Билеты 2019-2020 ИТАЭ

1.Опишите процедуру решения уравнения Э. Шрёдингера для микрочастицы, находящейся в поле центральной силы. Как в процессе этого решения используются результаты квантовой теории момента импульса? Какие динамические переменные одновременно имеют определённые значения и почему? Объясните (без вывода), как распространить результаты решения этой задачи на описание относительного движения двух микрочастиц.

2.Вычислите волновые функции un (x) и энергетические уровни En микрочастицы массы m с одной степенью свободы, находящейся в стационарных связанных состояниях в поле силы

(x) 0 12 ax2 .

3. Покажите, что собственные функции оператора Гамильтона микрочастицы, находящейся в стационарном состоянии в поле силы

которые принадлежат разным собственным значениям этого оператора, ортогональны.

1.Покажите, что вычисление радиальной части волновой функции микрочастицы в центральном поле сил сводится к решению одномерного уравнения Э. Шрёдингера с эффективной потенциальной энергией. Каков возможный характер решений этого уравнения для различных центральных сил? Колебательное, азимутальное (вращательное) и магнитное квантовые числа. Объясните (без вывода), как распространить результаты решения рассмотренной задачи на описание относительного движения двух микрочастиц.

2.Вычислите волновые функции стационарных состояний и энергетические уровни микрочастицы массы m, находящейся в поле сил с потенциальной энергией

3. Вычислите среднее значение координаты микрочастицы, находящейся в стационарном состоянии в поле силы

1.Потенциальная энергия сил химической связи атомов в двухатомной молекуле. Вычисление волновых функций, описывающих состояния относительного движения атомов, и колебательно– вращательных энергетических уровней молекулы. Колебательное, азимутальное (вращательное) и магнитное квантовые числа. Вырождение энергетических уровней. Модель «гармонический осциллятор

— жёсткий ротатор». Характер энергетического спектра.

2.Вычислите коэффициенты прохождения через барьер и отражения от барьера микрочастицы массы m, находящейся в поле сил с потенциальной энергией

( 1 0 ), и постройте графики зависимостей найденных коэффициентов от энергии Е микрочастицы.

3. Выведите коммутационное соотношение между операторами проекций момента импульса

ˆ ˆ ˆ . [M x , M y ] i M z

1. Основываясь на вероятностном смысле коэффициентов разложения волновой функции по полной системе собственных функций самосопряжённого оператора, выведите формулу для расчёта среднего значения (математического ожидания) любой физической величины (динамической переменной) микросистемы в состоянии, описываемом заданной волновой функцией.

2. Вычислите волновые функции стационарных состояний и энергетические уровни микрочастицы массы m, находящейся в поле сил с потенциальной энергией

3. Выведите коммутационное соотношение между операторами квадрата и проекции момента импульса

1.Опишите типичные особенности решений квантовых задач о стационарных состояниях рассеяния микрочастицы на одномерных потенциальных барьерах (существование нетривиальных решений уравнения Шредингера, характер энергетического спектра, поведение волновых функций и их нормировка, туннельный эффект, надбарьерное отражение) и сравните результаты этих решений с классической картиной инфинитного движения материальной точки. Дайте определения коэффициентов отражения частицы от барьера и её прохождения через барьер (прозрачности барьера).

2.Найдите собственные функции l,v (r) и собственные значения энергии радиального уравнения, определяющего стационарные волновые функции ul,ml ,v (r, , ) и энергетические уровни El,v атома водорода и водородоподобных ионов.

3.Докажите первую теорему Эренфеста

используя динамическое уравнение Гайзенберга.

1.Докажите, что в классической механике момент импульса является интегралом движения материальной точки в поле центральной силы. Используя принцип соответствия Н. Бора, дайте определения операторов проекций и квадрата момента импульса в квантовой механике. Покажите, как вывести коммутационные соотношения между ними. Что можно сказать, исходя из этих соотношений, о существовании состояний микрочастицы в центральном поле, в которых рассматриваемые динамические переменные могут одновременно иметь определённые значения?

2.Вычислите волновые функции стационарных связанных состояний un (x) и соответствующие энергетические уровни En микрочастицы массы m, находящейся в поле сил с потенциальной энергией