Механизмы функционирования многоуровневых организационных систем - Новиков Д.А.

идеального агрегирования в механизмах планирования (напомним, что

выше было предложено процесс введения в заданной двухуровневой АС промежуточных уровней управления называть децентрализацией АС или децентрализацией механизма управления)

Если на класс возможных трехуровневых АС не наложено никаких ограничений, то ответ на поставленный вопрос, очевидно, положителен: взяв n = N и выбрав в качестве функций агрегирования тождественное преобразование (такую трехуровневую АС выше предложено называть тривиальной), получим механизм, удовлетворяющий (2.1.1). Содержа- тельно, в этом случае число промежуточных центров равно числу АЭ и агрегирование отсутствует – вся информация без "искажений" передается от АЭ центру.

Сложнее дело обстоит в случае, когда класс допустимых трехуров- невых АС ограничен, например, может быть фиксирован состав подсис- тем и процедура планирования для подсистем, или могут быть фиксиро- ваны функции агрегирования и т.д. Понятно, что в общем случае не для всякой двухуровневой АС (не для всяких ограничений) можно сконст- руировать эквивалентную в смысле (2.1.1) трехуровневую активную систему.

Из качественного анализа, проведенного выше, следует достаточно очевидный вывод: без учета информационного и других факторов введе- ние дополнительных уровней планирования – управления – не увеличи- вает эффективности управления системой, точнее – заданным набором АЭ. Следовательно, возникает вопрос: в каких случаях введение проме- жуточных уровней управления не снижает эффективности. Ответу на этот вопрос посвящены нижеследующие разделы данной главы.

2.2. ЗАДАЧИ ИДЕАЛЬНОГО АГРЕГИРОВАНИЯ И ПРОИЗВОЛЬНОЙ ДЕЦЕНТРАЛИЗАЦИИ В МЕХАНИЗМАХ ПЛАНИРОВАНИЯ

В соответствии с (2.1.1) для любого механизма планирования в трех-

уровневой АС можно построить эквивалентный механизм планирования в двухуровневой АС с тем же составом активных элементов.

Пусть имеется двухуровневая АС с механизмом планирования gij(s). Обозначим Ξπ = {πij} – класс процедур планирования в подсистемах, ΞΠ = {Πj} – класс процедур планирования в метасистеме, ΞQ = {Qj} – класс процедур агрегирования, Ξ = {Ξπ, ΞΠ, ΞQ} – класс механизмов планирования в трехуровневой АС.

101

Будем говорить, что механизм планирования gij(s) в двухуровневой АС допускает идеальное агрегирование в классе Ξ, если для некоторой нетривиальной соответствующей (с тем же множеством АЭ и центром)

трехуровневой АС существует механизм планирования π~ ij (s), опреде- ляемый (см. также (2.1.1)):

(s) = πij (sj, Πj(Q1(s1), Q2(s2), ..., Qn(sn))),

который принадлежит Ξ и удовлетворяет: (2.2.2) s Ω' π~ ij (s) = gij(s).

Будем говорить, что механизм планирования gij(s) в двухуровневой АС допускает произвольную децентрализацию в классе Ξ, если для любой соответствующей нетривиальной трехуровневой АС существует меха-

низм планирования π~ ij(s), определяемый (2.2.1), который принадлежит Ξ и удовлетворяет (2.2.2).

Содержательно, при идеальном агрегировании существует хотя бы одна соответствующая нетривиальная трехуровневая АС (хотя бы одно разбиение АЭ на подсистемы) с эквивалентным механизмом планирова- ния. Если же допустима произвольная децентрализация, то число таких АС ≈ 2n, то есть АЭ могут быть распределены по подсистемам произ-

вольным образом и для каждого из разбиений найдется эквивалентный механизм планирования.

Очевидно, что любой механизм, допускающий при некоторых огра- ничениях произвольную децентрализацию, допускает при тех же ограни- чениях и идеальное агрегирование (но не наоборот). Более того, можно утверждать, что, если механизм планирования в двухуровневой АС обладает некоторой эффективностью, и/или неманипулируем и допускает идеальное агрегирование, то эквивалентный механизм планирования в соответствующей трехуровневой АС обладает в точности той же эффек- тивностью и/или неманипулируем (оба свойства непосредственно следу- ют из (2.2.2) и определений эффективности и неманипулируемости

[22,24]).

К сожалению, общих необходимых и/или достаточных условий иде-

ального агрегирования и произвольной децентрализации для механизмов планирования на сегодняшний день не существует – этот класс задач, с одной стороны, чрезвычайно трудоемок (даже такого сильного требова-

ния как существование РДС оказывается недостаточно для идеального агрегирования – см. пример ниже), а с другой стороны – практически не исследован. Поэтому целесообразным представляется изучение на первом этапе некоторого множества конкретных механизмов планирования,

102

результаты исследования которых, быть может, облегчат в будущем решение общей задачи. Поэтому последующие разделы настоящей главы содержат конструктивные доказательства произвольной децентрализуе- мости ряда широко распространенных на практике механизмов планиро- вания.

2.3. ДЕЦЕНТРАЛИЗАЦИЯ МЕХАНИЗМОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСА

Напомним постановку задачи распределения ресурса в двухуровне- вой активной системе [16,17,111]. Пусть в распоряжении центра имеется ресурс в количестве R. Стандартная постановка задачи распределения ресурса подразумевает нахождение такого его распределения между АЭ, которое максимизировало бы некоторый критерий эффективности – например, суммарную эффективность использования ресурса активными элементами. Если эффективность использования ресурса конкретным АЭ не известна центру, то он вынужден использовать сообщения АЭ, напри- мер, о требуемых количествах ресурса. Понятно, что, если имеется дефи- цит ресурса, то возникает проблема манипулируемости – АЭ могут сообщать центру недостоверную информацию, стремясь получить опти- мальное для себя количество ресурса. Перейдем к описанию формальной модели.

Пусть АЭ сообщают центру информацию sij Î Wij = [0;Dij] Í Â1 –

заявки на ресурс, i = 1,n j , j = 1,n . Центр на основании сообщенной ему

информации назначает АЭ планы (выделяет ресурс) xij = gij(s,R), где gij – процедура распределения ресурса (планирования). Содержательно, точки пика rij Î Â1 (точки максимума целевых функций АЭ) соответствуют оптимальному для них количеству ресурса. В дальнейшем мы будем

предполагать выполненной гипотезу дефицитности: årij > R. Относи-

i, j

тельно процедуры распределения ресурса будем предполагать, что gij(s,R) – непрерывны, строго монотонно возрастают по sij и R и строго монотонно убывают по skl, k ¹ i, l ¹ j; весь ресурс распределяется полно-

стью: å xij = R; ресурс делим в произвольных пропорциях, причем

i, j

любой АЭ может отказаться от ресурса вообще [17,24]:

103

s-ij Ω-ij = ∏Wkl gij(0, s-ij, R) = 0.

k¹i, j¹l

Вработах [16,17] доказано, что для любого механизма из рассматри- ваемого класса механизмов распределения ресурса существует эквива- лентный прямой механизм, то есть неманипулируемый механизм, в

котором все АЭ сообщают оценки точек пика и получают в равновесии то же количество ресурса, что и в исходном механизме.

Перейдем к рассмотрению механизмов распределения ресурса в трехуровневых АС. Пусть АЭ сообщают промежуточным центрам свои

заявки sij Ωij = [0,Dij] 1, затем каждый из промежуточных центров

n j

сообщает центру сумму поступивших к нему заявок S j = Qj(sj) = åsij ,

i=1

после чего происходит распределение ресурса R между подсистемами: Xj = Πj(S,R), и, наконец, ресурс распределяется между АЭ внутри каждой из подсистем: xij = πij(sj,Xj)..Относительно (n+1) процедуры распределения ресурса {Π(.), π.j} будем считать, что они удовлетворяют тем же предпо- ложениям, что и описанные выше механизмы распределения ресурса в двухуровневых АС.

Таким образом, характерной особенностью механизмов распределе- ния ресурса в многоуровневых АС, как подкласса механизмов планиро- вания, является то, что агрегированием информации в подсистемах является суммирование заявок АЭ.

Для механизмов распределения ресурса можно переформулировать общее утверждение, приведенное в разделе 2.1: для любого механизма

распределения ресурса в трехуровневой АС существует эквивалентный механизм распределения ресурса в соответствующей двухуровневой АС. Обратное, естественно, в общем случае не верно. Приведем иллюстри- рующий это утверждение пример.

Пример 2.3.1. Рассмотрим механизм обратных приоритетов [17] в

двухуровневой АС:

где ηij(sij) – функция приоритета АЭij, убывающая по его заявке, а γ опре- деляется из балансового ограничения:

å min [sij, γ ηij(sij)] = R.

i, j

104

i, j

АЭij всегда может получить любое меньшее количество ресурса, поэтому доминантной стратегией АЭij является sijd = min {rij, s*ij} [17,21,24].

Активные элементы, получающие в равновесии абсолютно опти- мальное для себя количество ресурса, называются "диктаторами" или приоритетными [17,24]. Элементы, получившие ресурс в количестве, меньшем оптимального, называются проигравшими или неприоритетны- ми.

Пусть имеются N = 4 активных элемента со следующими парамет-

рами: A1 = 1, A2 = 9, A3 = 4, A4 = 16, r1 = R/5, r2 = R/5, r3 = 3R/10, r4 = R/2. Вычисляем: s1* = R/10, s2* = 3R/10, s3* = R/5, s4* = 2R/5 и находим количе-

ство ресурса, получаемого АЭ в равновесии: x1* = 4R/35, x2* = R/5, x3* = 8R/35, x4* = 16R/35. Видно, что приоритетным является второй АЭ, остальные АЭ получили строго меньшее, чем желаемое, количество ресурса.

Рассмотрим теперь трехуровневую АС, в которой в первую подсис- тему входят первый и второй АЭ, а во вторую – третий и четвертый, причем на всех уровнях используется механизм обратных приоритетов. Будем рассматривать подсистемы как один АЭ, параметры которого определяются по параметрам АЭ следующим образом:

Содержательные интерпретации такого представления очевидны.

Использование механизма обратных приоритетов при распределении ресурса между подсистемами приводит к: X1* = 2R/5, X2* = 3R/5. Распре- деляя ресурс в подсистемах, опять же, в соответствии с принципом об- ратных приоритетов, получаем: x1* = R/5, x2* = R/5, x3* = R/5, x4* = 2R/5. Итак, равновесное распределение отличается от имевшего место в двух- уровневой АС, причем значение функции предпочтения первого АЭ достигло абсолютного максимума "за счет" уменьшения количества ресурса, получаемого третьим и четвертым АЭ.

Попробуем перегруппировать АЭ – в первую подсистему включим первый и четвертый АЭ, а во вторую подсистему – второй и третий. Получаем: X1* = R/2, X2* = R/2. Распределяя ресурс в подсистемах в

105

соответствии с принципом обратных приоритетов, получаем: x1* = R/10, x2* = R/5, x3* = 3R/10, x4* = 2R/5.

Во всех трех рассмотренных случаях второй АЭ получал оптималь- ное для себя количество ресурса. В третьем случае максимум получил третий АЭ "за счет" первого. С точки зрения четвертого АЭ децентрали- зация не улучшает его положение.

В рассматриваемом примере децентрализации мы фиксировали

2

функции агрегирования, выбрав, в частности, Aj = { å Aij }2. Попробу-

i=1

ем для фиксированных принципов обратных приоритетов, используемых в подсистемах, сконструировать механизм обратных приоритетов в метасистеме, то есть найти приоритеты подсистем A1, A2, такие, чтобы при некотором фиксированном разбиении АЭ на подсистемы трехуровне- вый механизм был эквивалентен исходному двухуровневому. Пусть первая подсистема включает первый и второй АЭ, вторая – третий и четвертый. Тогда из определения равновесных заявок получаем, что A1 и A2 должны одновременно удовлетворять двум равенствам:

что, очевидно, невозможно.

Другими словами, для данного разбиение АЭ на подсистемы не су- ществует функции агрегирования приоритетов, такой, чтобы при исполь- зовании на всех уровнях механизмов обратных приоритетов при условии, что потребности АЭ и их заявки суммируются по подсистемам, равновес- ное распределение ресурса было таким же, что и в децентрализуемой АС. Следовательно, механизмы обратных приоритетов не допускают произ- вольную децентрализацию (так как указано разбиение, при котором эквивалентного механизма обратных приоритетов не существует).

Однако, механизмы обратных приоритетов допускают идеальное аг- регирование. Для того, чтобы доказать это утверждение предъявим раз- биение АЭ на подсистемы и механизм обратных приоритетов, эквива- лентный исходному (для данного разбиения).

Алгоритм определения разбиения, допускающего идеальное агреги- рование (существование в соответствующей трехуровневой АС механиз- ма, эквивалентного механизму в двухуровневой АС) достаточно прост: в

при фиксированных идеальных точках в одну и ту же подсистему не должны входить одновременно приоритетные и неприоритетные АЭ.

Отметим, что на сегодняшний день приведенный принцип децентрализа-

106

ции справедлив (то есть формально обоснован) только лишь для класса механизмов обратных приоритетов.

Для рассматриваемого примера приоритетным является второй АЭ. Поэтому осуществим разбиение на подсистемы следующим образом: в первую подсистему включим единственный приоритетный АЭ, а во вторую – все остальные (неприоритетные – первый, третий и четвертый). Легко подсчитать, что в этом случае, агрегируя заявки и приоритеты описанным выше способом, получаем распределение ресурса: X1* = R/5, X2* = 4R/5 по подсистемам, и следующее распределение ресурса внутри подсистем :x1* = 4R/35, x2* = R/5, x3* = 8R/35, x4* = 16R/35, которое совпа-

дает с распределением ресурса в децентрализуемой двухуровневой ак- тивной системе.

Отметим, что возможность разбиения АЭ на подсистемы, включаю-

щие только приоритетные и только неприоритетные АЭ подразумевает знание их истинных идеальных точек. Следовательно, прямой механизм (то есть такой механизм, в котором АЭ сообщают непосредственно свои идеальные точки) децентрализации должен включать в себя зависимость разбиения АЭ на подсистемы от их сообщений (см. также раздел 2.4).

Вопросы манипулируемости и эффективности механизмов обратных приоритетов (см. результаты исследования этих их свойств для двухуров- невых АС в [17,24]) при описанной децентрализации остаются открыты- ми. ∙

Следует обратить особое внимание на тот факт, что в децентрализо- ванной АС равновесное распределение ресурса зависит от способа раз- биения АЭ по подсистемам. Следовательно, с точки зрения эффективно-

сти управления центру целесообразно решать также задачу синтеза структуры – какие АЭ следует включать в те или иные подсистемы. В качестве гипотезы можно выдвинуть предположение, что децентрализа- ция, совместно с целенаправленным выбором структуры АС, может оказаться достаточно эффективной для конкурсных механизмов [17,21].

Таким образом, механизмы обратных приоритетов не допускают произвольной децентрализации в классе механизмов обратных приорите- тов (когда и в подсистемах, и в метасистеме используются механизмы обратных приоритетов). Быть может, усложнение иерархии окажется выгодным, если на разных уровнях (в подсистемах и в метасистеме) используются различные принципы распределения ресурса. В общем случае эта задача требует дальнейших исследований.

Следовательно, задача произвольной децентрализации имеет место и в механизмах распределения ресурса. Как было показано выше, широко

107

распространенный класс механизмов обратных приоритетов не децентра- лизуем (но допускает идеальное агрегирование).

Обширным классом механизмов распределения ресурса, в котором идеальное агрегирование возможно, являются анонимные механизмы. Напомним, что анонимным механизмом называется механизм, симмет- ричный относительно перестановок АЭ [16,73,126], то есть такой меха- низм, в котором любая перестановка АЭ не изменяет назначаемых пла- нов. Для механизмов распределения ресурса это означает, что в анонимном механизме множества возможных сообщений АЭ одинаковы: Ωij = [0;D], а процедура планирования симметрична по заявкам АЭ. Следует отметить, что анонимность механизма вовсе не подразумевает идентичности активных элементов. Сами АЭ могут различаться сколь угодно сильно – единственным (и достаточно демократическим) требова- нием, предъявляемым к анонимному механизму планирования, является симметричность процедуры планирования.

Интуитивно понятно, что так как в анонимных механизмах АЭ "рав- ноправны", то, скорее всего, их можно группировать (по подсистемам в процессе децентрализации) произвольным образом. Сформулируем корректно это качественное предположение, приведя в явном виде алго- ритм децентрализации любой анонимной процедуры планирования.

Теорема 2.3.1. Любой анонимный механизм распределения ресурса допускает произвольную децентрализацию.

Для того, чтобы доказать утверждение теоремы, докажем ряд про- стых лемм.

Лемма 2.3.2. Любой анонимный механизм распределения ресурса в двухуровневой активной системе эквивалентен механизму пропорцио- нального распределения:

Справедливость леммы 2.3.1 следует из того факта, что все аноним- ные механизмы эквивалентны (в [16] доказано, что любой анонимный

механизм эквивалентен механизму последовательного распределения ресурса [126]), а механизм пропорционального распределения (2.3.1) является анонимным [16,17,137].

Лемма 2.3.3. Для любого механизма пропорционального распределе-

ния ресурса в трехуровневой АС существует эквивалентный механизм пропорционального распределения в двухуровневой АС, и наоборот.

108

Справедливость утверждения леммы 2.3.3 следует из следующей це-

Качественно, в механизме пропорционального распределения суще- ственным оказывается его "аддитивность", что совместно с аддитивно- стью агрегирования приводит к выполнению (2.3.2). Отметим, что равен- ства типа (2.3.2) имеют место в АС с любым числом уровней иерархии и любым разбиением АЭ на подсистемы.

Следующее рассуждение доказывает справедливость теоремы 2.3.1.

Пусть имеется некоторый анонимный механизм распределения ресурса в двухуровневой АС. По лемме 2.3.2 он эквивалентен механизму пропор- ционального распределения (2.3.1), для которого по лемме 2.3.3 можно

построить АС с любым числом уровней иерархии и эквивалентным в силу (2.3.2) пропорциональным механизмом.

Вобратную сторону, для любого анонимного механизма в много-

уровневой АС можно построить эквивалентный анонимный механизм в двухуровневой АС, что доказывает справедливость утверждения теоре- мы. ∙

Результат теоремы 2.3.1 имеет чрезвычайно важное методологиче- ское, теоретическое и практическое значение. Он выделяет класс меха-

низмов распределения ресурса в многоуровневых активных системах не только допускающих идеальное агрегирование, но и обладающих рядом свойств инвариантности, которые могут быть использованы при решении других задач управления – определения информационной нагрузки, синтеза структуры и др. Кроме того, механизм пропорционального рас- пределения, используемый при доказательстве теоремы 2.3.1, помимо своей простоты, обладает многими привлекательными свойствами – в том числе, он оптимален (имеет максимальную эффективность) в достаточно широком классе АС – см. [16,17] и раздел 2.5.

Вто же время, следует признать, что, несмотря на то, что класс ано- нимных механизмов достаточно широк, задача идеального агрегирования для произвольных механизмов распределения ресурса требует дальней- ших исследований.

109

Рассматриваемый в следующем разделе класс механизмов планиро- вания свидетельствует, что произвольную децентрализацию допускают не только анонимные механизмы.

2.4. ДЕЦЕНТРАЛИЗАЦИЯ МЕХАНИЗМОВ ЭКСПЕРТИЗЫ

Под механизмом экспертизы в двухуровневой АС понимается сле- дующая модель [17,25]. Имеются N АЭ – экспертов, каждый из которых имеет собственные представления rij [d;D] 1 (идеальные точки, точки пика функций предпочтения АЭ) об оцениваемой скалярной вели- чине и сообщает центру информацию sij [d;D] о своих представлениях. Итоговое мнение x[d;D] определяется в соответствии с процедурой планирования π(s), то есть x = π(s). Относительно процедуры планирова- ния (принятия коллективного решения) будем предполагать, что она непрерывна, строго монотонно возрастает по всем переменным и удовле- творяет условию единогласия: t[d;D] π(t, t, ..., t) = t. Без потери общно-

мнению, то в общем случае он может сообщать недостоверную информацию, искренне стремясь повлиять на результат в требуемую с его точки зрения сторону. Следовательно, возникает проблема манипулируемости механизма экспертизы.

В работе [17] доказано, что для любого механизма экспертизы, удов- летворяющего введенным выше предположениям, существует эквива- лентный прямой (неманипулируемый) механизм, причем итоговое мне-

ние в равновесии определяется совокупностью истинных мнений

личны и упорядочены в порядке возрастания, то

При этом равновесное итоговое мнение (коллективное решение) x* определяется [17,24]:

(2.4.2) x*(r,w(π)) = max min (wk-1, rk).

k =1,N

Понятно, что последовательность w(π) зависит от упорядочения иде- альных точек экспертов. В общем случае существует 2N разбиений вида

110