Лекции

Из того, что аксиомы выполняются, следует, что все формулы, справедливые для вероятности, верны и для условной вероятности, например:

PB A 1 PB A

PB A1 A2 PB A1 PB A2 PB A1 A2

20. Формула умножения вероятностей.

Вероятность одновременного наступления двух событий (формула умножения вероятностей):

30. Независимость случайных событий.

Определение 2.

Событие A независимо от B, если наступление B не изменяет вероятности A,

т. е. P A / B P A .

Теорема 1.

Если A независимо от B, то и B независимо от A (говорят, что A и B независимы).

Теорема 2.

Если A и B независимы, то независимы также: а) A и B

б) A и B

в) A и B

P A / B 1 P A / B 1 P A P A P A / B P B / A

Теорема 3.

Если A и B независимы, то P AB P A P B .

Из формулы умножения вероятностей.

Определение 3.

События A и B называются независимыми, если справедливо P AB P A P B .

Замечание.

Если два события физически независимы, то появление одного из них не

меняет вероятности другого, т. е.

P A / B P A

P B / A P B

P AB P A P B

Теорема 4.

Для физически независимых событий соотношение P AB P A P B можно

использовать для определения вероятности одновременного наступления событий P AB по P A и P B .

Пример.

40. Формула для апостериорных вероятностей гипотез (Байера).

Имеется полная группа событий A1, A2 , ..., An , ... (гипотез).

Лекция № 3.

ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

10. Определение.

Определение 1.

Вещественно-значная функция f , заданная на вероятностном пространстве , S, P называется случайной величиной.

Определение 2.

Случайная величина называется дискретной, если множество её значений конечно или счётно.

P xi 1

i

P(xi)

A

x1 x2 x3 x4 .... xk .... xi

А – числовое множество, тогда P A P xi

xi A

Пример.

Бросание двух игральных костей. Рассматривается случайная величина – сумма очков.

i, j

f i j

: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

P( )

A

A 3.4 ; 5.6

P A P 4 P 5 363 364 367

20. Независимые испытания Я. Бернулли (биномиальный закон распределения).

Рассматривается элементарный опыт (бросание монеты, кубика, стрельба по мишени) и случайное событие (выпадение герба, выпадение чётного числа, попадание).

Вероятность успеха А (появления) P A p .

P A q .

Основной эксперимент: независимо повторяем n раз элементарный опыт. Рассматриваем случайную величину – количество успехов.

: 0, 1, 2, ..., n P k Cnk pk qn k

1) Докажем для случая n = 3, k = 2.

P 2 P 0 1 1 1 1 0 1 0 1 3 p2q

2) Для произвольных n и k.

Обозначение:

Bi n, p

Читается: «Случайная величина подчиняется биномиальному закону с

параметрами n и p», где n – число испытаний одного события, p – вероятность появления любого из них.

n

Покажем, что Pk 1.

k 0

Лекция № 4.

ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

40. Теорема Пуассона о приближении биномиального распределения пуассоновским.

Обозначение:

P0 a

Читается: «Случайная величина подчиняется закону Пуассона с параметром a».

50. Однородный пуассоновский поток событий (простейший поток событий).

Имеется поток событий – точки на оси времени. Предположения:

1)Отсутствие последействия: появление точек на непересекающихся интервалах – события независимые.