MethodMechTerm2013_2
.pdfсоставляет p0 = 760 мм рт. ст.; температура T = 10 k (0С); длина трубки l =
10 см; коэффициент внутреннего трения кислорода K = 1,9 10-5 Па∙с.
Примечание. В примерах 9 и 10, используются следующие обозначения: N –
номер в группе, k – номер группы в потоке.
Работа № 11. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СРЕДЕ
Цель работы: изучение закономерностей процесса тепловой диффузии и определение значения коэффициента тепловой диффузии исследуемого материала.
Приборы и принадлежности: установка для измерения температурного поля, создаваемого в среде тепловым источником.
Исследуемые закономерности
Уравнение теплопроводности. Теплопроводность характеризует диффузию тепла в среде. Перенос энергии теплового движения в газах осуществляется через столкновения молекул, в твердых телах посредством передачи энергии колебаний кристаллической решетки. В обоих случаях процесс переноса теплоты описывается уравнением диффузии Фика:
j = DT grad u,
где j плотность теплового потока; u объемная плотность внутренней энергии среды; DT коэффициент тепловой диффузии. Учитывая, что объемная плотность внутренней энергии связана с температурой среды соотношением u = cT, где с теплоемкость единицы объема среды, можно записать
уравнение теплопроводности Фурье:
j = O grad Т,
где O коэффициент теплопроводности, O = DT с.
Температурное поле точечного источника тепла. Рассмотрим задачу определения температурного поля T(x; t) в однородной среде. Положим, что температурное поле создается импульсным точечным источником тепла. Рассмотрим распространение тепла вдоль однородного бесконечного стержня, расположенного вдоль оси x. Начало координат совместим с положением нагревателя, который расположен перпендикулярно оси.
Пусть в тонком поперечном слое при x = 0 и t = 0 мгновенно выделилось количество теплоты Q0. Выделившееся тепло диффундирует вдоль оси x.
71
Распределение тепла вдоль стержня в любой момент времени соответствует нормальному закону Гаусса:
|
|
1 |
|
exp |
x2 |
||
P x |
|
|
2V2 |
, |
|||
|
|
|
|
||||
V |
|
2S |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
где Р (x) вероятность того, что к некоторому моменту времени порция теплоты будет иметь координату x; V среднеквадратичная ширина распределения. Тогда распределение линейной плотности тепла вдоль стержня равно:
'Q |
Q0 |
|
exp |
x2 |
|||
|
2V2 |
. |
|||||
|
|
|
|||||
'x |
V 2S |
||||||
|
|
|
|
||||
Разделим обе части этого равенства на произведение (сS), где с теплоемкость единицы объема стержня, S площадь его поперечного сечения:
'Q |
1 |
|
Q |
|
|
|
1 |
exp |
x2 |
|
|
0 |
|
|
2V2 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
'x cS |
|
V 2S cS |
|
|
||||||
Левая часть данного выражения есть приращение температуры относительно исходной. Она равна приращению температуры 'T(x; t) в точке с координатой x в момент времени t по отношению к температуре в момент времени t = 0:
'T(x; t) = T(x; t) T(x; 0).
Тогда искомое распределе- T ние температуры вдоль стержня
имеет вид
t1 |
|
x2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
'T (x;t) T (0;t) exp 2V2 , (1) |
||
t2
где T(0; t) температура стержня к моменту времени t в точке среды с координатой x = 0; V среднеквадратичная ширина распре-
x
деления температуры по координате x. Кривые распределения температуры по координате для
двух моментов времени показаны на рис. 11.1.
С увеличением времени параметр V увеличивается, при этом температура T(0; t), соответствующая максимуму распределения, уменьшается. Нерав-
72
новесное состояние неравномерно нагретого стержня релаксирует к равновесному состоянию с одинаковой температурой во всех точках стержня. Зависимость V от времени можно представить в следующем виде:
V t |
|
. |
(2) |
2DT t |
|||
Формула (2) аналогична соотношению Смолуховского – Эйнштейна |
|||
для среднеквадратичного смещения частицы, совершающей броуновские блуждания.
Задача работы – сверить выводы теории теплопроводности в диэлектриках с экспериментом и определить значение коэффициента тепловой
диффузии для исследуемого материала. |
|
Для этой цели зависимость (1), используя операцию логарифмирова- |
|
ния, можно линеаризовать и привести к виду Y aX b , |
где Y ln 'T(x,t) , |
X x2 , a 1/ 2V2 , b lnT(0,t) . Коэффициенты a и b |
в этой линейной |
зависимости могут быть найдены методом наименьших квадратов (МНК). |
|
|||||||
|
Для проверки закона V(t) |
|
|
запишем его в виде |
|
|||
|
2DT t |
|
||||||
|
|
|
V |
V |
At |
D, |
(3) |
|
|
|
|
|
(t) |
|
|
||
где |
A |
|
. Эту формулу также можно линеаризовать, используя опера- |
|||||
2DT |
||||||||
цию логарифмирования. В результате придем к зависимости Y DX E , |
где |
|||||||
Y |
ln V, X lnt, E ln A, коэффициенты D и E в которой также могут быть |
|||||||
найдены по МНК.
По найденному значению коэффициента E можно найти значение ко-
эффициента A eE , а затем значение коэффициента тепловой диффузии,
DT A2 / 2 e2E / 2 .
Если полученное значение D близко к 1/2, то закон V(t) ~ 
t в дан-
ном опыте выполняется. Степень отличия D от 1/2 может служить мерой невыполнения теоретических допущений в данном эксперименте.
Метод измерений. В работе исследуется нестационарное распределение температуры в среде после кратковременного нагревания среды в некотором малом объеме. Экспериментальная установка содержит электронагревательный элемент, имеющий форму пластины, и термометры, находящиеся на различных расстояниях от нагревателя. Пространство между нагревателем и
73
термометрами заполнено кварцевым песком. Удельная теплоемкость песка 1.3 106 Дж/(м3 К). Геометрические размеры установки подобраны таким образом, что температурное поле вблизи нагревателя можно считать изменяющимся только вдоль одной координаты x. Направление оси x перпендикулярно плоскости пластины.
Указания по подготовке к работе
Занесите в бланк Протокола Таблицы 11.1 и 11.2 по определению измеряемых величин.
Таблица 11.1.
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 11.2. |
|
t, мин |
T1, qC |
T2, qC |
T3, qC |
T4, qC |
T5, qC |
T6, qC |
T7 , qC |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
Указания по выполнению наблюдений
1.Запишите координаты xi термометров в Таблицу 11.1.
2.Запишите начальные показания термометров T(x; 0) .
3.Включите нагреватель, удерживая нажатой кнопку включения на панели установки в течение 5 минут.
4.Выключите нагреватель и регистрируйте показания термометров T(x; t) через интервалы времени 't = 5 мин. Количество измерений 6 8. Результаты наблюдений занесите в Таблицу 11.2.
Задание по обработке результатов эксперимента
1.Вычислите приращение температуры среды относительно исходной температуры 'T(x; t) = T(x; t) T(x; 0) для каждого момента времени t в точках с координатами термометров x.
2.Постройте графики распределения приращения температуры в координатах (x, T) для каждого значения времени t j .
3. Введите обозначения Xi xi2 |
и Yij ln 'T xi; t j . Используя МНК, |
||||||||
найдите по наборам экспериментальных точек ( Xi, Yi1), |
( Xi, Yi2), ... ко- |
||||||||
эффициенты ( |
a1, |
|
|
|
|
|
|
линейных зависимостей |
Y1 a1X b1, |
b1), ( |
a |
2,b2 ), ... |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
74 |
|
Y2 a2 X b2, ... прологарифмированного уравнения (1) для каждого момента времени t j .
4.Постройте графики распределения температуры в приведенных координатах ( X ,Y) для каждого значения времени t j . Для этого нанесите на коор-
динатную плоскость точки ( Xi, Yi1), ( Xi, Yi2), ... и проведите прямые
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МНК Yj a j X bj через точки ( X |
,Yj ) и (0,bj ) . |
|
||||||||
5. Введите обозначения Yj ln V j |
|
1 |
ln 2a j , X j |
ln t j . Используя МНК, |
||||||
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
найдите по набору (X j , Yj ) коэффициенты (D, |
|
) |
линейной зависимости |
|||||||
E |
||||||||||
YDX E прологарифмированного уравнения (3).
6.Сопоставьте найденное по МНК значение D со значением 1
2 и сделайте заключение о соответствии теории и эксперимента.
7.Используя определенное по МНК значение коэффициента E , найдите значение коэффициента диффузии DT .
Контрольные вопросы
1.При каком условии в твердом теле возникает поток тепла?
2.Запишите уравнение теплопроводности для одномерного случая, например, распространения тепла вдоль оси x.
3.Что означает знак «минус» в уравнении теплопроводности или диффузии?
4.Назовите размерность следующих величин: плотность теплового потока, поток тепла.
5.Сформулируйте методику измерений, используемую в лабораторной работе, и опишите лабораторную установку.
6.Нарисуйте распределение Гаусса и отметьте на графике среднеквадратичную ширину данного распределения.
7.Поясните, почему теплопроводность твердых тел во много раз больше, чем теплопроводность газов?
8.В каких координатах зависимость y = aex будет линейной?
9.Поясните способ построения линейных зависимостей согласно МНК.
75
СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Таблица 12.1. Значения коэффициентов Стьюдента tP, N в зависимости от числа наблюдений N при доверительной вероятности Р = 95 %:
N |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
100 |
tP, N |
12.7 |
4.3 |
3.2 |
2.8 |
2.6 |
2.5 |
2.4 |
2.3 |
2.3 |
2.0 |
Таблица 12.2. Коэффициенты EP, N для расчета доверительной погрешности по размаху выборки 'x = EP, N R для числа наблюдений N доверительной вероятности Р = 95 %:
N |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
EP, N |
1.30 |
0.72 |
0.51 |
0.40 |
0.33 |
0.29 |
0.25 |
0.23 |
0.21 |
0.19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 12.3. Коэффициенты uP, N для проверки результатов наблюдений на наличие грубых погрешностей в зависимости от объема выборки N для доверительной вероятности Р = 95 %:
N |
3 |
4 |
5 |
7 |
10 |
15 |
20 |
30 |
100 |
uP, N |
0.94 |
0.76 |
0.64 |
0.51 |
0.41 |
0.34 |
0.30 |
0.26 |
0.20 |
Таблица 12.4. Коэффициенты vP, N для проверки элементов выборки на наличие грубых погрешностей в зависимости от объёма выборки N при доверительной вероятности Р = 95 %:
N |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
vP, N |
1.15 |
1.46 |
1.67 |
1.82 |
1.94 |
2.03 |
2.11 |
2.18 |
2.23 |
2.29 |
Таблица 12.5. Значения вязкости глицерина для разных температур.
|
|
|
t, oC |
0 |
5 |
|
10 |
20 |
|
|
30 |
40 |
|
50 |
|
|
|
||||
|
|
|
η , Па·с |
12.1 |
7.05 |
3.95 |
1.48 |
0.60 |
0.33 |
0.18 |
|
|
|
||||||||
|
Энергия |
активации |
глицерина |
составляет |
|
1.115 10 19 Дж , |
|||||||||||||||
С 1.574 10 12 Па с . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Таблица 12.6. Значения вязкости и плотности веществ при t |
20 oC . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Машинное |
|
Машинное |
|
Касторовое |
Глицериновое |
|
||||||||||
Вещество |
Воздух |
|
Вода |
|
масло лег- |
|
масло тя- |
|
|
Глицерин |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
кое |
|
желое |
|
|
масло |
|
|
масло |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
η , Па·с |
17 10 6 |
|
0.001 |
|
|
0.1 |
|
|
0.65 |
|
|
|
0.99 |
|
|
0.26 |
|
1.48 |
|||
U, г / см3 |
1.29 10 3 |
|
1.0 |
|
|
0.88 |
|
|
0.94 |
|
|
|
0.96 |
|
|
1.1 |
|
1.26 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
76 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 12.7. Значения коэффициентов O и DT |
для некоторых твердых |
|||
веществ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вещество |
DT , см2/с |
|
O, Вт/(м2 К) |
|
|
Алюминий |
1 |
|
200 |
|
|
Лед |
0,01 |
|
2 |
|
|
Песок морской |
0,003 |
|
0,3 |
|
Алгоритм обработки данных по методу наименьших квадратов
|
|
|
|
|
для линейной зависимости вида Y |
|
|
|
aX b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
¦Xi , |
|
¦Yi , |
|
a |
|
|
|
¦XiYi NXY |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
X |
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
Y |
|
aX , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¦Xi2 NX 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
§ |
¦(Yi |
|
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
1 |
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 § |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
¦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
· |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
S |
|
|
a |
|
S |
S |
|
X |
|
|
|
|
( X |
|
X ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
, |
|
|
|
|
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
¸ |
, |
||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
N 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
a |
|
|
|
N |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
¨ |
¦( Xi X ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
© |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
2 |
|
, |
|
|
S |
|
|
|
|
|
S |
2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
'a tP,N 1S |
|
, 'b tP,N 1S |
|
, θx |
|
|
|
1 |
|
¦θxi , θ y |
|
|
|
|
1 |
|
|
¦θ yi , θa |
|
0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
N |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θb |
|
|
|
|
θ x θ y , |
|
'a, |
|
'b θb. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
'a |
'b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
77
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Савельев И. В. Курс общей физики: В 3 т. Т. 1. Механика. Молеку-
лярная физика. СПб.: Лань, 2006.
2. Морозов В. В., Соботковский Б. Е., Шейнман И. Л. Методы обработки результатов физического эксперимента: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ
«ЛЭТИ», 2004.
3. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Учеб. пособие: Для вузов. В 5 т. Т. I.
Механика. – 4-е изд., стереот. – М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. - 560 с.
4. Сивухин Д. В. Общий курс физики: Учеб. пособие: Для вузов. В 5 т. Т.
II. Термодинамика и молекулярная физика. – 5-е изд., испр. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 544 с.
78