СеверинВП ДУ первого порядка

Возьмем теперь равенство (3.5) и совершим в нем предельный переход при n . На основании (3.9) получим

x

y(x) y0 f (t, y(t)) dt ,

x0

а это означает, что функция y(t) действительно удовлетворяет интегральному уравнению (3.4).

Итак, существование решения доказано.

IV. Докажем, что решение единственно. Предположим, что име-

51

Отсюда следует, что z(x ) Q , то есть Q Q . Полученное противоречие и доказывает единственность.

Итак, теорема Коши полностью доказана.

Задача решения уравнения (3.1) с начальным условием (3.2) называется задачей Коши. При выполнении условий теоремы Коши через точку M0 (x0, y0 ) проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (3.1).

Требование выполнения условия Липшица в теореме Коши является существенным для упрощения доказательства единственности решения. Если это требование не учитывается, то справедлива следующая теорема.

Т е о р е м а о с у щ е с т в о в а н и и р е ш е н и я . Если функция f (x, y) непрерывна в окрестности точки (x0 , y0 ) , то задача Коши имеет, по крайней мере, одно решение.

Предположим теперь, что в уравнении (3.1) будет

Рассмотрим вместо уравнения (3.1) уравнение

с начальным условием

x y y0 x0 .

52

Предположим, что для этого уравне-

(x0, y0 ) проходит единственная интегральная кривая уравнения (3.1),

но она имеет в этой точке вертикальную касательную (см. рис. 3.2).

П р и м е р 3 . 1 . Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (2.6)

y p(x) y q(x) .

Для него

f (x, y) q(x) p(x) y ,

а, значит,

f p(x) .y

Если p(x) и q(x) – непрерывные функции, то условия теоремы Коши выполняются, поэтому при любом начальном условии линейное уравнение имеет решение и притом единственное.

П р и м е р 3 . 2 . Возьмем уравнение примера 1.2

xy y 0 .

Для него

f (x, y) xy .

Если x 0 , то функция f (x, y) терпит разрыв, а, значит, точка с абсциссой x 0 не принадлежит области D . Именно этим и объясняется

53

то, что начальное условие

y x 0 4

оказывается недопустимым.

является ограниченной, а, значит, условие Липшица невыполнимо. Именно поэтому начальному условию

y x 0 0

удовлетворяет бесчисленное множество решений.

Теорема Коши дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши, которое может существовать и без выполнения условий теоремы.

П р и м е р 3 . 4 . Для уравнения

y 1 y2

имеем

f (x, y) 1 . y2

В точках оси Ox функции f (x, y) и

54

f 1y 2 y3

разрывные, причем последняя функция при y 0 неограниченна. Но через каждую точку (x0 ,0) оси Ox проходит единственная интегральная кривая

y33(x x0 ) .

3.3.Понятие о продолжении решения

Теорема Коши имеет локальный характер, поскольку в ней существование и единственность решения задачи Коши доказаны лишь для некоторого интервала [x0 h, x0 h] , который может быть очень малым. Покажем, как полученное с помощью теоремы Коши решение y (x) можно продолжить за пределы интервала [x0 h, x0 h] .

Обозначим x1 x0 h ,

55

Рассмотрим интервал [x1 k, x1] . Если бы в нем было (x) (x) , то в какой-то точке этого интервала нарушалась бы единственность решения, что в силу теоремы Коши исключено. Поэтому всюду в

y (x) не достигнет границы D .

Точно таким же способом можно продолжить решение y (x) и

3.4.Непрерывная зависимость решения от начального условия

Пусть для уравнения (3.1) в некоторой области D выполнены условия теоремы Коши. Тогда для любой точки (x0, y0 ) D существует единственное решение уравнения (3.1), отвечающее начальному условию (3.2). Иными словами, каждому начальному условию из D отвечает одно единственное решение. Однако, говорить, что каждому конкретному решению отвечает единственное начальное условие нельзя, поскольку новая точка (x1, y1) D может оказаться на той же интегральной кривой. Но можно утверждать, что двум точкам

56

(x0 , y0 ) и (x0 , y0 ) отвечают два различных решения, удовлетворяющие соответственно начальным условиям

57

Отсюда и следует, что если x [x0 h, x0 h] , то

lim y (x) y(x) .

0

Легко видеть, что это равенство выполняется в пределах всей области D , а, значит, утверждение доказано.

Доказанный факт называют непрерывной зависимостью решения

58

от начального условия. Это можно сформулировать и в другой форме.

что доказанному утверждению функция (x, y0 ) непрерывна не толь-

ко по аргументу x , но и по аргументу y0 .

3.5. Уточненное определение общего решения

Пусть для дифференциального уравнения (3.1) D – область, в которой выполняются условия теоремы Коши. Возьмем произвольную точку (x0, y0 ) D . Тогда существует единственное решение y(x) уравнения (3.1), удовлетворяющее начальному условию (3.2).

Возьмем теперь другую точку (x1, y1) D , то есть рассмотрим другое начальное условие

y x x1 y1 .

Ему отвечает, вообще говоря, другое решение уравнения (3.1). Рассматривая другие точки в области D , будем получать, вообще говоря, другие решения уравнения (3.1).

функций y (x,C) и называется общим решением уравнения (3.1).

Иными словами, функция y (x,C) называется общим решени-

59

2) для любой точки (x0, y0 ) D найдется и притом единственным образом такое C C , что решение y(x) (x,C ) будет удовлетворять начальному условию (3.2).

3.6. Теорема о гладкости решений

Т е о р е м а . Пусть в некоторой окрестности точки (x0, y0 ) D

функция f (x, y) из дифференциального уравнения (3.1) имеет непре-

рывные частные производные до порядка k включительно. Тогда существует такая окрестность C (x0 ) , что в ней решения уравнения

(3.1) имеют непрерывные производные до порядка k 1 включительно.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть y(x) – решение дифференциального уравнения (3.1), удовлетворяющее начальному условию (3.2). Тогда

60