IDZ_V_matem_I_s_TM
.pdf
24.α1 : x +2y −2z +4 = 0; α2 :2x − y − z +6 = 0 .
25.α1 : −3 x + y − z −2 = 0; α2 : − y −4z −1 = 0 .
26.α1 : x − y −4z −2 = 0; α2 : − x − y +3z +2 = 0 .
27.α1 : − x +2y +3z −2 = 0; α2 : x −4y +2z +3 = 0 .
28.α1 : x + y −5z −2 = 0; α2 : 2x +4y −3z +1 = 0 .
29.α1 : x −5z −2 = 0; α2 : 3x −5y −2z −2 = 0 .
30.α1 : x −2y −5z −2 = 0; α2 : 2x −3y −2z +6 = 0 .
Задание 18. Найдите точку пересечения прямой l и плоскости α .
1.l : x −2 2 = y−−12 = z −3 4 , α :x +3y +5z −42 = 0.
2.l : x−−13 = y 5−4 = z −2 4 , α :7x + y +4z −47 = 0 .
3.l : x2−1 = y1−1 = z −3 4 , α :x −2y + z −8 = 0 .
4. l : |
x |
= |
y −3 |
= |
z −2 |
, α :3x + y − z +13 = 0 . |
|||||||||||
|
|
−2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
5. |
l : |
x +2 |
|
= |
|
y −1 |
= |
|
z +1 |
, |
α :2x −2y +3z +21 = 0 . |
||||||
−2 |
|
−4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
6. |
l : |
x −1 |
= |
y +2 |
= |
z +2 |
, |
α :3x − y − z −3 = 0 . |
|||||||||
−1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|||||||
7.l : x−−23 = 3y = z−−41, α :x + y + z −10 = 0 .
8.l : x−+41 = y4−1 = z +5 2 , α :2x +3y −2z −11 = 0 .
9.l : x +3 3 = y−+22 = z−−36 , α :7x +2y +2z +2 = 0 .
10.l : x2−1 = y3−1 = z 4−1, α :5x +3y +4z +23 = 0 .
11.l : x1−1 = 0y = z +2 3 , α :2x − y +4z = 0 .
12.l : 0x = y 1−2 = z−+34 , α :17x −4y − z +6 = 0 .
13.l : x −5 7 = y−+22 = z +3 4 , α :3x −9y + z +1 = 0 .
14.l : x −4 4 = y−+34 = z −4 5 , α :2x +2y − z +7 = 0 .
15.l : x 0−5 = y−+32 = 3z , α :2x + y +3z −20 = 0 .
16.l : x 4−3 = y−−23 = z−+31, α :x + y + z −7 = 0 .
17.l : x3+1 = y−+21 = z−−26 , α :x + y +13z −26 = 0 .
18.l : x 7+3 = y−−23 = z −2 2 , α :2x +11y −2z +1 = 0 .
21
19.l : x +4 5 = y−−35 = z 2+1, α :2x +3y +2z +11 = 0 .
20.l : x−−23 = y 4−3 = z 7−3 , α :2x +2y + z −26 = 0.
21.l : x−−24 = y−−15 = z−−36 , α :5x +3y +2z −28 = 0 .
22.l : −x4 = −y3 = z −3 7 , α :x +2y +2z −6 = 0 .
23.l : x7−1 = y−−53 = z−−28 , α :x +3y +5z −32 = 0 .
24.l : x 1−5 = y 2+6 = z −3 7 , α :2x +5y +6z +24 = 0 .
25.l : x−+23 = y 1+2 = z−+34 , α :4x +5y +6z +4 = 0 .
26.l : x 3−3 = y 7−7 = z −4 4 , α :−6x +3y +35z = 0 .
27.l : x −5 2 = y−−52 = z −5 2 , α :x +4y + z −2 = 0 .
28.l : x−−21 = y2+1 = z 0−1, α :5x +4y +5z −4 = 0 .
29.l : 6x = y−+36 = −z4 , α :2x +3y +2z +23 = 0 .
30.l : x−−61 = y 1−4 = z 4+1, α :3x +3y +5z −15 = 0 .
Задание 19.
1. |
Составьте канонические уравнения прямой, которая проходит через точку M (1;−2;3) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
перпендикулярно вектору a ={9;−3;−1} и пересекает прямую |
x +1 |
|
= |
y −1 |
= |
z |
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
1 |
|
|||||||
2. |
Составьте канонические уравнения прямой, лежащей в плоскости yOz , |
проходящей |
||||||||||||||||||||||||||||
|
через начало координат и перпендикулярной прямой |
x +3 |
= |
y −1 |
= |
z +1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
M (3;−2;0) |
||||
3. |
Составьте канонические уравнения прямой, которая проходит через точку |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
перпендикулярно прямой |
x +1 |
|
= |
y |
|
= |
z −2 |
|
и расположена в плоскости xOy . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
−1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
x + y |
− z = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x +2 |
|
|
y −1 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
При каком значении λ прямые |
|
= |
= |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
параллельны? |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
−2 1 |
x − y − |
5z −8 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. |
При каком значении D прямая |
2x − y +3z + D = 0; |
проходит через начало координат? |
|||||||||||||||||||||||||||
|
x +3y − z = 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6.Напишите канонические уравнения прямой, которая проходит через точку M (2;1;3) и параллельна прямой x =3 +t , y =3t , z = 2 −t .
7.Даны вершины треугольника A(1;0;−1), B (2;1;3), C (0;−1;1). Составьте параметрические уравнения высоты, опущенной из вершины B на сторону AC .
22
8. |
При каком значении λ прямые |
|
x |
= |
y −1 |
= |
z |
|
и |
3x + y −5z +1 = 0; |
перпендикулярны? |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
3 |
|
|
2x +3y −8z +3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
9. |
Напишите |
параметрические |
уравнения |
|
|
|
прямой, |
|
которая |
проходит через точку |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − y +2z −1 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
M (2;−1;3) и параллельна прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x +2y − z +2 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
10. |
Напишите канонические уравнения перпендикуляра, опущенного из начала координат |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
на прямую |
x −5 |
= |
y −2 |
= |
z +1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11. |
Напишите параметрические уравнения прямой, которая проходит через точку A(0;−2;1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
и пересекает две данные прямые: |
|
x +1 |
= |
y −1 |
= |
z |
|
и |
|
x |
= |
y +2 |
= |
z |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
−1 |
3 |
|
|
|
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
12. |
Пересекаются или нет прямые |
4x + z −1 = 0; |
и |
3x + y − z +4 = |
0; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 = 0? |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x −2y +3 = 0 |
|
y +2z − |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
13. |
Проверьте, пересекаются ли прямые |
x −1 |
= |
y −7 |
= |
z −5 |
и |
|
x −6 |
= |
y +1 |
= |
z |
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
1 |
|
|||||||||
14.Даны вершины треугольника A(1;0;2), B (−2;3;−1), C (3;−2;4). Составьте канонические уравнения медианы, проведенной из вершины B на сторону AC .
15.Составьте канонические уравнения прямой, которая проходит через точку A(1;−5;3) и образует с осями координат Ox , Oy и Oz углы 60, 45 и 120о соответственно.
16.Напишите параметрические уравнения перпендикуляра, опущенного из точки A(−1;0;3)
|
на прямую |
x +1 |
= |
y −1 |
|
= |
z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(x1; y1;0) и |
|||||
17. |
Даны точки пересечения прямой с двумя |
координатными |
плоскостями |
||||||||||||||||
|
(x2 ;0; z2 ). |
Вычислите |
координаты точки пересечения этой же |
прямой |
|
с |
|
третьей |
|||||||||||
|
координатной плоскостью. |
|
|
3y +2 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
18. |
Укажите особенность в расположении прямой |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3y +2z +1 = |
0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
|
|
|
|
|
||
19. |
При каких |
значениях |
коэффициентов B |
и |
D |
x −2y + z −9 = 0; |
|
лежит в |
|||||||||||
прямая |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
плоскости xOy ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + By + z + D = 0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
20. |
Какому условию |
должны |
удовлетворять |
коэффициенты |
в |
уравнении |
|
прямой |
|||||||||||
|
Ax + By +Cz + D = 0; |
чтобы она пересекала ось Oy ? |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
21. |
Укажите особенность в расположении прямой |
2x −3 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4y +5 = 0. |
|
|
|
M (−1;3;2) |
|||
22. |
Напишите канонические уравнения прямой, проходящей |
через |
точку |
|
|||||||||||||||
|
параллельно оси Oz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
23. |
Напишите |
параметрические уравнения |
перпендикуляра, |
опущенного |
|
из |
точки |
||||||||||||
|
M (−1;2;3) |
на ось Oz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
24. |
Найти угол между прямыми |
x − y + z −4 = 0; |
x + y + z −4 = 0; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
и |
|
6 = 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + y −2z +5 = 0 |
2x +3y − z − |
|
|
|
|
|
|||
23
25.Составьте канонические уравнения прямой, которая проходит через точку M (1;2;−3)
параллельно прямой x2−1 = −y3 = z +1 2 .
26.Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M (−4;3;0)
параллельно прямой x −2y + z = 4;
2x + y − z = 0.
27.Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M (2;3;−1) параллельно вектору a ={5;−3;2}.
28.Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точку M (1;−1;0) и перпендикулярной к плоскости 2x −4y + z =3.
29. |
Найти угол между прямыми |
x −2 |
= |
y −3 |
|
= |
z |
|
и |
x +1 |
= |
y −2 |
= |
z +5 |
. |
|||||||||||
1 |
−1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
30. |
Выясните, будут ли пересекаться прямые |
|
x −1 |
= |
y −1 |
= |
z −1 |
|
и |
x −2y −3z −4 = 0; |
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
x − y −5z −2 = 0. |
|||||||
Задание 20. Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной плоскости α .
1. A(1;2;3), α : 3x −2y − z −3 = 0 . 3. A(−1;−2;6), α : x + y −3z −2 = 0 . 5. A(−3;5;−4), α : 4x − y +5z −1 = 0 . 7. A(−3;4;2), α : 4x +2y − z +1 = 0 . 9. A(1;2;7), α : − x + y −4z +5 = 0 .
11. A(−2;−3;4), α : 2x +6y −2z +3 = 0 . 13. A(0;1;1), α : x + y − z +4 = 0 .
15. A(1;4;−1), α : 7x + y −3z +2 = 0 . 17. A(−1;−5;1), α : 2x − y −4z +5 = 0 . 19. A(2;1;4), α : 4x +2y −3z +4 = 0 . 21. A(1;−1;−1), α : 3x −3y +5z −4 = 0 . 23. A(1;−4;−3), α : 6x − z −12 = 0 . 25. A(4;−4;2), α : −2x + y +1 = 0 .
27. A(−2 −3;4), α : 7x − y − z −7 = 0 . 29. A(−1;2;−6), α : x +5y + z −2 = 0 .
2. A(2;2;2), α : x − y −3z −4 = 0 . 4. A(3;0;3), α : 2x +3y −4z = 0 .
6. A(0;−1;−2), α : 2x + y + z −7 = 0 . 8. A(1;2;3), α : 3x −2y − z −3 = 0 .
10. A(1;−2;−3), α : −4x − y +5z +3 = 0. 12. A(4;−2;1), α : 6x −3y +2z −2 = 0 . 14. A(0;−2;−5), α : x +3y −2z −1 = 0 . 16. A(−1;0;−1), α : 2x +2y −2z +7 = 0 . 18. A(6;1;−6), α : −x −3y +3z +5 = 0 . 20. A(3;−3;1), α : 3x +2y − z +4 = 0 . 22. A(1;1;−5), α : x −2y +3z −2 = 0 . 24. A(−1;−3;0), α : 4x +3y + z −4 = 0 . 26. A(0;−3;−1), α : 6x − y −6z = 0 .
28. A(−2;6;2), α : x +4y −5z −1 = 0 . 30. A(3;−2;−1), α : x +2y −3z +1 = 0 .
24