Добавил:

DIF Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет

Предмет:

Теоретическая механика

Файл:

Теоретическая механика. Теория, задания и примеры решения задач (Б.Е.Ермаков)

.pdf

Скачиваний:

5079

Добавлен:

04.06.2014

Размер:

10 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3532 33 34 35 > Следующая >>>

310

Пример решения задачи Д. 10.3

В механической системе рис. 187 на стержень 6 действует возмущающий момент M = M0 sin pt . M0 = 4нм - амплитуда,

p = 4с−1 - частота возмущающего момента.

Требуется	определить уравнение вынужденных колебаний
y2 = y2 (t )	с учетом сил сопротивления, а также рассчитать и

построить графики амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и фазо-частотной характеристики (ФЧХ).

Решение

Определим обобщенную силу возмущающих сил.

= (δAk )1 ,

(δA ) = M δϕ

δr1

При

δr1 = l1 δφ6 , получим

(δA ) =

δr и

Тогда Q

= F sinpt = 6,67sin4t(н), где

= M

= 6,67 н.

0,6

Запишем уравнение Лагранжа

∂T +

∂П =Q

+Q .

dt ∂y

∂y

При T = 1 ay2 , П = 1 cy2 ,

Q = −by

и Q

= F sinpt , получим:

ay + cy = −by + F sin pt .

Полученное уравнение приведем к нормальному виду

h sin pt

(δ

0 ).

2ny

Запишем параметры по данным предшествующих задач Д.10.1

и Д.10.2:

n =1,53c−1; k = 7,08c−1; h = Fao ; Fo = 6,67н; a = 7,0кг;

311

h = 0,95 см2 ; p = 4c−1.

По формуле (14) вычисляем амплитуду вынужденных колебаний

A =	0,95	= 0,026 м.
	(7,082 − 42 )2 + 4 1,532 42

Сдвиг фазы колебаний по формуле (13)

ε = arctg	2 1,53 4	= 0,344 рад.
	7,082 − 42

Записываем уравнение вынужденных колебаний

y2 = 0,026 sin(4t −0,344) (м).

По формуле (15)

A max=		0,95	= 0,045 м.
	2 1,53	7,082 −1,532

По формуле (16), при p = k = 7,08c−1,			резонансная амплитуда
Aрез =	0,95	= 0,044 м	< Amax = 0,045 м.
	2 7,08 1,53

Строим амплитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики.

Преобразуем формулы (11) и (12) к следующим видам:

n p

ε = arctg

k k

A =

p 2

1−

−

Для нашей задачи, при
	h		0,95		n	1,53		= 0,216, получим
		=		= 0,019м,		=
	k2		7,082				7,08
					k

312

								p
		0,432																			0,019
		0,432
ε = arctg								k			,	A =																					.
ε = arctg											,	A =													2								.
			1−		p				2								p				2				2						p	2


					k									1−												+ 0,187
																	k														k
																	k														k

Составим таблицу величин A и ε.
																											Таблица 18

	N		p/k								A			ε									A								ε
	п/п									(м)				(рад)							(мм)									(мм)

	1	0							0,019				0								34,5									0

	2	0,5							0,024				0,28								43,6									3

	3	1							0,044				1,57									80								31,4

	4	1,5							0,013				2,66								23,6									58,3

	5	2							0,006				2,86								10,9									60

Выбираем масштаб амплитуд
			A		0,044 = 0,00055 (											м				),

	µA =			=																		(		A		= 80 мм).


			A		80										мм
Масштаб e						µ =		ε	= 2,86			= 0,0477					(	рад),									(		= 60 мм).

																												ε


				ε					60										мм
				ε			ε		60										мм

При выбранных масштабах находим значения A и ε в мм для

графиков по формулам		=	A		и		=	ε	.

	A
						ε
			µ	A				µ

								ε

На рис. 189 и рис. 190 показаны графики АЧХ и ФЧХ. Вычислим частоту вынужденных колебаний, соответствующую

амплитуде Amax

	p = k2			− 2n2 = 7,082 − 2 1,532 = 6,74 c−1.
		1
Тогда	p1	=	6,74	= 0,95.
Тогда	k	=	7,08	= 0,95.
	k		7,08

313

Рис. 189. Амплитудно-частотная характеристика

Рис. 190. Фазо-частотная характеристика

314

Задача Д.11. Свободные колебания механической системы с двумя степенями свободы

Консервативная механическая система с идеальными, удерживающими связями показана на рис. 191 - 193 в положении равновесия. Числовые параметры системы приведены в таблице 19.

Требуется определить угловые частоты малых колебаний и коэффициенты формы, а также составить уравнения движения системы в общем виде.

1. Кинетическая энергия механической системы как функция обобщенных координат

В общем виде кинетическая энергия системы определяется по формуле

n	1 mkvk2	n	1 mkv
T = ∑		= ∑			k .
T = ∑		= ∑		k v	k .	(1)
k=1	2	k=1	2

Абсолютная скорость точки

∂

vk = ∑

k .

i =1

∂qi

∂t

Подставим v

в (1), получим

s ∂

∂

s ∂

∂

k∑=1

∑i =1 ∂qi

∂t

∑i =1 ∂qi

∂t

Судя по выражению, можно сделать вывод, что будет три слагаемых величины для Т.

T =T0 +T1 +T2 .

∂

= a0 (t ).

T0 = ∑

k =1 2

∂t

∂

T1 = ∑mk

∑

k qj = ∑aj qj ,

k =1

j =1

∂qj

∂t

j =1

315

Рис. 191

316

Рис. 192

317

Рис. 193

318

											Таблица 19

Номер	m1	m2	m3	c1	c2	c3	R	l1	l2	l3		l4
варианта
варианта		кг			Н/м				м
		кг			Н/м				м

1	2	4	–	200	300	20	–	0,6	0,2	0,4		0,1

2	2	4	–	250	200	–	0,4	–	–	–		–

3	1	3	5	300	250	–	0,2	–	–	–		–

4	2	5	–	600	800	70	–	0,6	0,4	–		0,8

5	8	2	–	150	150	–	–	–	–	–		–

6	5	2	–	800	600	80	–	0,6	0,3	0,2		0,5

7	3	1	–	200	200	80	–	0,6	–	–		–

8	4	2	–	100	300	–	0,4	0,4	0,2	–		–

9	2	3	–	200	100	60	–	0,3	0,3	0,4		–

10	2	4	3	300	200	–	–	0,5	0,2	–		–

11	2	2	–	200	300	–	–	0,6	0,8	–		–

12	4	2	–	250	300	40	–	0,6	1,2	–		–

13	4	2	3	300	250	–	–	0,5	1	–		–

14	3	2	–	300	400	50	0,2	–	–	–		–

15	6	–	–	400	300	60	–	0,6	1	–		–

16	4	6	–	500	100	80	–	0,4	0,8	0,8		–

17	3	4	–	100	500	40	–	0,6	1	–		–

18	2	4	3	250	300	–	0,4	0,5	1	–		–

19	2	3	–	150	200	–	0,2	0,4	–	–		–

20	8	6	–	600	400	–	–	1	0,5	–		–

21	5	4	–	400	500	–	–	1	0,5	0,3		–

22	5	7	4	400	400	–	0,3	–	–	–		–

23	4	5	–	350	400	–	–	0,5	0,2	–		–

24	3	4	–	450	600	–	–	0,5	0,6	–		–

25	2	3	5	400	400	60	–	0,3	0,7	–		–

26	6	2	3	300	300	20	–	0,2	0,6	–		–

27	4	5	3	400	300	–	0,4	0,4	0,2	–		–

28	6	4	–	200	800	50	0,6	–	–	–		–

29	3	4	2	250	300	–	–	1	0,6	–		–

30	3	2	4	250	200	–	–	1,2	0,3	–		–

319

∂rk

где aj = ∑mk

(aj

= aj (t)).

∂qj

k =1

∂t

∂

T2 = ∑

mk ∑

qj qp =

∑ ajpqj qp ,

k =1

(j,p) ∂qj

∂qp

(j,p)

∂rk

где

ajp = apj

= ∑mk

∂qj

∂qp

k =1

В окончательном виде

∑ ajpq j qp .

T = a0 + ∑aj qj + 1

(2)

j =1

2 (j,p)

Выражение (2) определяет кинетическую энергию механической системы как функцию обобщенных координат.

Если механическая система имеет склерономные (стационарные) связи, то коэффициенты aj = a0 = 0 и

T =	1	∑ ajpqj qp ,	(3)
	2	(j,p)

где ajp = apj - обобщенные коэффициенты инерции. К примеру, если T =T (q1,q2 ), то

T = 21 (a11q12 + 2a12q1q2 + a22q22 ).

2. Свободные колебания механической системы с двумя степенями свободы

Запишем уравнения Лагранжа для голономных консервативных систем с идеальными, удерживающими и склерономными связями:

d ∂T

∂П

= 0;

∂T

∂П

= 0 .

(4)

∂

dt q

Кинетическая и потенциальная энергии системы запишутся в следующем виде:

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3532 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика

#
04.06.201410 Мб5079Теоретическая механика. Теория, задания и примеры решения задач (Б.Е.Ермаков).pdf
#
04.06.201439 Кб77Экзаменационные билеты. 2004-2005. КМ.doc
#
04.06.201427 Кб47Экзаменационные билеты. 2006г. 4семестр. КМ,ГП.doc