TOE_MU_dlya_kursovika

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

щей в описании процессов в цепи, τmin =

≈1,8 – минимальная

.pdf

Скачиваний:

314

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

tз =	ΔΦ(ω)	,
	ΔΦ(ω)

	Δω
	Δω

где ΔΦ(ω) – приращение фазы, измеренное в радианах; Δω – приращение частоты в области низких частот. Для ФНЧ можно также использовать формулу tз = Φ′(0). Таким образом, tз ≈ 3.

2.4.4. Составление уравнений состояния цепи

iк

= i

(t),

iк

= i

(t),

Получим уравнения состояния цепи с помощью формальной процеду-

ры, для чего заменим L-элементы на источники тока iL

(t) и iL

(t), а C-

элемент на источник напряжения uС

(t). Соответствующая схема замеще-

ния приведена на рис. 2.5.

В полученной резистивной цепи любым методом

расчета найдем

(t), uL

(t), iC

(t). Для примера выберем метод контурных токов:

R1i1к − R2i2к + (R1 + R2 )i3к = u0 (t);

Следовательно,

i3к =

R2iL2 (t)− R1iL1 (t)+ u0 (t)

= −0,5iL

(t)+ 0,5iL (t)+ 0,25u0 (t),

R1 + R2

тогда:

(t)= i

(t),

(t)− R (iк + iк )= −u

(t)= u

(t)− u

(t)− i

(t)

+ 0,5u

(t),

1 1

(t)

= R

(iк − iк )− R iк = −i

(t)− 2i

(t)+ 0,5u

(t);

н 2

Используя

соотношения

(t)= C u

′

(t),

(t)= L i′ (t),

1 L1

(t)= L i′

(t), получим уравнения состояния:

2 L2

uC′

(t) = 0

(t)+1iL

(t)+ 0

(t)+ 0 u0 (t),

i′

(t)

= −1 u

(t)−1 i

(t)−1

(t)+ 0,5 u (t),

(2.2)

iL′

(t) = 0 uC

(t)− 0,2 iL

(t)− 0,4

iL (t)+ 0,1u0 (t);

Для расчета реакции – напряжения uн(t) запишем уравнение связи:

u	н	(t) = R iк = i	L	(t)	(2.3)
	н	н 2	L
			2

Уравнения состояния (2.2) в матричной форме:

ПС

(

)

[

]

ПС (

)

[

]

1 (

)

′

u′

(t)

i′

(t)

−1

(t)

+ 0,5 u

(t)

(2.4)

(t)

i′

(t)

− 0,2

− 0,4

0,1

iL2(t)

i1к

(t)

u0(t)

uC1(t)

Рис. 2.5

Проконтролируем полученные уравнения (2.4). Для этого можно рассмотреть приведенные на рис. 2.6 схемы замещения цепи при единичном ступенчатом воздействии u0(t) = δ1(t) при t → 0+ (рис. 2.6, а) и t → ∞ (рис. 2.6, б). Схемы аналогичны приведенным на рис. 2.2.

Для схемы на рис. 2.6, а имеем:

iC		(0		+) = 0,
	1		(0		+) = 0,5,
	L
u	1
uL			(0		+) = 0,5;
	2

					i		(0		+)
uC′			(0 +) =		C1
uC′			(0 +) =				C1
	1						C1
				uL			(0	+)
	i′	(0 +) =		uL			(0	+)
				1

	L					L1
	1					L1
			(0 +) =	uL			(0		+)
iL′			(0 +) =	2			L
	2						L
							2

=0,

=0,5,

=0,1;

Такие же значения производных получаем из (2.4) при t → 0+. Для схемы на рис. 2.6, б имеем: uC1(∞) = 0,25, iL1(∞) = 0 , iL2 (∞) = 0,25. Такие же вынужденные значения получаем по уравнениям (2.4), приравняв их левые части к нулю.

R1	L2			R1		L2
u0=1	L1			u0=1	L1
u0=1	L1		uн=0	u0=1			uн=0,25
	R2	Rн	uн=0		R2	Rн	uн=0,25
	C1				C1
	а				б
				Рис. 2.6

Контроль также можно осуществлять по характеристическому полиному цепи, который здесь определяют как

det([A]− p[E])= 0.

2.4.5. Определение переходной и импульсной характеристик

Для аналитического расчета переходной характеристики используем операторный метод:

(t) = L

−1 H (s) = L −1

H (s)

= L −1

10s(s + 0,545)(s + 0,856s

0,743)

Применим теорему разложения:

(s)=

s2 + 1

s(s + 0,545)(s + 0,428 − j0,743)(s + 0,428 + j0,743)

s + 0,545

s + 0,428 − j0,743

s + 0,428 + j0,743

Вычеты в

полюсах

равны: D1 = 0,25;

D2 = -0,421;

D3 = 0,094e j0,415 ;

D4 = 0,094e− j0,415 .

При

наличии

комплексно-сопряженных

полюсов

вида

sk,k+1 = −α ± jω0 (в рассматриваемом

примере

такими

являются

s3,4 = −0,428	± j0,743) оригинал суммы соответствующих дробей может
быть найден следующим образом:
L −1		Dɺ		Dɺ			e−αt cos(ω0t + arg{Dɺk	})δ1

		k	+	k+1	= 2	Dɺk			(t),

	s − sk			s − sk+1

где Dɺk , Dɺk+1 – вычеты, соответствующие полюсам sk, sk+1, причем Dɺk соответствует полюсу с положительной мнимой частью (sk = −α + jω0 ).

Таким образом, переходная характеристика имеет вид:

h1(t) = 0,25 − 0,421e−0,545t + 0,188e−0,428t cos(0,743t + 0,415) δ1(t) (2.5) График переходной характеристики приведен на рис. 2.7, а.

Проконтролируем конечное h1(∞) и начальное h1(0+) значения переходной

характеристики по выражению (2.5): h1 (∞)= 0,25;

h1 (0 +)= 0,

а также по выражению (2.1), использовав теоремы о конечном и начальном

значениях: h1	(∞)= limsH	1(s)= 0,25;	h1	(0 +)= lim sH		1(s)= 0. Значения сов-
	s→0				s→∞
падают.
h1(t)				h(t)
0,25				0,1
0,25

0,2

0,08

0,15

0,06

0,1

0,04

0,05

0,02

0	5	10	15 t			0	5	10		15 t
		а						б
					Рис. 2.7
Найдем импульсную характеристику:
	−1 H (s)		= L −1				s2 +1
h(t) = L									.
h(t) = L									.
				10		(s + 0,545)(s + 0,856s + 0,743)

Используем теорему разложения:

H (s)=	D5	+	D6	+	D7	,
	s + 0,545		s + 0,428 − j0,743		s + 0,428 + j0,743

где D5 = 0,229; D6 = 0,08e j2,509 ; D7 = 0,08e− j2,509 .
Тогда:
h(t)= [0,229e−0,545t + 0,16e−0,428t cos(0,743t + 2,509)] δ							1	(t).
							1
График импульсной характеристики приведен на рис. 2.7, б.
Выполним численный расчет переходной характеристики, для чего
получим численное решение уравнений состояния на основе алгоритма
Эйлера:
[fПСn ]= [fПС(n-1)]+				t([A][fПС(n-1)]+ [B][f1(n-1) ]) ;
	u				u
uC1n		C1(n−1)			C1(n−1)
i	= i	L1(n−1)	+	t	[A] i	+[B]u	.
L1n		L1(n−1)			L1(n−1)	0(n−1)
iL n	i				i
iL n	i	L2 (n−1)			i
2		L2 (n−1)			L2 (n−1)
				Рис. 2.8

	1		T
Шаг расчета выбираем, исходя из условия t <		min τmin ,	min	, где
Шаг расчета выбираем, исходя из условия t <		min τmin ,		, где
	5		4

Tmin ≈ 8,5 – минимальный период колебаний синусоидальной составляю-

постоянная времени, sk – полюсы передаточной функции цепи. Выбираем шаг расчета равным 0,3. Тогда:

u		= u	(	)		+ 0,3i			(	)	,
	C1n		(	)					(	)
	C1n		C1 n−1					L1 n−1
i		= i		+ 0,3 −u								− i		− i				+ 0,5 u				,
	L1n		( )						(		)		( )		L2	(	)		0	(		)
	L1n	L1 n−1						C1 n−1					L1 n−1		L2		n−1		0		n−1
		= iL2(n−1)			+ 0,3		−0,2iL2(n−1) − 0,4 iL2(n−1) + 0,1u0(n−1)															.
iL2n		= iL2(n−1)			+ 0,3		−0,2iL2(n−1) − 0,4 iL2(n−1) + 0,1u0(n−1)															.

На основе полученного численного решения для переменных состояния с помощью уравнения связи (2.3) вычислим значения переходной характеристики:

uнn = iL2n .

Графики переходной характеристики, полученные на основе аналитического и численного расчета, приведены на рис. 2.8. График, соответствующий численному расчету, изображен штриховой линией.

2.4.6. Вычисление реакции при воздействии одиночного импульса

Найдем изображение по Лапласу входного одиночного импульса, для чего с помощью метода двойного дифференцирования (применение данного метода описано в типовом примере к теме 1) представим указанный им-

пульс в виде u0 (t) = U0mδ1(t) −U0mδ1(t − tи ) тогда:
	U0	(s) =	U0m	(1− e−stи )	(2.6)
	U0	(s) =	s	(1− e−stи )	(2.6)
			s
uн(t), u0(t)
25
25

Рис. 2.9

Запишем выражение для изображения реакции цепи на входной одиночный импульс:

н(

)

(

) 0(

)

s2 +1

U0m

(

−st

)

н1(

)

−U

н1(

)

−st

и ,

s U

1−e

s e

10s3 +14s2 +12s+4 s

где Uн1(s)

U0m (s2 +1)

s(10s3 +14s2 +12s + 4)

Тогда

uн (t) = uн1 (t)δ1 (t)− uн1(t − tи )δ1(t − tи ),

причем uн1(t) = L

−1 U

(s) . Используя теорему разложения, получим

н1

uн1(t) = 25 − 42,1e−0,545t

+18,8e−0,428t cos(0,743t + 0,415).

Графики реакции (сплошная линия) и измененного в A(0) раз воздействия (штриховая линия) приведены на рис. 2.9. Анализ рис. 2.9 подтверждает правильность предположений, сделанных в п. 2.4.3.

2.4.7. Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия

Определим спектральные характеристики одиночного импульса, изображенного на рис. 2.1, б.

С учетом (2.6) комплексный спектр импульсного воздействия:

(1− e− jωtи )=

e− j

ωtи

+ e− j

ωtи

U0 ( jω) =U0 (s)

U0m

e j

s= jω

jω

= 2U0m sin ωtи e− jω2tи .

ω 2

Амплитудный спектр входного сигнала:

A1(ω) =	2U	0m		ωt
			sin	и	.
	ω			2

Фазовый спектр входного сигнала:

ωt

−

и ,

sin

≥ 0,

Φ1

(ω) =

ωtи

π −

< 0.

, sin

Для построения графика амплитудного спектра сигнала найдем его узлы – значения частот ωуk, при которых указанный спектр равен нулю:

A1		ωt	и	= 0, т.е.	ωt
A1	(ω) = 0 при sin		и	= 0, т.е.	и = kπ; следовательно, ωуk ≈ 0,133k;
		2			2

k = 1, 2, 3, … . При вычислении значения амплитудного спектра на частоте

ω = 0 возникает неопределенность вида	0	. Для раскрытия неопределен-


	0

ности используем правило Лопиталя:
									ωt
					ωtи			sin′		и
A1	(0) = lim	2U0m			ωtи	= 2U0m		lim	2		=
A1	(0) = lim	ω		sin		= 2U0m		lim	′		=
	ω→0	ω			2			ω→0	ω
			tи		ωtи
				2	cos
	= 2U0m			2	2		=U0mtи.
	= 2U0m				1		=U0mtи.
					1		ω=0
A1(ω)
4000
3000
2000
1000
0	0,2	0,4			0,6		0,8	1		1,2	ω
	0,2	0,4			0,6		0,8	1		1,2	ω
	ωсп
					а
Φ1(ω)	0,2	0,4			0,6		0,8	1		1,2
	0,2	0,4			0,6		0,8	1		1,2
0											ω
											ω
-1
-2
-3
					б
					Рис. 2.10

Графики амплитудного и фазового спектров одиночного импульса воздействия показаны на рис. 2.10, а, б соответственно.

Ширина спектра импульсного входного сигнала, определенная по 10%-му амплитудному критерию (см. рис. 2.10, а), Δωсп [0;0,36] .

Сравнение ширины спектра воздействия и полосы пропускания цепи показывает, что спектр входного сигнала укладывается в полосе пропускания, следовательно, оценки, сделанные в п. 2.4.3, справедливы, что подтверждается данными точного расчета, проведенного в п. 2.4.6.

2.4.8. Вычисление спектра реакции при одиночном импульсе на входе цепи

Выражение для амплитудного спектра реакции:

A2 (ω) = A1(ω) A(ω).

Фазовый спектр реакции:

Φ2 (ω) = Φ1(ω) + Φ(ω) .

A2 (ω)

Φ2(ω)

Рис. 2.11

Графики амплитудного и фазового спектров реакции на импульсное
воздействие приведены на рис. 2.11, а, б соответственно.
2.4.9. Определение спектра периодического входного сигнала
Для получения спектральных характеристик входного периодического
сигнала используем их связь со спектральными характеристиками входно-
го одиночного импульса:
A	= 2 A		(ω)		ω=kω1	– амплитудный спектр входного периодического
1k	T	1			ω=kω1
сигнала;
Φ1k	= Φ1(		ω)	ω=kω1		– фазовый спектр входного периодического сиг-
				ω=kω1
нала, где k = 0, 1, 2, …, N; N – число гармоник ряда Фурье, используемых
при расчете; ω = 2π ≈ 0,067 – частота основной гармоники.
		1		T
A1k
100
50
0					ω	2ω	3ω	4ω	5ω ω
					ω	2ω	3ω	4ω	5ω ω
					1	1	1	1	1
							а
Φ1k
0					ω1	2ω1	3ω1	4ω1	5ω1
0									ω
									ω
-1
-2
-3
							б
							Рис. 2.12

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
09.02.2015592 Кб185TOE_Lab_9.doc
#
09.02.2015927 Кб158toe_labs (1).doc
#
09.02.20154 Мб314TOE_MU_dlya_kursovika.pdf
#
09.02.201512 Мб63TOE-Spravochnik.djvu
#
09.02.201518 Кб26TOE.docx
#
09.02.2015156 Кб23ВОПРОСЫ_ТОЭ.pdf
#
09.02.2015158 Кб37Задачи по ТОЭ экзамен.doc
#
09.02.2015598 Кб83Методы-ТОЭ.pdf