Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

Дифференциальные уравнения

Файл:

Дифференциальные уравнения. методические указания для выполнения расчетно-графической работы для студентов всех специальностей. Дементьева А.М., Горяйнов В.В

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

493 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

ВАРИАНТ 4

I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:

xy′

+ y

xdx + ydy +

ydx − xdy

= 0.

−1

= 0.

+ y

′′

′

4. y

′′

2 y

′

+ y = 6e

−x

3. y (e

1) = −y .

′′

5. y

+ y = cos x .

II. Решить задачи Коши:

′

= −y;

y(1) =1.

′

= e

−x

;

y(0) = 0.

7. (1 − x)( y + y )

9. y

′′′

= x +1

−sin 2x;

8. (x2 −1) y′− xy = (x3 − x) y3 ;

y(0) = −8 ,

2) =1.

′

′′

8 ,

2 .

y (0)

′′

′

= x +3y,

;

y(0) = 0,

10. y (1 + y) = 5( y )

x (0)= 3,

y(0) =1.

′

=1.

11. dt

y (0)

= −x +5y,

III. Задача

Скорость распада радия пропорциональна наличному его количеству. В течении года из каждого грамма радия распадается 0,44 мг. Через сколько лет распадется половина имеющегося количества радия?

ВАРИАНТ 5

I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:

1. y′ =

9x2 + y2 + xy

2. y′+3y =14e4 x y3 .

3. xy′′− y′ = 0.

4. y′′−12 y′+ 40 y = 2e6 x .

5. sin y

+ y sin x +

dx + x cos y

−cos x +

dy = 0.

II. Решить задачи Коши:

7. y

′

+ y tg x

=sec x; y(0) = 0.

6. yy′ = 2 (x −1);

y(0) = 3.

8. y′′ = 2sin x cos2 x;

9. y

′′

y′

′

= 2.

y(0) = −

y′(0) = −

y ;

y(0) =1, y (0)

10. y′′+9 y =

;

= 3x − 2 y,

sin 3x

x (0)=1,

y(0) = 0.

11.

) = 0,

′

)

=1.

= 4x + 7 y,

y (

III.Задача

Вбаке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак вливается вода со скоростью 5л/мин, и смесь вытекает с такой же скоростью. Сколько соли останется в баке через час? (Концентрация принимается равномерной).

ВАРИАНТ 6

I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:

1. xy′ln x =5x − y.

2. x2 y′− 2xy − y3 = 0.

3. (2x − y +1)dx +(2 y − x −1)dy = 0.

x( y′′+1) + y′ = 0.

′′

′

− 2 y

+ y = x

2 +1.

II. Решить задачи Коши:

6. ln x sin3 ydx + x cos ydy = 0 ;

′′

= −

;

y(0) =

′

2 y

y (0)

y(1) = 4 .

′′

2 y

′

= 6x

+ 2x +1;

′′

y(0) = 0,

′

;

cos2

y (0) = 0.

y(0) = 2,

y′(0) = 2.

= 2x −5y,

10. x

y′ = y(x + y);

y(1) = 2.

x(π) = e

−2π

, y(π) =

−2π

11.

= 5x −6 y,

III. Задача

Найти линию, у которой площадь трапеции, образованной осями координат, ординатой произвольной ее точки и касательной в этой точке, равна половине квадрата абсциссы.

ВАРИАНТ 7

I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:


1.	y′	= 5x	3	y	2	.	2. xy′′ = y′ln	y′
									.
	y
								x

3.xy2 dy = (x3 + y3 )dx. 4. (3x2 − 2x − y)dx + (2 y − x −3y2 )dy = 0.

5.y′′+ 4 y = ctg2x.

II.Решить задачи Коши:

6. (x +1) y′+ y = x3 + x2 ; y(0) = 0 .		7. x2 y′+ xy +				y = 0; y(1) = 4.

8. y′′ = x +sin x;		′	2		′′	y(0) = 2,	′	= 2.
y(0) = −3,	′	9. 2( y )		= ( y −1) y ;		y(0) = 2,	y (0)	= 2.
y(0) = −3,	y (0) = 0.
10. y′′−2 y′+5y = 5x2 +6x −12;		dx			= x −4 y,
					= x −4 y,	x(0) =1,	y(0) =1.

y(0) = 0,	′	11. dt
	′	dy
	y (0) = 2.	dy			= x −3y,


		dt

III. Задача

Пользуясь прямоугольной системой координат, найти форму зеркала, отражающего параллельно данному направлению все лучи, выходящие из одной точки.

ВАРИАНТ 8

I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:

1. (xy + y2 )dx −2(x2 + xy)dy = 0.

y′cos x − y sin x = cos2 x.

ydy

(x +1) y

− x2 dx

−

= 0.

4. y′−

− y

5. xy′′− y′ = x2ex .

II. Решить задачи Коши:

= 0;

y(2) =1.

′′

′

= y

;

′

=1.

x( y −1)

y(x + 2)

−( y )

y(0) = y (0)

′′

=arctg x; y(0) = 0,

′

9. y′′−2 y′+5y = 5x2 +6x −12;

y (0) = 0.

y(0) = 0,

′

y (0) = 2.

	π			dx
10. y′′+ y =ctg x; y		=1,			= −x + 2 y,
10. y′′+ y =ctg x; y		=1,		dt	= −x + 2 y,
	2			dt	x(0) = 0, y(0) =1.
π			11.		x(0) = 0, y(0) =1.
π			11.	dy
y′	= 0.				= −2x −5y,
y′	= 0.				= −2x −5y,
2				dt

III. Задача

За 30 дней распалось 50% первоначального количества радиоактивного вещества. За сколько времени останется 1% от его первоначального количества, если известно, что скорость распада пропорциональна массе радиоактивного вещества.

ВАРИАНТ 9

I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:

1. ex−y dx −	1	dy = 0.	′	2	+ 4)	− xy =	x	2	+ 4.

	x		2. y (x

3. x3 y′′+ x2 y′ =1.			4. y′′−4 y′+5y = (24sin x +8cos x)e−2 x .

5.(sin y +(1− y)cos x)dx +((1 + x)cos y −sin x)dy =0.

II.Решить задачи Коши:

6. y′= 4 +

y 2

y(1) = 2.

7. y′− y = e

; y(0) = 0.

;

8. y′′ = sin2 3x; y(0) = −

9. y

′′

′

= 2.

′

= 0.

= 2 − y; y(0) = 2, y (0)

y (0)

e5x

= 3x −4 y,

10. y′′−5y′+ 6 y =

; y(0) = 0,

x(0) = 4,

y(0) =1.

1 + ex

11.

′

= 2.

= x −2 y,

(0)

III. Задача

Найти кривую на плоскости xOy , у которой отрезок касательной к кривой, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам

ВАРИАНТ 10

I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:

1. sin2 x	dy	−2 y2	= 0.		y′−	y		x
				2.			= xe		y2 .
								2
	dx					x

3. ( y + xy )dx = xdy.	′′	′
	4. y x ln x = 2 y .

5.( y +ex sin y)dx +(x +ex cos y)dy = 0.

II.Решить задачи Коши:

′′′

= sin x;

y(0) =1,

′

= 0,

y (0)

7. y′+ y tg x =sec2 x; y(0) = 0.

′′

= 0.

y (0)

y′′+

(y′)2

= 0;

y(0) = 0,

y′′+3y′ = (40x +58)e2 x ;

y(0) = 0,

− y

′

= 2.

=1.

y (0)

10. y′′+8y′+16 y =

x2e−4 x

= 3x −2 y,

;

x(0) = 2,

y(0) = 0.

x −3

11.

y(0) =1,

′

= 2.

= 4 y − x,

y (0)

III. Задача

Пуля входит в доску толщиной 10 см со скоростью 200 м/с, а вылетает из доски со скоростью 80 м/с. Считая, что сила сопротивления движению пули в доске пропорциональна квадрату скорости, найти время движения пули через доску.

ВАРИАНТ 11

I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:

1. y′

2 y

e−x

2. y′−7 y =8e

3. (x

+sin y)dx +(1 + x cos y)dy = 0.

′′

′

y x ln x = y .

5. y′′+ 2 y′+37 y = 37x2 −33x +74.

II. Решить задачи Коши:

6. xy′ = y(3 +ln y −ln x);

y′ =

y(1) =

ln x;

y(1) = 3.

8. y′′′ =

;

y(1) =

9. y

′′

y(0)

′

3 ;

=1,

= 0.

′

y (0)

′′

y (1)

= y (1) = 0.

y′′− y = e2 x cos ex ;

= x −2 y,

10.

y(0) =1,

(0)= 2,

11.

y(0) = 0.

′

y (0) = 2.

= 2x + y,

III. Задача

Футбольный мяч весом 0,4 кг брошен вверх со скоростью 20 м/с. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно 0,48 при скорости 1 м/с. Вычислить время подъема мяча и наибольшую высоту подъема.

ВАРИАНТ 12

I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:

1. y′+3y =14e4 x

y4 .

2. (x + 2 y)dx + xdy = 0.

xy′′− y′ = 2x2ex .

4. (3x2 y +sin x)dx + (x3 −cos y)dy = 0.

5. y

′′

+ 4 y

′

+ 4 y =

(x2 +1)e−2 x

+1 .

II. Решить задачи Коши:

7. cos x cos ydx −sin x sin ydy = 0;

6. xy′+ y + xe−x2

= 0;

y(1) =

=0.

y′′′ = cos 4x; y(0) = 2,

′′

′

;

y(1) =

′

′′

y tgy = 2( y )

y (1) = 2.

y (0) =

y (0) = 0.

y′′+10 y′+34 y = −9e5 x ;

= 3x − y,

10.

x (0)= 5,

y(0) =8.

y(0) = 0,

′

= 6.

11. dt

y (0)

= 4x − y,

III. Задача

Найти кривые, для которых треугольник, образованный осью Oy , каса-

тельной к кривой и радиусом – вектором точки касания, является равнобедренным.

ВАРИАНТ 13

I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:

1. y′ =

xy − y2

2. y′−

= 3x y.

3. y′+

6xy

4. y′′+ y =

x2 +1

(x2 +1)4

sin3 x

5.(x +sin y)dx +(x cos y +sin y)dy = 0.

II.Решить задачи Коши:

y′

; y(

2 ) =

4 .

y′′ =

; y(0) =1, y′(0) =

sin x

cos y

cos2 x

8. y

′′

′ 2

;

′

′′

′

y(0) =1,

′

=1 −( y )

y(0) = y (0) = 0.

9. y (x

+1) = 2xy ;

y (0) =1.

10.

= 2 y −3x,

x (0)= 0,

y′′+8y′+16 y =16x3 + 24x2 −10x +8;

y(0) =1.

11.

y(0) =1,

′

= 3.

= y −2x,

y (0)

III. Задача

Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды пропорционального скорости лодки. Начальная скорость лодки 1.5 м/с ; через 4 с ее скорость 1 м/с. Когда скорость лодки уменьшится до 1 см/с? Какой путь пройдет лодка до остановки?

ВАРИАНТ 14

I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:

1. y′−

−e2 x =

2. (1 − x2 ) y′+ xy = y5 .

3. y

′′−

′

sin

4. y

′′

+6 y

′

+13y = −75sin 2x.

2 y ctgx

5.(3x2 +6xy2 )dx +(6x2 y + 4 y3 )dy = 0.

II.Решить задачи Коши:

+ x

′

= 0;

y(−1) =1.

′ 4

+ 2 yy

′′

′

=1.

( y )

= 0; y(0) = y (0)

8. xy

′

− y = x cos

y(3) = 0.

′′

tg x

′

= 0.

;

= cos2 x

;

y(0) = 2 ,

y (0)

10.

y′′+ y =

;

y(0) = 2,

= y,

x(0) = 3,

y(0) = −1.

11.

′

= 6x − y,

y (0) = 0.

III. Задача

Найти кривые, для которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, равную 23 абсциссы точки касания.

ВАРИАНТ 15

I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:

1. (x2 −2xy) y′ = xy − y2 .

2. yex dx +( y +ex )dy = 0.

3. x

′′

+ xy

′

=1.

′′

′

xe−x

4. y

+ 2 y

+ y = x2 −1.

5.x 9 − y2 dx − y(4 + x2 )dy = 0.

II.Решить задачи Коши:

6. xy′+ y = sin x; y(π2) = 2π .

8. y′′′ = 6 x3 ; y(1) = 0, y′(1) = 5, y′′(1) =1.

10. y′′+8y′+16 y =16x3 + 24x2 −10x +8;

′	= 3.
y(0) =1, y (0)

III. Задача

	7.	x2 y′ = 2xy +3y3 ;		y(1) =1.
		′′	′ 2	′
		9. y (1 + y) =	( y )	+ y ;
		′
		y(0) = y (0) = 2.
	dx	= 6x + y,
		= 6x + y,	x(0) =1, y(0) = 7.

11.	dt
11.	dy	= 5x + 2 y,
		= 5x + 2 y,
	dt

Некоторое вещество преобразуется в другое вещество со скоростью, пропорциональной количеству непреобразованного вещества. Сколько вещества было в начале процесса, и через сколько времени останется лишь 1% первоначального количества вещества, если известно, что по истечении одного часа этого вещества было 31,4 г , а по истечении трех часов 9,7 г .

ВАРИАНТ 16

I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:

1.	1 + x2	)	dy − xydx = 0	2. y	′′		′	2	= 0
(						+ 2x (y )
3.	y′′+16 y =8cos 4x			4. ydx +(			xy − x)dy = 0

5.y (x2 + y2 + a2 )dy + x(x2 + y2 −a2 )dx = 0

II.Решить задачи Коши:

6. xy′+ y = ln x +1;

y (1)= 0.

xy′′′ = 2;

y (1)= 0,5;

y′(1)= y′′(1)= 0.

8. y′sin x − y cos x = y

= (y′)

(0)= y′(0)=1.

; y

= −

9. 2 yy′′

; y

	′′		1		π		dx
10. y		+ y = sin x			; y 4 = 0,			= 3x −2 y,


			π			11.	dt	x (0)=1, y (0)= 6.
							dy
		y′		=1.				= 3x −4 y,

			4				dt

III. Задача

Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 10 км/ч. На полном ходу ее мотор был выключен и через 20 с скорость лодки стала равной 6 км/ч. Считая, что сила сопротивления воды пропорциональна скорости лодки, найти путь, пройденный лодкой через 2 м после остановки мотора и скорость лодки в этот момент.

ВАРИАНТ 17

I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:

(

′

1. xy

′

= x

− y + y.

1 y − xy = x

+ x.

)

3. tgx sin

y + y′ cos

x ctg y

= 0.

′′

′

+ y tg x = sin 2x.

+3x

dx +

−

= 0.

− y

x − y

II. Решить задачи Коши:

sin x

y′′′

= e

+1; y (0)=8,

6. xy′+ y

;

y′(0)= 5, y′′(0)= 2

(

)

′′

′

)

4 x

8. y

′′

2 y

−

′

9. y

+ y −2 y = 16x + 22

;

2(y

(

y (0)= 0, y′(0)= 3.

y (0)= 3, y′(0)= 5.

= x − y,

10. y′′− y′ =

;

(0)= 2, y′(0)=1.

11.

x(π )= e

, y

(π )= 0.

ex +1

= x + y,

III. Задача

Найти кривые, у которых длина отрезка, отсекаемого касательной на оси Oy, равна квадрату абсциссы точки касания.

ВАРИАНТ 18

I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:

1. (xy + y2 )dx = x2 dy.

2. y′−2 y = e2 x y4 .

′′

′

′′

′

e−3x

3. xy

= y

+ x

4. y

6 y

+9 y = 2x +5 .

tg y −

2 y3

sec

y + 4 y

3y2

dx + x

dy = 0.

II. Решить задачи Коши:

xy′ =

2cos3 y

;

y (1)= π .

y′

1 − x2

+ y = arcsin x; y(0) = 0.

sin y

9. y′′ =

; y (0)=1, y′(0)= 2.

8. y′′ =

; y

, y′

=1.

sin

10.

y′′−8y′ =16 + 48x2 −128x3 ;

= 5x −3y,

y (0)= −1, y′(0)=14.

11.

x(0)= 2, y (0)= 3.

= 3x − y,

III. Задача

Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью Ox имеет абсциссу вдвое меньшую абсциссы точки касания.

ВАРИАНТ 19

I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:

1. x

′

= y

(

+ y

)

′ ′′

′

)

+1.

2. 2xy y

= (y

3. y′ =

4. y′′(4 + y)= 2(y′)2 .

′′

′

+ 2 y

+ 2 y = ex sin x .

II. Решить задачи Коши:

6. xy′− y = x

sin x;

=π.

7. y′(x + x )=

1 − y;

y (1)= 0.

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дифференциальные уравнения