Гурбич А.Ф. Методические указания к выполнению лабораторных работ

систематическая погрешность настолько превышает случайную, что влияние случайной погрешности полностью маскируется. Истинное значение x отнюдь не равно x0. Оно по-прежнему остается неизвестным, и для него можно записать x=x0 ±∆x, причем погрешность ∆x определяется в данном случае воспроизводящимися от опыта к опыту ошибками, связанными с неточностью измерительных приборов или метода измерений. Такую погрешность ∆x, как отмечалось, называют систематической. Для более точного определения физической величины x в данном случае необходимо изменить постановку самого опыта: взять прибор более высокого класса точности, улучшить методику измерений и т.п.

Класс точности прибора (приведенная погрешность) − это выраженная в процентах относительная погрешность, которую дает данный прибор при измерении им наибольшего значения измеряемой величины, указанной на шкале прибора. Тогда абсолютная погрешность оказывается одинаковой по всей шкале прибора. Например, пусть имеется амперметр класса 1,5 со шкалой 20 А. При измерении им любого значения тока абсолютная погрешность будет равна 0,015×20=0,3 А. Нетрудно видеть, что при измерениях в конце шкалы относительная погрешность оказывается меньше, приближаясь к приведенной. Класс точности обычно указывается на шкале прибора соответствующей цифрой. Если на шкале такого обозначения нет, то данный прибор внеклассный, и его приведенная погрешность более 4%.

Рассмотрим, каким образом оценить случайную погрешность косвенно измеряемой величины y, которая является функцией некоторого числа m непосредственно измеряемых величин xj, т.е.

Само среднее значение y можно найти из известной функциональной зависимости (9), подставляя в качестве аргументов усредненные по всем проведенным опытам значения непосредственно измеренных величин xi . Соответствующие вычисления показывают, что абсолютная погрешность ∆y в этом случае определяется по формуле

где ∂∂xf j обозначает так называемую частную производную.

11

Частная производная − это такая производная, которая вычисляется от функции f по аргументу xj , притом как все остальные аргументы xi ≠j считаются постоянными.

Относительная погрешность для косвенно измеряемой величины y определяется как

Формулу (10) применяют в тех случаях, когда в зависимости (9) измеряемые величины xj входят, в основном, в виде слагаемых, а формула (11) оказывается особенно удобной тогда, когда правая часть (9) представляет собой произведение величин xj . Учитывая простую связь между абсолютной и относительной погрешностями: δ=∆y/ y , легко по известной величине ∆y вычислить δ и наоборот. Рассмотрим применение формул (10) и (11) на примере. Пусть функциональная зависимость косвенно измеряемой величины y от непосредственно измеряемых величин xi имеет следующий простой вид:

y = ax1 + bx2 .

Поскольку функция y представляет собой сумму двух слагаемых, находим частные производные

и подставляем их в формулу (10):

∆y = (a ∆x1 )2 +(b ∆x2 )2 ,

причем абсолютные погрешности ∆x1 и ∆x2 должны быть предварительно определены, как указано выше, по формулам (4) - (7).

Пусть теперь функциональная зависимость косвенно измеряемой величины y от непосредственно измеряемых величин xi имеет следующий вид:

ax 3 y = 1 .

x2

В этом случае для определения погрешности косвенно измеряемой величины y воспользуемся формулой (11). Для этого сначала найдем логарифм, а затем − частные производные:

12

Нетрудно видеть, что предварительное логарифмирование существенно упростило вид частных производных. Измеряемая величина y, вообще говоря, имеет какую-то размерность. Брать логарифм от размерной величины конечно же нельзя. Чтобы устранить некорректность, достаточно разделить y на постоянную, равную единице данной размерности (если y − длина, то разделим на 1 м). После логарифмирования получится дополнительное слагаемое, которое все равно исчезнет при взятии частных производных (производная от постоянной равна нулю), поэтому наличие такого слагаемого обычно подразумевается.

При обработке результатов измерений предлагается следующий порядок операций.

При прямых (непосредственных) измерениях 1. Вычисляется среднее из n измерений:

x= 1 ∑n x i .

n i=1

2.Определяется среднеквадратичная погрешность среднего арифметическо-

го:

Стьюдента tα,n для заданного α и числа произведенных измерений n по табл. 1. 4. Находится полуширина доверительного интервала (абсолютная погреш-

ность результата измерений):

∆x = ∆x сист2 + ∆x сл2 , где ∆xсл = tα,n S.

5. Оценивается относительная погрешность результата измерений

13

δ= ∆xx .

6.Окончательный результат записывается в виде

x= x±∆x.

При косвенных измерениях 1. Для каждой серии измерений величин, входящих в определение искомой

величины, производится обработка в описанной выше последовательности. При этом для всех измеряемых величин задают одно и то же значение доверительной вероятности α.

2.Оценивается точность результата косвенных измерений по формуле (10) либо (11), где производные вычисляются при средних значениях величин.

3.Определяется относительная погрешность результата серии косвенных измерений.

4.Окончательный результат записывается в виде

y= y±∆y, где y =f( x1 , x2 ,..., xm ).

Возможен и другой подход к оценке погрешности результата косвенного измерения. Вместо определения искомой величины через средние значения xj как y =f( x1 , x2 ,..., xm ) можно для каждого выполненного опыта вычислить yi = f (x1(i) , x 2(i) ,..., x m(i) ) , а затем найти y как среднее арифметическое согласно

(3) и далее абсолютную погрешность ∆y по формулам (4)−(6). Оба способа дают близкие результаты.

О ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТАХ

При вычислениях на микрокалькуляторе в ответе автоматически получается столько цифр, сколько их вмещается на индикаторе микрокалькулятора. При этом создается впечатление об избыточной точности результата. В то же время результаты измерений являются приближенными числами. Напомним (см. М.Я.Выгодский, Справочник по элементарной математике), что для приближенных чисел отличают запись 2,4 от 2,40, запись 0,02 от 0,0200 и т.д. Запись 2,4 означает, что верны только цифры целых и десятых, истинное же значение числа может быть, например 2,43 или 2,38. Запись 2,40 означает, что верны и сотые доли, истинное число может быть 2,403 или 2,398, но не 2,421 и не 2,382. То же отличие проводится и для целых чисел. Запись 382 означает, что все цифры верны. Если же за последнюю цифру ручаться нельзя, то число округляется, но записы-

14

вается не в виде 380, а в виде 38 10. Запись же 380 означает, что последняя цифра (ноль) верна. Если в числе 4720 верны лишь первые две цифры, его нужно записать в виде 47 102 или 4,7 103. В тех случаях, когда численные значения физических величин много больше либо много меньше единицы, их принято записывать в виде числа между 1 и 10, умноженного на соответствующую степень десяти.

Число знаков в окончательном результате устанавливается по следующим правилам. Сначала ограничивается число значащих цифр погрешности. Значащими цифрами называются все верные цифры числа кроме нулей, стоящих впереди числа. Например, в числе 0,00385 три значащие цифры, в числе 0,03085 четыре значащие цифры, в числе 2500 − четыре, в числе 2,5 103 − две. Погрешность записывается всегда с одной или двумя значащими цифрами. При этом руководствуются следующими соображениями.

Величина случайной погрешности, полученная из обработки результатов некоторого числа измерений, сама является случайным числом, т.е., если проделать это же число измерений еще раз, то, вообще говоря, будет получен не только другой результат для измеряемой величины, но и другая оценка для погрешности. Поскольку погрешность оказывается случайным числом, то, пользуясь законами математической статистики, можно и для нее найти доверительный интервал. Соответствующие расчеты показывают, что даже при довольно большом числе измерений этот доверительный интервал оказывается весьма широким, т.е. величина погрешности оценивается достаточно грубо. Так при 10 измерениях относительная погрешность у погрешности превышает 30%. Поэтому для нее следует приводить две значащие цифры, если первая из них 1 или 2, и одну значащую цифру, если она равна или больше 3. Это правило легко понять, если учесть, что 30% от 2 составляет 0,6, а от 4 уже 1,2. Таким образом, если погрешность выражается, например, числом, начинающимся с цифры 4, то это число содержит неточность (1,2), превышающую единицу первого разряда.

После того, как погрешность записана, значение результата должно быть округлено таким образом, чтобы его последняя значащая цифра была того же разряда, что и у погрешности. Пример правильного представления окончательного результата: t=(18.7±1.2) 102 с.

ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ

Графики строятся на миллиметровой бумаге, на которую прежде всего наносятся координатные оси. На концах осей указываются откладываемые физические величины и их размерности. Затем на оси наносят масштабные деления так,

15

чтобы расстояние между делениями составляло 1, 2, 5 единиц (или 0.1, 0.2, 0.5, или 10, 20, 50 и т.д.). Обычно порядок масштаба, т.е. 10±n выносится на конец оси. Например, для пути, пройденного телом, вместо 1000, 1100, 1200 и т.д. метров около масштабных делений пишут 1.0, 1.1, 1.2, а в конце оси физическую величину обозначают как S, 103 м или S×10−3, м. Точка пересечения осей не обязательно должна соответствовать нулю по каждой из осей. Начало отсчета по осям и масштабы следует выбирать так, чтобы график занял всю координатную плоскость. После построения осей на миллиметровку наносят экспериментальные точки. Их обозначают маленькими кружками, квадратиками и т.д. Если на одной координатной плоскости строится несколько графиков, то для точек выбираются разные обозначения. Затем от каждой точки вверх, вниз и вправо, влево откладывают отрезки, соответствующие погрешностям точек в масштабах осей. Если погрешность по одной из осей (или по обеим осям) оказывается слишком малой, то предполагается, что она отображается на графике размером самой точки.

Экспериментальные точки, как правило, не соединяются между собой ни отрезками прямой, ни произвольной кривой. Вместо этого строится теоретический график той функции (линейной, квадратичной, экспоненциальной, тригонометрической и т.д.), которая отражает проявляющуюся в данном опыте известную или предполагаемую физическую закономерность, выраженную в виде соответствующей формулы. В лабораторном практикуме встречаются два случая: проведение теоретического графика преследует цель извлечения из эксперимента неизвестных параметров функции (тангенса угла наклона прямой, показателя экспоненты и т.д.) либо делается сравнение предсказаний теории с результатами эксперимента.

В первом случае график соответствующей функции проводится "на глаз" так, чтобы он проходил по всем областям погрешности возможно ближе к экспериментальным точкам. Существуют математические методы, позволяющие провести теоретическую кривую через экспериментальные точки в определенном смысле наилучшим образом. При проведении графика "на глаз" рекомендуется пользоваться зрительным ощущением равенства нулю суммы положительных и отрицательных отклонений точек от проводимой кривой.

Во втором случае график строится по результатам расчетов, причем расчетные значения находятся не только для тех точек, которые были получены в опыте, а с некоторым шагом по всей области измерений для получения плавной кривой. Нанесение на миллиметровку результатов расчетов в виде точек является рабочим моментом − после проведения теоретической кривой эти точки с графика убира-

16

ются. Если в расчетную формулу входит уже определенный (или заранее известный) экспериментальный параметр, то расчеты проводятся как со средним значением параметра, так и с его максимальным и минимальным (в пределах погрешности) значениями. На графике в этом случае изображается кривая, полученная со средним значением параметра, и полоса, ограниченная двумя расчетными кривыми для максимального и минимального значений параметра.

Правила построения графиков рассмотрим на следующем примере. Предположим, что в опыте исследовался закон движения некоторого тела. Тело двигалось прямолинейно, и задачей опыта было измерение расстояния, которое тело проходит за различные промежутки времени. После проведения некоторого числа опытов и обработки результатов измерений были найдены средние значения измеряемых величин и их погрешности. Требуется изобразить результаты опыта, представленные в табл. 2, в виде графика и найти из графика скорость тела, предполагая, что движение равномерное.

Таблица 2. Зависимость пути, пройденного телом, от времени

Последовательность операций 1. Строим оси координат и устанавливаем на них шкалы, исходя из ин-

тервалов изменения измеренных величин. Начало оси абсцисс (время) берем при t=30 с, а начало оси ординат (расстояние) − при S=80 см. Размечаем ось абсцисс с шагом 10 с, а ось ординат с шагом 20 см.

2.Наносим на координатную плоскость точки, представленные в таблице. Для каждой точки откладываем влево и вправо погрешность ∆t в масштабе оси абсцисс, а вверх и вниз − погрешность ∆S в масштабе оси ординат.

3.Исходя из предположения о равномерном движении, т.е. о линейной зависимости S(t)=v0 t, проводим прямую с таким расчетом, чтобы она наилучшим образом проходила через все измеренные точки. При проведении прямой учитываем, что в данном опыте при t=0 путь S=0 независимо от скорости, т.е. согласно теоретической формуле продолжение прямой должно проходить че-

17

рез точку (0,0), которая находится за пределами рабочего участка координатной плоскости. Так как скорость v=dS/dt, а производная геометрически представляется тангенсом угла наклона касательной к графику функции, то для равномерного движения тангенс угла наклона прямой дает скорость v0. Находить из графика следует именно тангенс, т. е. отношение противолежащего катета к прилежащему, взятых в масштабных единицах соответствующих осей. Очевидно, что угол наклона прямой зависит от выбора масштаба на осях. Поэтому измерение угла с последующим определением его тангенса смысла не имеет.

4. Для оценки погрешности проводим через экспериментальные точки еще две прямые − с максимальным и минимальным наклоном в пределах погрешностей большинства точек и с учетом того, что продолжения этих прямых должны пересекать точку (0,0). Определяем тангенс угла наклона этих прямых и устанавливаем интервал, в пределах которого находится искомая величина (скорость).

S, см

Рис.3

Окончательный результат построений показан на рис.3. На рис.4 приведены некоторые наиболее распространенные варианты неправильного построения того же графика. Следует заметить, что графическая обработка опытных данных не столь строга, как аналитическая, зато она проста и наглядна.

18

Рис.4

В тех случаях, когда диапазон изменений измеряемой величины превышает порядок, при построении графика обычно применяют логарифмический масштаб. Для построения логарифмической шкалы по оси от начальной точки в некотором масштабе откладываются отрезки, равные десятичным логарифмам ряда чисел. Если отложен lg a, то около соответствующей точки ставится пометка a. Около начальной точки должна стоять пометка 1 (lg 1=0). Таким образом, на логарифмической шкале расстояние от пометки 1 до пометки a равно в выбранном масштабе lg a. Так как lg (10a)=1+ lg a, то пометки на логарифмической шкале на участке от 10 до 100 будут в точности соответствовать пометкам на участке от 1 до 10. Это же рассуждение может быть проведено и для других участков шкалы.

19

Поэтому, для изображения чисел от 1 до 100 на логарифмической оси требуется увеличить длину оси всего в два раза по сравнению с осью, размеченной от 1 до 10. Пусть, например, на оси длиной 10 см требуется отобразить числа от 1 до 100. Тогда на одну декаду будет приходиться 5 см. Соответственно пометка 2 должна стоять на расстоянии lg2×5=1.5см от начала оси, пометка 3 − на расстоянии lg3×5=2.4 см, а пометка 30 − на расстоянии lg30×5=7.4 см. На рис.5 приведен пример участка оси с логарифмической шкалой.

Рис.5

УСТРОЙСТВО И ПРИНЦИП РАБОТЫ ОСЦИЛЛОГРАФА

Осциллограф является прибором для визуального наблюдения электрических сигналов. Наблюдаемые сигналы представляются на экране осциллографа в определенном масштабе, что позволяет определять их параметры (например, амплитуду, период) путем непосредственного измерения. В осциллографе предусмотрены два основных вида представления сигналов – зависимости сигнала от времени, т.е. y(t) и зависимости одного изменяющегося со временем сигнала y(t) от другого

– x(t), т.е. y(x).

Рис. 6.

Структурная схема осциллографа приведена на рис. 6. Изображение сигнала создается на флюоресцирующем экране электронно-лучевой трубки ускоренным

20