Основы схемотехники. 2011

(BCD-код). Подходящая возможность реализации заключается в том, чтобы представить через соответствующую каждой из них 4-разрядную двоичную цифру. Поскольку отдельные разряды имеют веса 8, 4, 2 и 1, данный код называют кодом типа 8-4-2-1. Существует также возможность построить двоично-десятичный код 2, 4, 2, 1 (Aiken-Code). К другим двоично-десятичным кодам относятся код с избытком три (3-Excess-Code) и двоично-десятичный код Грея (BCD-Gray-Code).

Таблица 4. Двоично-десятичный код.

Алфавитно-цифровые коды

Существует большое количество кодов, осуществляющих представление алфавитно-цифровых символов с помощью двоичных цифр. Известным примером подобных символов является код ASCII (American Standard Code for Information Interchange), который содержит также ряд управляющих символов.

ЛЕКЦИЯ 2 ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ТЕХНИКИ

Воснову структуры цифровых приборов положен принцип многократного применения нескольких базовых логических схем. Связи между этими схемами определяются постановкой задачи и реализуются чисто формальными методами с помощью булевой алгебры – в задачах цифровой схемотехники ее называют также алгеброй релейно-контактных схем (алгеброй логики).

Вцифровой технике применяют специальные переменные и функции. Под булевой переменной понимают переменную, которая может принимать только значения 0 и 1. С булевыми переменными могут быть образованы функции. Функцию:

называют n-разрядной переключательной или двоичной функцией.

Область значений подобной функции также определяется двоичной системой счисления с элементами 0 и 1. Функции могут быть определены таблицами, в которых величины функций связываются с возможными 2п комбинациями п входных переменных. Эти таблицы называются таблицами истинности.

Основные логические функции

В отличие от переменной в обычной алгебре логическая переменная способна принимать только два дискретных значения. Их называют логическим нулем и логической единицей и обозначают символами «1» или «0» или просто 1 и 0.

Есть три основных типа связей между логическими переменными: конъюнкция (логическое умножение), дизъюнкция (логическое сложение) и отрицание. Подобно алгебре чисел, используются следующие символы операций:

• конъюнкция: y = x1 ^ x2 = x1 x2 = x1x2,

• дизъюнкция: y = x1 v x2 = x1 + x2,

Многие из этих теорем уже известны из алгебры чисел. Однако формулы (3б), (4a), (5a,б) и (10б) неприменимы к числам, а такого понятия, как отрицание чисел, вообще не существует. В силу правила повторения в алгебре логики нет выражений типа 2x и x2.

Сравнение соотношений (а) и (б) позволяет осознать важный принцип дуализма: если в каком-либо тождестве поменять местами конъюнкцию с дизъюнкцией и 0 с 1, снова получится тождество.

С помощью соотношений (9)–(11) рассчитываются конъюнкция и дизъюнкция для всех возможных значений переменных x1 и x2. Функции для конъюнкции и дизъюнкции представлены в табл. 1 и 2 соответственно.

Согласно табл. 1, y равен 1, если переменные x1 и x2 также равны 1. На этом основании конъюнкция трактуется как функция И. При дизъюнкции y равен 1 только тогда, когда x1 или x2 равна 1. Отсюда вытекает название дизъюнкции как

функции ИЛИ. Обе функции можно распространить на сколь угодно большое количество переменных.

Рассмотрим, как реализовать логические функции посредством электрических переключающих схем. Поскольку логические переменные способны принимать только два дискретных значения, пригодны лишь те схемы, у которых имеется два четко различимых рабочих состояния. Ключ на рис. 1 является простейшим из возможных представлений логической переменной. Надо лишь условиться о том, что разомкнутый ключ представляет логический нуль, а замкнутый – логическую единицу. Следовательно, ключ S отображает переменную x, если он

замкнут и x = 1, и переменную , если он разомкнут и x = 0.

Рис. 1. Представление логической переменной с помощью ключа

Вначале выясним, какой логической функцией описывается цепочка из двух последовательно соединенных выключателей x1 и x2 (рис. 2). Значение зависимой переменной определяется тем, будет ли цепочка переключателей между ее выводами замкнутой или разомкнутой. Ясно, что ток потечет только при замыкании обоих ключей x1 и x2, когда их значения равны 1. Таким образом, последовательное соединение ключей реализует функцию И. Соответственно, функция ИЛИ реализуется при их параллельном соединении.

Рис. 2. Схема И

Такая схемная логика наглядно показывает справедливость вышеприведенных теорем. Покажем это на примере правила повторения. На рис. 3 обе части выражения (5a) реализованы с помощью коммутируемой цепи. Как нетрудно за-

метить, рассматриваемое тождество выполняется, поскольку два последовательных ключа, замыкаемые и размыкаемые одновременно, действуют на внешние цепи как единый ключ.

Рис. 3. Наглядное представление правила повторения xx = x

Логические переменные представляют также с помощью напряжений, различающихся высоким H и низким L уровнями, которым сопоставляются логические состояния 1 и 0. Систему обозначений H = 1 и L = 0 называют позитивной логикой; допустима и обратная система обозначений H = 0 и L = 1, именуемая отрицательной логикой.

Все цифровые устройства строятся из логических микросхем, каждая из которых (рис. 4) обязательно имеет следующие выводы (или, как их еще называют в просторечии, "ножки"):

–выводы питания: общий (или "земля") и напряжения питания (в большинстве случаев – +5 В или +3,3 В), которые на схемах обычно не показываются;

–выводы для входных сигналов (или "входы"), на которые поступают внешние цифровые сигналы;

–выводы для выходных сигналов (или "выходы"), на которые выдаются цифровые сигналы из самой микросхемы.

Рис. 4. Цифровая микросхема

Основные логические функции реализуются посредством соответствующих электронных схем с одним или несколькими входами и единственным выходом. Такие схемы называют логическими элементами. Уровень напряжения на входах и способ реализации логической функции определяют уровень напряжения на выходе. Одна и та же логическая функция может быть реализована различными электронными схемами. Ради простоты введены условные графические обозначения, отображающие только логические функции и никак не связанные с внутренним устройством самих схем (рис. 5-7).

Поскольку в цифровой технике напряжение служит не физической величиной, а лишь отражает логическое состояние, будем обозначать входы и выходы непосредственно логическими переменными, а не входными и выходными сигналами.

Составление логических функций

Как правило, в цифровой технике задача формулируется в виде таблицы переключений, называемой также таблицей истинности. Прежде всего, требуется найти логическую функцию, соответствующую такой таблице. Затем функцию приводят к простейшей форме и реализуют с помощью комбинаций основных логических элементов. Обычно логическую функцию записывают в дизъюнктивной нормальной форме, поступая следующим образом:

1.В таблице истинности находят все строки, где выходная переменная y принимает значение 1.

2.Из каждой такой строки составляют конъюнкцию всех входных переменных, применяя xi там, где соответствующая переменная принимает значение 1, и

в противном случае; указанным способом получают произведения в количестве, равном числу строк с y = 1.

3. В заключение записывают дизъюнкцию всех найденных произведений и получают искомую функцию.

Поясним этот способ на примере таблицы истинности (табл. 3).

Таблица 3. Пример таблицы истинности

В строках 3, 5 и 7 имеем y = 1. Далее надо составить конъюнкцию этих строк:

Искомую функцию находим как дизъюнкцию полученных произведений (конъюнкций):

Такова дизъюнктивная нормальная форма искомой логической функции. Для упрощения воспользуемся выражением x1 (x2 + x3) = x1x2 + x1x3 (3a) и получим:

С помощью x1 + x2x3 = (x1 + x2) (x1 + x3) – (3 б) приходим теперь к

Повторно применяя (6б) и (9a), получим, наконец, простое выражение:

Если в таблице истинности в столбце выходной переменной y имеется больше единиц, чем нулей, получится множество произведений. В таком случае ради упро-

щения вместо y сразу вводят инвертированную выходную переменную , у которой количество единиц заведомо меньше числа нулей. Поэтому при составлении логиче-

ской функции для инвертированной переменной находят меньше произведений, что упрощает данную функцию. После составления ее надо вновь проинвертировать, чтобы найти искомую функцию y, заменив операцию (+) на (x) и (x) на (+) и проинвертировав все переменные и постоянные величины в отдельности.

Таблица Карно

Таблица Карно служит важным вспомогательным средством для составления предельно упрощенной логической функции и представляет собой всего лишь измененную запись таблицы истинности. Значения входных переменных размещаются не построчно друг под другом, а в столбцах и строках квадратов (ячеек) наподобие шахматной доски. При четном числе входных переменных одну половину их

заносят в строчные ячейки, а другую – в ячейки столбцов. При нечетном числе в строках помещают на одну переменную больше, чем в столбцах, или наоборот.

Последовательность различных комбинаций значений входных функций должна выбираться так, чтобы при переходе к соседней ячейке изменялась только одна переменная. В такие ячейки помещают значения выходной переменной y, соответствующие значениям входных переменных. В качестве примера приведена таблица истинности функции И для двух переменных (табл. 4) и соответствующая ей таблица Карно (табл. 5).

Таблица Карно, будучи упрощенной формой таблицы истинности, позволяет составлять дизъюнктивную нормальную форму соответствующей логической функции вышеописанным способом, облегчая обнаружение возможных упрощений этой функции. Поясним сказанное на примере табл. 6.

Таблица 6. Таблица истинности с соответствующей таблицей Карно

Как уже говорилось, составление дизъюнктивной нормальной формы надо начинать с составления логических произведений всех входных переменных для каждой из ячеек, содержащих единицу. Для верхней ячейки слева находим:

а для соседней справа – После составления дизъюнкций всех произведений среди прочих появится

такое выражение: , которое упрощается до

.

Отсюда вытекает общее правило упрощения логических функций для таблицы Карно: если в четырехугольнике или квадрате, образованном 2, 4, 8, 16, … ячейками, все они заняты единицами, можно непосредственно определить произведение этой группы, если брать только те входные переменные, значения которых неизменны во всех ячейках группы.

Следуя правилу, в нашем примере для группы B из двух ячеек конъюнкция

всоответствии с вышеприведенной функцией имеет вид:

Вединую группу связываются также ячейки с правого и левого краев строки или верхняя и нижняя ячейки столбца. Для столбца из четырех ячеек D в табл.

4 получаем: Соответственно для квадрата из четырех ячеек С конъ-

юнкция имеет вид: . Осталась лишь единица в верхнем правом углу. Ее можно связать с единицей в нижней ячейке того же столбца, как показано на рисунке, образовав группу KA из двух ячеек. Но если учесть, что по углам таблицы Карно находятся единицы, придем к самому простому решению. Эти единицы

объединяются в группу из четырех ячеек, в силу чего получаем: Для дизъюнктивной нормальной формы сразу находим упрощенный ре-

зультат:

ЛЕКЦИЯ 3 СХЕМОТЕХНИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНЫХ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Технология изготовления интегральных схем

В предыдущей лекции мы рассматривали логические схемы, не вдаваясь в подробности их внутреннего устройства. Такой подход оправдан тем, что в современной цифровой технике имеют дело исключительно с интегральными микросхемами, у которых есть входы, выходы и выводы для подключения питания.

Для реализации отдельных основных логических функций имеется множество схемотехнических средств, различающихся энергопотреблением, напряжением питания, уровнями 0 и 1, быстродействием логического элемента и нагрузочными свойствами. Для выбора оптимального варианта надо знать внутреннее устройство таких схем.

У логического элемента каждому состоянию входа соответствует определенное состояние выхода. Таким состояниям присваиваются обозначения 1 или 0 в зависимости от того, будет ли напряжение больше уровня UH или меньше уровня UL. Функцию логического элемента можно описать с помощью таблицы уровней (табл. 1). Однако этим еще не определяется тип функции, которая реализуется посредством данного логического элемента, поскольку не указано соотношение между уровнем и логическим состоянием. Выбор названного соответствия произволен, но внутри конкретного прибора он задается однозначно.

Соответствие верхнего уровня H единице, а нижнего L – нулю называется положительной логикой и в нашем примере приводит к табл. 2, в которой нетрудно узнать таблицу истинности логической функции И-НЕ. Обратное соответствие называется отрицательной логикой. В нашем примере оно приводит к табл. 3, то есть к таблице истинности логической функции ИЛИ-НЕ.