Модель формирования команды - Новиков Д.А., Чхартишвили А.Г.

r120 = 2, r130 = 2,5, r210 = 1,5, r230 = 2,5, r310 = 1,5, r320 = 2.

Объективно оптимальным (в смысле минимума суммарных затрат) является по-прежнему вектор действий (0,30; 0,33; 0,37).

Через 200 шагов вектор действий (0,298; 0,3484, 0,3524) и сле- дующие представления агентов о типах друг друга r12 = 2,1 > r2,

r13 = 2,12 < r3, r21 = 1,71 < r1, r23 =2,01 < r3, r31 = 1,85 > r1, r32 = 2,16 > r2. Несмотря на несовпадение представлений с реаль-

ностью, ситуация является стабильной – ожидаемые действия и

наблюдаемые совпадают с точностью до четырех знаков после запятой (динамика действий агентов и суммарного "рассогласова- ния" действий агентов ведут себя аналогичным приведенным соответственно на рисунках 1 и 2 образом).

При использовании процедуры (8) при тех же начальных дан- ных получаем вектор действий (0,318; 0,341, 0,341) и следующие

r32 = 2,2 > r2. Несмотря на несовпадение представлений с реально- стью, в этом случае ситуация также является стабильной – ожи-

даемые действия и наблюдаемые совпадают с точностью до шести знаков после запятой.

Такое явление, как стабильность информационного равнове- сия, в котором представления агентов друг о друге не совпадают с истиной, имеет простое объяснение: набор систем уравнений (7) для всех агентов относительно представлений агентов и их дейст- вий имеет не единственное решение. Такую ситуацию назовем ложным равновесием. Действительно, например, в случае двух

агентов система из трех уравнений

с четырьмя неизвестными r12, r21, x1, x2 имеет бесконечное множе- ство решений: выражая все неизвестные через x1 получим следую- щее семейство решений (при подстановке представлений агентов в

11

(2) получаются тождества): r12 = r1 (1 / x1 – 1), r21 = r2 x1 / (1 – x1), x2 = 1 – x1, x1 (0; 1).

Отметим, что переход к модели 4, то есть добавление инфор- мации о затратах оппонентов, может сузить множество решений соответствующей системы уравнений. В рассматриваемой модели

одновременное наблюдение затрат и действий агента позволяет

есть существенно "неправильные". Конечные (через 200 шагов) представления агентов друг о друге равны r12 = 1,747; r21 = 2,147, то есть не приблизились к истине.

Субъективно равновесными являются действия x1 = 0,4614; x2 = 0,5376. При этом наблюдаемые действия являются информа- ционным равновесием – они согласованы с индивидуальными представлениями агентов (удовлетворяют системе уравнений (14)).

Множество субъективных равновесий для рассматриваемого примера изображено на рисунке 3, на котором кружком помечена начальная точка, ромбиком – истинные значения типов, стрелкой указано изменение представлений агентов.

r21

r12

Рис. 3. Множество субъективных равновесий

12

Из системы уравнений (14) следует, что стабильными будут все информационные равновесия, удовлетворяющие следующему условию:

(15)r12 r21 = r1 r2.

Множество взаимных представлений (r12; r21), удовлетворяю-

щих (15) представляет собой гиперболу на соответствующей плос- кости. Пример такой гиперболы для случая r1 = 2; r2 = 1 приведен на рисунке 4.

r12

r21

Рис. 4. Множество субъективных равновесий

и области их притяжения

Проведенный анализ дает возможность не только определить множество ложных равновесий (15), но и исследовать области их притяжения: из (8) следует, что динамика взаимных представлений удовлетворяет следующему уравнению:

следовательно, при постоянных и одинаковых «шагах» γ траекто- риями изменения взаимных представлений будут прямые, прохо- дящие через ноль. Угол наклона этих прямых (см. рисунок 4) – областей притяжения точек их пересечения с гиперболой (15) – определяется начальной точкой (например, любая начальная точка, лежащая на выделенной на рисунке 4 жирным шрифтом прямой r12 = r21 / 2, приводит к истинному равновесию).

13

Данный факт представляет интерес с точки зрения информа- ционного управления – зная интересующую его конечную точку, центр легко может вычислить множество начальных точек (пря- мую), начав движение из которой агенты сами придут в требуемое для центра равновесие (в случае переменных «шагов» задача сво- дится к поиску траектории, удовлетворяющей (16) и проходящей через заданную точку множества (16)).

Условия существования ложного равновесия

В связи с приведенными примерами возникает естественный вопрос: насколько ситуация ложного равновесия характерна? Попытаемся прояснить это, сформулировав в общем случае усло- вия его возникновения (применительно к модели 1).

Пусть вектор типов агентов r = (r1, r2, …, rn) является общим знанием, и при данном векторе существует единственный опти-

мальный вектор действий y*(r) = ( y1*(r) , y2*(r) , …, yn* (r) ). Тем самым, определено n функций ϕi: r ® yi*(r) , i N, ставящих в

соответствие вектору типов r оптимальное действие i-го агента (будем считать, что функции ϕi определены лишь на таких векто- рах типов, для которых существует (притом единственный) вектор оптимальных действий.)

Теперь предположим, что только что описанная ситуация вы- полняется субъективно: каждый из агентов считает, что вектор типов является общим знанием. Тогда структура информированно- сти игры описывается N векторами вида (ri1, ri2, …, rin), i N. Ин-

формационное равновесие y* = ( y1* , y2* , …, yn* ) будет стабильным,

если каждый из агентов увидит те действия оппонентов, какие и ожидает. Это означает выполнение следующих соотношений:

далее, тип каждого агента фиксирован (и, разумеется, известен самому агенту), то для выполнения соотношений (17) требуется вычислить n (n – 1) величину rij, i, j N, i ¹ j.

14

Системе (17) заведомо удовлетворяет набор rij, для которого rij = rj при всех i и j. Таким образом, вопрос о существовании лож- ного равновесия при фиксированном наборе типов (r1, r2, …, rn) сводится к следующему: существует ли у системы (17), в которой n (n – 1) уравнение и столько же подлежащих определению вели- чин, более одного решения?

Заключение

Завершив рассмотрение теоретико-игровой модели формиро- вания команды, можно сделать вывод, что стабильность команды

и слаженность ее работы может достигаться, в том числе, и при ложных равновесиях, то есть при ложных представлениях членах команды друг о друге. Выход из ложного равновесия

требует получения агентами дополнительной информации друг о друге.

Таким образом, модели формирования и деятельности команд, описываемые в терминах рефлексивных игр, не только отражают автономность и согласованность деятельность команды, но и позволяют ставить и решать задачи управления процессом форми- рования команды.

Действительно, из рассмотрения моделей 1-10 следует, что существенной является та информация, которой обладают агенты об истории игры. Поэтому одна из управленческих возможностей заключается в создании, во-первых, разнообразных ситуаций деятельности (обеспечивающих выявление существенных характе- ристик агентов – см. модели научения в [1]) и, во-вторых, обеспе- чения максимальных коммуникаций и доступа ко всей существен- ной информации.

Кроме того, проведенный анализ свидетельствует, что на ско- рость формирования команды (скорость сходимости к равновесию) существенно влияют параметры γ – "размеры шагов", фигурирую- щие в процедурах динамики коллективного поведения агентов (см. также [7]). Влияние на эти параметры также может рассматривать- ся как управление со стороны центра.

15

Литература

1 Новиков Д.А. Закономерности итеративного научения. М.: ИПУ РАН, 1998.

2 Новиков Д.А., Петраков С.Н. Курс теории активных систем.

М.: Синтег, 1999.

3 Новиков Д.А. Стимулирование в организационных системах.

М.: Синтег, 2003.

4 Новиков Д.А., Смирнов И.М., Шохина Т.Е. Механизмы управления динамическими активными системами. М.: ИПУ РАН, 2002.

5 Новиков Д.А., Чхартишвили А.Г. Активный прогноз. М.: ИПУ РАН, 2002.

6 Новиков Д.А., Чхартишвили А.Г. Рефлексивные игры. М.: Синтег, 2003.

7 Опойцев В.И. Равновесие и устойчивость в моделях коллек- тивного поведения. М.: Наука, 1977.

8 Щепкин А.В. Механизмы внутрифирменного управления.

М.: ИПУ РАН, 2001.

16