Изгиб

Інші необхідні для розрахунку параметри: А = 25,4 см2 , Ix =1430 см4

умова міцності виконується і розрахунок закінчений.

Приклад 2. Для даної схеми навантаження дерев'яної балки перекриття (рис.2.9) визначити розміри прямокутного перерізу, якщо відношення

дорівнюють половині зовнішнього навантаження, тобто R A = R B = 40 кН. 1. Визначаємо поперечні сили та згинальні моменти по ділянкам.

1-а ділянка: 0 ≤ z1 ≤ а Q y = −F = −40 кН; Mx = −F z1 . 2-а ділянка: 0 ≤ z2 ≤ l Qy = −F + R = 0 ;

M x = −F (z2 + а) + R A z2 = −40z2 − 40 а + 40z2 = −40 а = −4 кНм. 3-яділянка: 0 ≤ z3 ≤ а Q y = F = 40 кН; Mx = −F z3 .

По отриманим функціям будуємо епюри Qy і Mx . З умови міцності по дотичним напруженням рівнонебезпечним є будь-який переріз на консолях, а з умови міцності по нормальним напруженням рівнонебезпечним є будь-який переріз на прольоті балки.

31

З умови міцності по дотичним напруженням розміри поперечного перерізу більше, ніж з умови міцності по нормальним напруженням.

2.6 Потенційна енергія деформації при згинанні.

Чисте згинання ( Qy = 0,Mx ≠ 0 ). Потенційна енергія деформації при

чистому згинанні визначається роботою внутрішніх згинальних моментів на кутовому переміщенні перерізу.

Рис. 2.10.

Розглянемо стержень при чистому згинанні (рис.2.10а). Виділимо елемент стержня довжиною dz (рис.2.10б). При статичному навантаженні нейтральна вісь викривляється по радіусу ρ кола, крайні перерізи повертаються на кут dθ. У межах виконання закону Гука залежність між моментом Mx та кутом повороту dθ при статичному навантаженні лінійна

(рис.2.10в). Елементарна робота внутрішніх зусиль визначається площею

33

Поперечне згинання ( Qy ≠ 0,Mx ≠ 0 ). Як показують розрахунки для стержнів, у яких відношення довжини l до висоти h перерізу більше

8 ÷10 (hl >8 ÷10) , потенційна енергія деформації від поперечної сили

UQ y складає 0,4 ÷ 0,5% від потенційної енергії деформації згинаючого моменту UM x . Тому при визначенні потенційної енергії деформації при згинанні враховується тільки потенційна енергія деформації від згинального моменту Mx , що визначається виразом (2.12).

34

Тангенс кута нахилу дотичної до вигнутої осі є перша похідна від функції V(z): tgθ(z) = dVdz(z) = V'(z) . Для малих кутів ( tgθ(z) ≈ θ(z) )

рівняння кутів повороту можна записати у вигляді: θ(z) = V' (z) .

Диференціальне рівняння вигнутої осі балки одержимо за допомогою рівняння Навье, у якому кривизна нейтральної осі при згинанні

Дорівнявши праві частини цих двох залежностей, одержимо нелінійне диференціальне рівняння відносно прогинуV(z):

Для малих переміщень (у межах пружних деформацій), коли, наприклад, tgθ(z) = V' (z) ≤ 0,01, квадратом першої похідної в порівнянні з одиницею можна зневажити. З обліком того, що знаки другої похідної V'' (z) і

згинаючого моменту Mx збігаються, одержимо диференціальне рівняння другого порядку, що і називається диференціальним рівнянням вигнутої

Послідовно інтегруємо двічі й одержуємо рівняння для кутів

повороту та прогинів:

36

де C1 і C2 - довільні постійні інтегрування, що визначаються з граничних умов.

Приклад 1. Розглянемо консольну балку, навантажену на вільному торці зосередженою силою F (рис.3.2).

Згинальний момент у перерізі z : Mx (z) = −Fz . Запишемо диференціальне рівняння пружної лінії балки: EIxV'' (z) = −F z . Інтегруючи двічі це рівняння, одержимо відповідно до (3.2), (3.3):

37

Найбільші прогин та кут повороту виникають на початку координат при

повинні зіставлятися з прогином [V], що допускається . Тоді умова жорсткості при згинанні консольної балки прийме вигляд:

Звідси визначається осьовий момент інерції Ix ≥ Fl3 , на підставі чого

3E[V]

проектуємо переріз. Прогин, що допускається, вибирається в залежності від відповідальності конструкції з діапазону[V] = (1001 ÷10001 )l , де l - проліт

балки.

Безпосереднє інтегрування диференціального рівняння пружної лінії виявляється громіздким навіть у простих випадках. Тому для визначення переміщень у балках більш прийняті енергетичні методи, що приводять до простих залежностей.

3.2 Енергетичні методи визначення переміщень.

38

Введемо позначення й основні поняття.

напрямком переміщення; другий індекс j зв'язаний з причиною, що викликала переміщення. Лінійне переміщення (прогин) від одиничної сили та кутове переміщення від одиничного моменту позначаємоδij , де індекс i – точка балки і напрямок переміщення; індекс j - причина, що викликала одиничне переміщення.

3.2.1 Інтеграл Максвелла-Мора.

Розглянемо балку довжиною l, навантажену в точці 1 силою F (рис. 3.3). Визначимо переміщення 21 (у точці 2 від сили, прикладеної в точці 1).

1. Перший стан. У точці 1 прикладемо зосереджену силу F. Прогин у точці

потенційна енергія деформації U1 чисельно дорівнює роботі зовнішніх сил

W1 , тобто: W1 = U1 .

2. Другий стан. У точці 2 статично прикладемо одиничну силу, що, згинаючи балку, виконує роботу (див. графік на рис.3.3.2) на переміщенні

39

Рис.3.3.

3. Третій стан. У точці 2 статично прикладемо одиничну силу, що, деформуючи балку, виконує роботу W2 на переміщенні δ22 (див. графік на рис. 3.3.3). До деформованої балки статично у точці 1 прикладемо зосереджену силу F, що, деформуючи балку з уже прикладеною одиничною

40