Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Высшая математика. Кратные интегралы и векторный анализ. практикум. Пантелеев И.Н

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2217 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

S = ∫

2x 1+

dx = ∫(2x +1)

2 dx = 1

2 (2x +1)2

9 =

98 .

б)

Дифференциал

контура

данном

случае

равен

dl =

x2 + y2 + z2 dt =

a2 +b2 dt .

Отсюда

площадь

цилиндрической поверхности

2π

S = 2∫π bt a2 +b2 dt = b a2 +b2 t2

= 2π2b a2 +b2 .

в) Запишем уравнение эллипса в параметрическом виде

x = a cos t ,

y = bsin t .

Дифференциал дуги равен dl =

a2 sin2 t +b2 cos2 tdt . При

z ≥ 0 площадь цилиндрической поверхности равна

S = k ∫a cos t

a2 sin2 t +b2 cos2 tdt =

= 2ak ∫2 cos t

b2 +(a2 −b2 )sin2 tdt =

sin t = u

= a

−b

= 2ak ∫ b2 +c2u2 du.

Интегрируя по частям, будем иметь

2 2

+c u

+ c ln(cu +

b +c u

)

S = ak u

= ak a + b

ln a +c .

x = ρ cosϕ ,

г) Перейдем к полярной

системе координат

y = ρsinϕ ,

тогда уравнение

окружности

плоскости хОу

будет

ρ = R cosϕ .

При

z ≥ 0

площадь

цилиндрической

поверхности

161

S = ∫ R2 − x2 − y2 dl = 22∫π					R2 − ρ2 ρ2 + ρ′2 dϕ =
	L			0
=	2∫π	R2 − R2 cos2 ϕ R2 cos2 ϕ + R2 sin2 ϕdϕ =
	0
= 2R2		2∫π sinϕdϕ = 2R2 .
		0
6.4. Найти массу: а) участка кривой y = ln x между точка-
ми с абсциссами x = 1				и x = 2 , если плотность кривой в каж-
		1	2	2
			2

дой точке равна квадрату абсциссы точки; б) первого витка винтовой линии x = a cos t , y = a sin t , z = bt , если плотность в

каждой ее точке пропорциональна длине радиус-вектора этой

точки	ρ = kt , k					- коэффициент пропорциональности;														в) всей
кардиоиды r = a(1+cosϕ) , если плотность ρ = k																	r .
Решение. а) По формуле (3), учитывая, что ρ = x2 , имеем
m = ∫2	x2dl . Так как dl =						1		1+ x2 dx , то
1								x
2
		2				1		1		3		2		1			5	3	35
		2				1				3		2						3
		∫			2				2							3
					2				2							3
	m =		(1	+ x )2 xdx =					(1+ x )2				=		(	5) −				=		5.
	m =		(1	+ x )2 xdx =				3	(1+ x )2				=	3	(	5) −	2			=	24	5.
		1						3				1		3			2				24

		2									2
		2									2
б) Первому витку отвечает изменение параметра t																				от 0 до
2π . Выразим через параметр плотность:

ρ = kr = k x2 + y2 + z2 = k a2 +b2t2

и дифференциал дуги

dl = x2 + y2 + z2 = a2 +b2 dt .

Отсюда по формуле (3) имеем

162

m = 2∫π k a2 +b2	a2 +b2t2 dt = k a2 +b2 2∫π	a2 +b2t2 dt
0	0

Интегрируя по частям, получим

2π

m = k a2 +b2

a2 +b2t

2 +

(bt + a2 +b2t2 )

2πb +

a2 + 4π 2b2

= k a

+ 4π

в) Воспользуемся формулой (3). Дифференциал дуги равен

dl = ρ

+(ρ )

dϕ =

(1+cosϕ)

sin

ϕdϕ =

′ 2

= a 2 1+cosϕdϕ.

При нахождении массы всей кардиойды ϕ изменяется от 0 до 2π . Таким образом

	m =		2∫π k	a(1+cosϕ)a 2			1+cosϕdϕ =
			0
		= ka		2a	2∫π (1+cosϕ)dϕ = 2kπa			2a.
					0
6.5. Найти координаты центра тяжести: а) однородной по-
луарки циклоиды		x = a(t −sin t) , y = a(1−cos t)						(0 ≤ t ≤π) ; б)
первого	полувитка винтовой					линии	x = a cos t ,		y = a sin t ,
z = bt ,	считая		плотность			постоянной;		в)	кардиоиды

r = a(1+cosϕ) , считая плотность ρ =1 .

Решение. а) Координаты центра тяжести однородной полуарки циклоиды вычисляем по формулам (4), считая плотность ρ постоянной величиной. Тогда

m = π∫ρ	x2 + y2 dt = aρπ∫	(1−cos t)2 +sin2 tdt = 2aρπ∫sin				t	dt =
m = π∫ρ	x2 + y2 dt = aρπ∫	(1−cos t)2 +sin2 tdt = 2aρπ∫sin				2	dt =
0	0				0	2
		−4aρ cos	t	π	= 4aρ .
			t

		2		0
		2		0

163

Статические моменты относительно координатных осей

my = π∫ρa2 (t −sin t)								(1−cos t)2 +sin2 tdt =
	0
		2		π		t			t
=	2a		ρ	∫0	t sin		−sin t sin			dt =
=	2a		ρ		t sin	2	−sin t sin		2	dt =
						2			2

= 2a2 ρ

−2t cos

+ 4sin

sin3

ρ.

= π∫ρa2 (1−cos t)

(1−cos t)2 +sin2 tdt =

= 2a

∫0

sin

−cos t sin

dt =

= 2a

ρ −2t cos

cos

−cos

=2a2 ρ 2 − 1 +1 = 16 a2 ρ.

3 3

Отсюда x =

a ,

a .

б) Координаты центра тяжести первого полувитка винтовой линии находим по формулам (5). Поскольку плотность постоянна, то дроби (5) можно сократить на ρ после вынесения

ρ за знаки интегралов.	В этом случае, при вычислении
необходимых величин, ρ	целесообразно опустить, приравняв
ее, например, единице
m = π∫ x2 + y2 + z2 dt = π∫ a2 +b2 dt =π a2 +b2 .
0	0

164

myz = π∫x

x2 + y2 + z2 dt = a

a2 +b2

π∫cos tdt =

= a

a2 +b2 sin t

= 0.

= π∫y

π∫sin tdt =

mxz

x2 + y2 + z2 dt = a a2 +b2

= −a

a2 +b2 cos t

= 2a

a2 +b2 .

myz = ∫ zdl = bπ∫t

1 bπ2 a2 +b2 .

a2 +b2 dt = b

a2 +b2

Отсюда

myz

0 , y =

mxy

bπ

в) Поскольку кардиоида симметрична относительно полярной оси, то центр тяжести лежит на полярной оси, т. е. ϕc = 0 .

При постоянной плотности ρ =1 масса кардиоиды равна

π	π
m = 2∫dl = 2∫		r	2	′ 2	dϕ =
m = 2∫dl = 2∫		r		+(r )	dϕ =
0	0
= 2aπ∫	1+ 2cosϕ +cos2 ϕ +sin2 ϕdϕ =
0
= 4aπ∫cos		ϕ dϕ = 8a sin ϕ				π	= 8a
= 4aπ∫cos		ϕ dϕ = 8a sin ϕ				π	= 8a
	0	2			2	0
	0	2			2	0

Так как полярная ось совпадает с осью Ох, то статический момент относительно полярной оси находим по формуле

2π
M p = ∫ydl = ∫ r sinϕ	r	2	′ 2	dϕ =
M p = ∫ydl = ∫ r sinϕ	r		+(r )	dϕ =

=2a2 2∫π (1+cosϕ)sinϕ cos ϕ2 dϕ =

165

= 2a

2 2π

sin 2ϕ cos

sinϕ cos

dϕ =

∫0

2 2π

3ϕ

5ϕ

3ϕ

= a

∫0

sin

+sin

sin

dϕ =

= −a

3ϕ

+2cos

cos

5ϕ

2π

cos

Отсюда r =

M p

a .

6.6. Вычислить: а) статический момент первого витка ко-

нической винтовой линии

x = t cos t ,

y = t sin t ,

z = t

относи-

тельно плоскости хОу, считая плотность пропорциональной квадрату расстояния от этой плоскости ρ = kz2 ; б) моменты

инерции относительно координатных осей и начала координат первого витка винтовой линии x = a cos t , y = a sin t , z = bt .

Решение. а) Статический момент пространственной линии относительно плоскости, согласно пункту 4°

вычисляется по формуле mxy = ∫ρ(M )zdl . Подставляя сюда

заданную плотность и переходя к параметрическому виду функций, будем иметь

mxy = k

2∫π t3

(cos t −t sin t)2 +(sin t +t cos t)2 +1dt =

= k2∫π t3 t2 +2dt.

Делаем замену t2 +2 = u2 ,

tdt = udu ,

= u2 −2 , тогда

2 2π2 +1

mxy = k

∫

−2)u

du = k

−

= 4k

3(2π2 +1)2 −5(2π2 +1)2 + 2

166

б) Моменты инерции относительно координатных осей находим по формулам (6). Полагая ρ(M ) =1, получим

= ∫(a2 sin2 t +b2t2 )

a2 +b2 dt =

a2 +b2

2π

∫sin2 tdt +b2

∫t2dt

t −

2 t3

sin 2t +b

0 .

=π a2 +

8 b2π2

a2 +b2

Iy = ∫(a2 cos2 t +b2t2 ) a2 +b2 dt =

2π

a2 +b2 a2 ∫cos2 tdt +b2

∫t2dt =

=π a2

b2π2 a2

+b2 .

= ∫(a2 cos2 t +a2 sin2 t)

a2 +b2 dt =

= a2 a2 +b2 2∫π dt = 2πa2 a2 +b2 . .

= ∫(a2 cos2 t +a2 sin2 t +b2t2 ) a2 +b2 dt =

= a2 +b2 2∫π (a2 +b2t2 )dt =

=2π a2 +b2 a2 + 4 π2b2 .

167

6.7. Поле образовано силой F {P,Q}, где P = x − y , Q = x .

Вычислить работу при перемещении единицы массы по контуру квадрата со сторонами x = ±a , y = ±a .

Решение. Расположим начало координат в центре квадрата (рис. 2.17) и будем обходить квадрат от точки А против часовой стрелки. Уравнение прямой АВ имеет вид y = −a .

Согласно формуле (7), работа на отрезке АВ равна

EAB = ∫ Pdx +Qdy = ∫a		(x − y)dx = ∫a	(x + a)dx = 2a2 .
AB	−a	−a

Рис. 2.17

Уравнение прямой ВС: x = a . По формуле (7) работа на отрезке ВС равна

EBC = ∫a xdy = a ∫a dy = 2a2 .

−a −a

Уравнение прямой CD: y = a , Работа на отрезке CD равна

ECD = ∫a (x − y)dx = ∫a (x −a)dx = 2a2 .

−a −a

Уравнение прямой DA: x = −a . Работа на отрезке DA равна

EDA = ∫a xdy = −a ∫a dy = 2a2 .

−a −a

Таким образом, вся работа при перемещении единицы массы по контуру квадрата равна E =8a2 .

168

	6.8. В каждой точке М эллипса	x2	+	y2	=1 приложена сила
JG		a2		b2

F , равная по величине расстоянию от точки М до центра

эллипса и направленная к центру эллипса. Найти работу силы

F при перемещении точки вдоль дуги эллипса, лежащей в первом квадранте.

Решение. Поскольку сила от произвольной точки М эллипса, лежащей в первом квадранте, направлена к центру эллипса, а ее величина равна расстоянию отG точкиG GМ до

центра, то ее можно представить в виде F = −xi − y j где

величина проекции		силы	через параметр	t	имеют	вид
x = a cos t ,	y = a sin t ,	знаки минус указывают			на то,	что
направления	проекций		противоположны	направлениям
координатных осей.			G

Подставляя проекции силы F в формулу (7) и переходя от криволинейного интеграла к обыкновенному с переменной t , получим

E =∫Pdx +Qdy =−∫xdx + ydy =

L		L
π		π
= ∫2	(a2 cost sint −b2 sint cost)dt =(a2 −b2 )∫2 sintd sint =				a2 −b2			.
0		0	G	G		2	G	G
6.9. Вычислить работу силового поля			F	= 2xyi		+ y2	j	− xk

при перемещении материальной точки вдоль сечения гипербо-

лоида x2 + y2 −2z2	= 2a2 плоскостью y = x от точки A(a, a,0)
до точки B(a 2, a	2, a) .

Решение. Сечение гиперболоида плоскостью представляет

кривую, уравнение которой имеет вид				x2 − z2 = a2 . Подставляя
в формулу (7) проекции силы			G		пользуясь уравнением
			F и
плоскости y = x и кривой x2 = a			2 + z2 , получим
E = ∫2xydx + y2dy − x2dz = a∫2		2x	2dx + a∫2		y2dy −a∫2	(a2 + z2 )dz =
L	a		a		a

169

	2		3	a 2		y3	a 2		2		z3	a		3			7




=		x			+			− a		z +			= a		2 2	−		.
=	3	x			+	3		− a		z +	3		= a		2 2	−	3	.
				a			a					0

6.10. Найти потенциальную функцию силы F {P,Q, R} и определить работу силы на участке пути, если: а) P = 0 , Q = 0 , R = −mg (сила тяжести точки массы т) и точка перемещается

из положения A(x1, y1, z1 )		в положение B(x2 , y2 , z2 ) ;
б) P = − kx ,	Q = − ky ,	R = − kz ,	где	k −const ,
r3	r3	r3
r = x2 + y2 + z2	(сила	ньютоновского притяжения)			и
материальная точка из		положения	A(x1, y1, z1 )	удаляется	в
бесконечность.					JG
					JG

Решение. а) Потенциальную функцию U силы F определяем по формулам (8) U = −∫mgdz = −mgz . Согласно

формуле (9) искомая работа

E = ∫B dU =U (B) −U ( A) = −mg(z2 − z1 ) = mg(z1 − z2 ) ,

т. е. зависит только от разности апликат начала и конца пути. б) Потенциальная функция U, согласно формулам (8),

равна

U = −k ∫		xdx		= −k ∫	ydy			=
U = −k ∫	(x2 + y2 + z2 )		3	= −k ∫	(x2 + y2 + z2 )	3		=
	(x2 + y2 + z2 )		2		(x2 + y2 + z2 )	2	.
= −k ∫		zdz		= k .			.
		zdz
			3
		(x2 + y2 + z2 )2		r

Работу определяем по формуле (9) в зависимости от координат начальной и конечной точки пути

∞		k
E = ∫dU =U (∞) −U ( A) = −		k		.
E = ∫dU =U (∞) −U ( A) = −	2	2	2	.
A	x1	+ y1	+ z1

170

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2217 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика