Экономико-математические модели управления производством строительных материалов - Бурков В.Н., Джавахадзе Г.С.

a11 = 30 >a21 = -25 и a22 = -10 > a12 = -20. При сообщении объективных оценок разностей s1 = 30, s2 = -10 будет получено следующее распределение ресурсов:

x1 = 562/3; x2 = 162/3; x3 = 262/3,

при этом δ1 = 31/3; δ2 = 181/3. Посмотрим, может ли первая комиссия улучшить результирующее распределение, манипулируя оценкой s1. Если она завысит оценку, сообщив, например, s1 = 35, то распределение средств будет следующим:

x1 = 60; x2 = 15; x3 = 25.

Хотя по первому направлению финансирование увеличилось, по базовому направлению оно уменьшилось. В целом критерий

δ1 = max(0; 5) = 5 > 31/3,

то есть ситуация для первой комиссии ухудшилась. Если комиссия занизит оценку, например, сообщит s1 = 20, то получит следующее распределение: x1 = 50; x2 = 20; x3 = 30.

В данном случае ситуация становится хуже для первого направления,

величина критерия

δ1 = max(10; 0) = 10 > 31/3.

Аналогично нетрудно проверить, что и вторая комиссия только ухудшит ситуацию, манипулируя оценкой si.

Покажем, что если число приоритетных направлений равно трем, то всегда можно выбрать базовое направление таким образом, что условие

51

достаточной заинтересованности будет выполняться. Для этого выпишем

условие достаточной заинтересованности для всех трех возможных вариантов.

а) Если базовым является направление 3, то условия достаточной заинтересованности имеют вид:

Будем считать, что первое условие выполняется (этого всегда можно добиться, изменив нумерацию комиссий).

б) Если базовым является направление 1, то условия достаточной заинтересованности имеют вид:

В силу нашего предположения первое условие удовлетворяется всегда. Теперь заметим, что если ни (4.10), ни (4.11) не имеют места, то

обязательно выполняется условие

v12 - v13 ³ v22 - v23,

v22 - v21 ³ v12 - v11,

а это ничто иное, как условие достаточной заинтересованности для случая, когда базовым является направление 2.

В случае, если число направлений больше трех, целесообразна иерархическая схема распределения средств, такая что решения на каждом уровне принимаются на основе информации, поступающей от не более чем трех комиссий.

Пример 4.3. Пусть имеются четыре приоритетных направления. Создадим три комиссии, первая из которых принимает решение о

сравнительных объемах финансирования третьего и четвертого направления, а вторая и третья занимаются вопросами финансирования

52

первого и второго направления, а также направления, объединяющего третье и четвертое вместе. В таблице 4.4 приведены данные о распределении финансирования в объеме R = 100 между тремя направлениями (первым, вторым и объединенным) с точки зрения второй и третьей комиссий.

Таблица 4.4.

Возьмем второе направление в качестве базового, причем вторая комиссия оценивает объединенное направление по сравнению со вторым, а третья - первое по сравнению со вторым. Нетрудно убедиться, что условия достаточной заинтересованности выполняются. Действительно:

35 - 25 = 10 > 20 - 30 = -10, 50 - 30 = 20 > 40 - 25 = 15.

Поэтому на первом шаге комиссии сообщат объективные оценки s2 = 10, s3 = 20, и распределение средств будет иметь вид

x1 = 431/3; x2 = 231/3; x34 = 331/3.

На втором шаге первая комиссия сообщает сравнительный объем финансирования третьего направления относительно четвертого. Пусть s3 = x3 - x4 = 131/3. Тогда окончательно получаем

x3 = 231/3; x4 = 10.

Недостатком описанного механизма является возможность получения отрицательных значений xi.

Пример 4.4. Рассмотрим следующую ситуацию (объем выделенных средств R = 100).

53

Таблица 4.5.

Таблица разностей для случая, когда базовым является третье направление, имеет следующий вид:

Таблица 4.6.

Если обе комиссии сообщат объективные оценки s1 = 60, s2 = 60, то результирующее распределение средств будет иметь вид :

x1 = 531/3; x2 = 531/3; x3 = -62/3.

В этом случае отрицательные значения xi следует заменить на нулевые, а для оставшихся направлений процедуру повторить. В нашем примере следует положить x3 = 0, а для первого и второго направления создать новую согласительную комиссию (из представителей первой и второй комиссий). Новая комиссия, по-видимому, будет рекомендовать равное финансирование первого и второго направлений. Окончательно получаем следующее распределение средств:

x1 = 50; x2 = 50; x3 = 0.

От этих недостатков свободен механизм, описанный в [3], в котором комиссии сообщают оценки не разностей, а отношений величин

54

финансирования соответствующих направлений к базовому, то есть оценки si = xi/xn, i = 1, n − 1.

4.3. Конкурсные механизмы

Перейдем к описанию механизмов финансирования второго уровня. Как уже отмечалось выше, на этом уровне определяется пакет инвестиционных проектов, которые получают финансирование.

Обозначим через li оценку ожидаемого эффекта от реализации i-го проекта, si - оценку объема финансирования i-го проекта. Как правило,

оценка li определяется экспертной комиссией с учетом рыночных,

экономических и социальных целей, а оценка si - фирмой, предлагающей проект, либо организацией, которая берется за его реализацию. Будем считать, что оценка эффекта li достаточно объективна, хотя, в принципе,

нельзя исключить сознательное завышение или занижение оценок эффекта со стороны экспертов, заинтересованных в том или ином проекте. Что касается оценок требуемого финансирования, то здесь нельзя не учитывать

тенденцию завышения требуемого объема финансирования со стороны фирм, которые берутся за его реализацию, либо которые предлагают свой проект.

Для снижения негативного влияния этой тенденции широко применяются конкурсные механизмы. Вводится некоторая оценка эффективности (приоритетности) инвестиционных проектов, зависящая как от эффекта li, так и от оценки объема финансирования si. Затем

проекты упорядочиваются по убыванию эффективностей и финансируются в порядке этой очередности пока хватает средств. Наиболее распространенными являются две оценки эффективности -

55

qi = li/ si и qi = li - asi (a - нормативный коэффициент, соизмеряющий эффект и затраты).

Как оценить эффективность конкурса? Обозначим через ri объективную оценку объема финансирования i-го проекта (при финансировании, меньшем ri, велик риск нереализации проекта). Если для всех проектов известны объективные объемы финансирования, то можно выбрать оптимальный пакет проектов Q, решив следующую задачу:

где R - выделенный объем финансирования по данному направлению. Максимальный эффект, полученный в результате решения задачи

(4.12) - (4.13) обозначим через Lmax. Пусть Q - множество победителей конкурса. Тогда суммарный эффект от победившего пакета проектов

составит

и определяет эффективность конкурсного механизма. Покажем, что эффективность простых конкурсов может быть сколь угодно малой.

Пример 4.5. Пусть имеется всего два проекта, причем l1 = 2ε, r1 = ε (ε - малое число),

l2 = 150, r2 = 100.

Выделенный объем финансирования R = 100.

При оценке по отношению q1 = l1 / r1 = 2; q2 = l2 / r2 = 1,5 очевидно,

победителем будет первый проект, который получает финансирование

56

s1 = ε. На второй проект денег не хватает. Таким образом Q = {1}, L(Q) = 2ε. Максимальный эффект, очевидно, равен Lmax = 150, когда финансируется второй проект. Эффективность конкурсного механизма

составляет

K = 1502ε = 75ε

и может быть сколь угодно малой.

При оценке эффективности по разности q1 = l1 - ar1; q2 = l2 - ar2 при a = 1,5 имеем q1 = 0,5ε, q2 = 0, и при любом ε победителем будет первый проект. Эффективность конкурсного механизма в этом случае будет такой же, как и при оценке эффективности по отношению, то есть может быть сколь угодно малой.

Рассмотрим прямой конкурсный механизм суть которого в том, что

победители определяются в результате непосредственного решения задачи на максимум суммарного эффекта

В [3] показано, что эффективность прямого конкурсного механизма не менее чем 0,5. Эта оценка не улучшаема, что показывает следующий пример.

Пример 4.6. Имеются два проекта со следующими параметрами:

l1 = 100 + ε, r1 = 50,

l2 = 100, r2 = 50,

где ε - малое положительное число. Пусть при выделенном объеме финансирования R = 100 организации сообщили следующие оценки:

s1 = 100, s2 = 50.

57

Очевидно, что в результате решения задачи (4.16), (4.17) победителем будет первая организация, то есть Q = {1}, L(Q) = 100 + e. В то же время,

как легко убедиться, Lmax = 200 + e и поэтому

Так как e - любое положительное число, то K может быть сколь угодно близким к 0,5.

Рассмотрим более сложный вариант организации конкурса, так называемый двухэтапный конкурс. На первом этапе определяются все решения задачи (4.16), (4.17), для которых имеет место соотношение

где L0 - суммарный эффект в оптимальном решении этой задачи, 0 < e £ 1 -

фиксированный параметр. Другими словами, выбираются все пакеты проектов, для которых суммарный эффект не менее, чем определенная доля e от максимального эффекта при сообщенных оценках {si}. На втором этапе из всех пакетов, которые прошли первый тур, то есть удовлетворяют условию (4.18), выбирается пакет, требующий минимального финансирования. Для данного механизма возникает вопрос,

какое e выбрать. Для ответа на этот вопрос рассмотрим случай двух проектов. При заданном значении e возможны четыре варианта (для определенности примем, что l1 ³ l2):

а) l2/ l1 < e и r1 + r2 > R. В этом случае на первом этапе побеждает только один пакет, состоящий из одного первого проекта. Очевидно, что эффективность K = 1.

б) l2/ l1 < e и r1 + r2 £ R. В этом случае на первом этапе также побеждает только один пакет, состоящий из первого проекта. Однако,

поскольку Lmax = l1 + l2, то эффективность будет равна

58

в) l2/ l1 ³ e и r1 + r2 > R. В этом случае побеждают два пакета, один из которых включает первый пакет, а другой - второй. На втором этапе в худшем случае побеждает второй проект (если r2 < r1) и поэтому

эффективность равна

K = l 2 ³ e . l 1

г) l2/ l1 ³ e и r1 + r2 £ R. В этом случае наименее благоприятный вариант состоит в том, что на первом этапе побеждают два пакета, как и в варианта «в», а на втором этапе - второй проект. Это произойдет в том случае, если s1 + s2 > R и в то же время s2 < s1. Если принять, что s1 = r1 (побежденный сообщает минимальную оценку), то наименее благоприятный вариант возможен, если r1 > R/2 и r2 < r1. В этом случае

Мы видим, что в случае «г» эффективность минимальна. Поскольку в этом случае эффективность растет с ростом e, то следует взять e = 1.

Таким образом мы снова приходим к прямому конкурсу.

По-видимому, при сделанных предположениях не существует конкурсного механизма, обеспечивающего гарантированную эффективность более, чем 0,5. Ситуация становится более благоприятной, если принять другие гипотезы о поведении участников конкурса. До сих пор мы считали, что поведение участников конкурса определяется стремлением к равновесной ситуации (точке Нэша). Если принять, что

участники конкурса стремятся к максимизации гарантированного результата, то выявляются преимущества двухэтапного конкурса.

59

Действительно, в этом случае для уверенной победы на втором этапе участник, представляющий первый проект, либо должен быть уверен, что на первом этапе победит только один пакет, состоящий из первого проекта, либо он должен сообщить минимальную оценку затрат s1 = r1 для повышения шансов на победу во втором этапе. Аналогично второй участник сообщит s2 = r2. Отсюда следует, что наименее благоприятный случай в варианте «г» невозможен, и эффективность конкурса в варианте «г» равна 1. Таким образом, гарантированная эффективность будет равна

e = 1+1 e .

Решая это уравнение получаем оптимальную величину e:

e0 = - 1+ 5 » 0,6. 2

Полученная оценка гарантированной эффективности, по-видимому, справедлива и для случая, когда число участников больше 2. Это следует из предположения, что с ростом числа участников эффективность конкурса не уменьшается.

60