений.

*Если , то система (9.1) станет системой с треугольной матрицей:

(9.3)

которая имеет единственное решение. Систему решаем последовательно снизу вверх.

* Если , то будут свободными неизвестными, и система относительно главных неизвестных будет иметь вид:

(9.4)

Общее и частное решения исходной системы находятся из (9.4) с треугольной матрицей. 2. Элементарные преобразования системы уравнений.

Определение 9.1 Элементарными преобразованиями уравнений называются преобразования следующих типов: 1) перестановка местами двух уравнений системы; 2) умножение какого-либо уравнения системы на число отличное от нуля ; 3) прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на число .

Теорема 9.2 Элементарные преобразования СЛАУ приводят ее к эквивалентной системе.

█ Элементарные преобразования системы означают элементарные преобразования строк расширенной матрицы , что равносильно умножению слева на матрицы элементарных

преобразований , или умножение слева на невырожденные матрицы, что приводит к эквивалентной системе (теорема 7.1).█

3. Приведение матрицы общего вида к системе с верхней трапециевидной матрицей.

Рассмотрим . С помощью элементарных преобразований строк и перестановки столбцов матрицы можно привести к верхней трапециевидной форме. Решение полученной системы отличается от исходной только нумерацией неизвестных.

Метод Гаусса исследования и решения СЛАУ состоит в приведении ее к системе с верхней трапециевидной матрицей с последующим исследованием и решением полученной системы. При этом, если в процессе преобразования использовались перестановки столбцов основной матрицы ,

то в полученных решениях необходимо восстановить исходную нумерацию неизвестных.

Процесс приведения системы к системе с трапециевидной матрицей называется прямым ходом метода Гаусса, а процесс решения системы с треугольной матрицей – обратным ходом.

10. Линейное пространство решений однородной СЛАУ.

Теорема 10.1 Множество всех решений однородной СЛАУ	с неизвестными является
линейным подпространством линейного пространства .
█	- линейное подпространство

█

Определение 10.1 Произвольный базис пространства решений однородной СЛАУ называется фундаментальной системой решений (ФСР).

ФСР существует лишь в том случае, когда однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение. При этом СУ может обладать многими ФСР. Однако все эти системы состоят из одинакового числа векторов, равного максимальному числу линейно независимых решений однородных СЛАУ.

Теорема 10.2 Размерность пространства решений однородной СЛАУ					с неизвестными
равна		, где	.
равна		, где	.
█ Построим ФСР. Пусть				- главные неизвестные. Придадим свободным неизвестным
			следующие	наборов решений:	- таких
	. Для любого из наборов найдем:
	. Для любого из наборов найдем:

(10.1)

Решения (10.1) обладают следующими свойствами.
1.	– линейно независимы, т.к. матрица имеет	:

(10.2)

2. Покажем,

любое

решение

является линейной комбинацией

. Действительно,

обозначим

. Пусть

- решение

(т.к.

решения). Найдем его.

Придадим свободным неизвестным значения

. Из соотношений

(10.1) видно,

что

, следовательно, укороченная система будет однородной,

имеющей единственное тривиальное решение

- ФСР. █

Построенная ФСР (10.1) называется нормальной ФСР. Матрица

(10.2) называется фундаментальной

матрицей. Общий принцип построения ФСР: так как размерность пространства решений однородной

СЛАУ равна

, то для построения ФСР достаточно найти любые

линейно независимых

решений. Для этого достаточно свободным неизвестным придать

линейно независимых

наборов значений, т.е. наборов вида

для которых

Если для любого из наборов найти соответствующие значения главных неизвестных, то получим

линейно независимых решений. Общее решение может быть записано в виде

, или с помощью матрицы (10.2): .

11. Неоднородные СЛАУ.

Пусть

(11.1)

- неоднородная СЛАУ.

(11.2)

называется приведенной однородной системой для системы (11.1). Легко проверить: 1) сумма решений неоднородной и приведенной однородной систем является решением неоднородной системы; 2) разность двух решений неоднородной системы является решением приведенной однородной системы.

Теорема 11.1 Общее решение (11.1) представляется в виде

(11.3)

где

- общее решение приведенной однородной системы,

- частное решение неоднородной

системы.

█ (11.3) – решение (11.1), т.к.

Пусть - какое-нибудь решение (11.1), рассмотрим

- решение приведенной однородной

системы:

█

Выражение

называется представлением общего решения

неоднородной СЛАУ через ФСР.

		12. Изоморфизм линейных пространств.
Предварительные замечания.
Дано	- два множества.
Определение. Отображением			множества		во множество	называется закон,	посредством
которого	ставится в соответствие некоторый однозначно определенный элемент						.
Запись:	или	.
- образ элемента при отображении				;	- прообраз элемента .
Если	, то говорят об отображении в себя.
Определение. Образом отображения				называется множество
Определение. Отображение				называется:
* инъективным, если из того, что					, или	имеет не более одного
решения;
					19

* сюръективным (отображение «на»), если					, т.е.			(существует хотя
бы одно решение);
* биективным (или взаимно однозначным), если оно инъективно и сюръективно, т.е.
	.
Определение 12.1			и	- ЛП над общим полем .		и	называются изоморфными,			если
существует биективное отображение					, которое сохраняет законы композиции, т.е.
	и		: 1)		, 2)		.
Обозначение:
Отображение		называется изоморфизмом ЛП.
Примеры: геометрические пространства							(изоморфны набору
координат).
Простейшие свойства изоморфных отображений.
1. При изоморфизме нулевой вектор переходит в нулевой вектор.
Пусть
2. Линейно независимые векторы переходят в линейно независимые.
Пусть линейно независимые векторы:
Пусть линейно независимые векторы:
Пусть		- линейно зависимы			(нетривиальная комбинация):
		. Рассмотрим
							противоречие			-
линейно независимы.
Теорема 12.1 (критерий изоморфности ЛП конечной размерности)
Два ЛП	и	над общим полем изоморфны когда их размерности совпадают.
« »
Пусть		-	базис	в					- линейно
независимы (свойство 2). Возьмем					и рассмотрим соответствующий ему				:	;
разложим	по базису

- разложение

по линейно независимой системе векторов

- это базис в

« »

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Линейная алгебра

#
10.05.2014218 Кб20Билеты по Линалу (2011).jpg
#
10.05.201429 Кб63Билеты по линалу.doc
#
10.05.201433 Кб24Билеты.doc
#
10.05.20144 Мб99Еще шпоры по ЛинАл.doc
#
10.05.2014501 Кб64Лекции по ЛинАл.pdf
#
10.05.20144 Мб72Лекции по линалу.pdf
#
10.05.201498 б28Лекции.txt
#
10.05.2014580 Кб127линал (шпоры)13.doc
#
10.05.2014112 Кб88Шпоры по лин. ал.docx
#
10.05.2014580 Кб207шпоры по линалу.doc