Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к математическим моделям специальных дисциплин. Бырдин А.П., Сидоренко А.А

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

5 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2621 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

( j ) i

Подставляя в исходную систему уравнений и приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях x , получим однородную систему уравнений для определения с рангом r 2

					(1)	(2)			(1)	0
				1		1			2	0
				1		1			2
						(2)			(2)	0
					1				2	0
					1				2
					(1)	(1)			(2)	0
				1		2			2	0
				1		2			2
						(2)			(2)	0.
					1				2	0.
					1				2
	Следовательно, из искомых постоянных две произвольны,
например,			(2)	C2	(1)	C1, поэтому из этой системы для
например,			2	C2	1	C1, поэтому из этой системы для
остальных			(2) ,	(1)	будет	(1)			C			C	2	.	Отсюда общее
			1	2		2			1				2
решение исходной системы будет									(2)	C2 .
решение исходной системы будет									1	C2 .
				y	C e x C			2	xex
					1			2
				z ( C C			2		)e x	C	2	xex .
					1		2				2
	3. Если среди корней характеристического уравнения
(5.62)			есть	комплексное						спряженные						пары
m		m	i m ,	m 1	m	i	m , то				этим				корням	будут
соответствовать частные решения
			y(1)	(1) e( m i		m) ,			y(2)			(2)			e( m i m) ,
			m	m					m			m
причем		(i) определяются из систем (5.62). Можно показать,
		m
что	действительные и				мнимые			части							также являются
												( i )
											x m

решениями системы (5.56). Таким образом, можно записать два частных решения:

ym(1) e ym(2) e

m	(1)		m x	(2)		m x
		m cos			m sin
m					(2)	m x ,
	m cos		m x
					m sin

200

где	(1)	,	(2)	,	(1)	,		(2)	-	действительные

	m		m		m			m
коэффициенты,			связанные с				m(1) ,		m(2) .

Следовательно, можно составить фундаментальную систему решений только из действительных решений.

Пример 3. Дана система дифференциальных уравнений

dy1	7 y1	y2
dx

dy2	2 y1	5 y2 .
dx

Найдем ее общее решение.

Решение. Характеристическое уравнение для этой системы имеет вид

		7	1		0	или			2	12		37 0,
		2	5		0	или			2	12		37 0,
		2	5
корни этого уравнения					1	6	i,		2		6	i.
					1				2
	Подставляя эти корни в (5.62), получим
				(1)	1,		(1)	1	i.
				1	1,		2	1	i.
				1			2
Соответствующее частное решение yij (x)										будет
		y(1)	e(	6	i)x ;	y	(1)	(1	i)e(		6	i)x .
		1					2
Для	2	6 i , получим соответственно
	2
		(2)	1,		(2)	1	i;
		1	1,		2	1	i;
		1			2
		y(2)	e(	6	i) x ;	y	(2)	(1	i)e(		6	i) x .
		1					2

Поскольку из четырех получившихся функций в общее решение для 1, 2 должны войти лишь два линейно независимых решения с произвольными постоянными C1, C2 , преобразуем получившиеся решения следующим образом

201

y1(1) y2(1) y1(1) y2(1)

для y1(2) , y1(2) y2(2)

e 6x (cosx	i sin x);
(1 i)e 6x (cosx i sin x); или
e 6x cos x	ie 6x sin x;
e 6x (cosx	sin x)	ie 6x (cosx	sin x);
y2(2) будет
e 6x cos x	ie 6x sin x),
e 6x (cosx	sin x)	ie 6x (cosx	sin x).

Поэтому составляя общее решение из действительных и мнимых частей этих решений для yij (x).найдем

y		C e 6x cos x	C	2	e 6x sin x.
1		1		2
y	2	C e 6x (cos x	sin x) C			2	e 6x (cos x sin x).
	2	1				2

Известно, что линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка

d n y

(x)

d n 1 y

(x)

d n 2 y

... a (x)

y (5.64)

n 1

dxn

dxn 1

dxn 2

эквивалентно линейной,

однородной системе

dy0

dy1

(5.65)

dyn 1

a0 y0 a1 y1 ...

an 1 yn 1.

Будем считать все ak

const.

Характеристическая матрица для (5.65) в этом случае

будет иметь вид

202

1	0	0
0	1	0

a0	a1	an 1

или

det( )	n	n	1	... a1	a0	0 .
		an 1
Если же вычеркнуть из матрицы первый столбец и
последнюю строку, получим определитель равный						+I или –I.

Следовательно, характеристический многочлен, если имеет

корень k	кратности			S k ,	то матрица имеет элементарный
делитель	(		k )Sk .	Поэтому			корню	k	будут
соответствовать S k линейно независимых решений вида
	(C	0	C x	...	C	Sk 1	x Sk 1 )e k x .		(5.66)
		0	1			Sk 1

Таким образом, методы решения систем типа (5.57) могут быть использованы для решения линейных дифференциальных уравнений n-го порядка, разрешенных относительно производных.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения


		y 3y 3y			y	0,
Обозначим y y0 , y y0				y1,	y	y1 y2 , y	y2 .
Тогда
	dy0		y1	,
		dx	y1	,
		dx
	dy1		y2	,			(5.67)
		dx	y2	,			(5.67)
		dx
	dy2		y0	3y1	3y2 .
		dx	y0	3y1	3y2 .
		dx

Характеристическое уравнение системы (3.12) имеет вид

203

			1		0
		0			1		0,	т.е
		1	3		3
2 (3	)		3	1	0	или (		1)3 0 .
Поскольку	корень			1	1	имеет		кратность S 3 , то,

учитывая (5.66), получим общее решение (5.67), а следовательно, и исходного уравнения третьего порядка в виде

(C0 C1x C2 x2 )ex

Для нахождения общего решения дифференциальных уравнений вида

dy1	f1	(x, y1, ..., yn ),
dx	f1	(x, y1, ..., yn ),
dx
dy2	f 2		(x, y1	, ..., yn ),
dx	f 2		(x, y1	, ..., yn ),
dx

dyn	fn (x, y1			, ..., yn )
dx	fn (x, y1			, ..., yn )
dx

y(x).

нормальных систем

(5.68)

применяется также метод последовательного исключения неизвестных функций, то есть сведение системы (5.68) к уравнению вида (5.64). Для этого, дифференцируя первое уравнение из (5.68) по x , получим

d 2 y

...

dx2

Используя тот факт, что

dyk

f k ,

найдем

2 y

...

fn .

(5.69)

dx2

Определим xn из первого уравнения системы (5.68) yn g(x, y1, y2 ,..., yn 1, y1 )

204

Подставим yn в (5.69) и, таким образом, исключим эту неизвестную функцию из (5.69). Продолжая эту процедуру,

можно получить			уравнение n-го					порядка для одной
неизвестной функции.
Пример 5.		Найти					общее решение
				dy			z,

				dx
				dx
				dz			y.

				dx
				dx
Решение.	d 2 y				dz	,	т.е. y	y 0 .
Решение.	dx	2			dx	,	т.е. y	y 0 .
	dx	2			dx

Характеристическое уравнение имеет вид

k 2

1 0;

1,2

y(x)

C eix

e ix

или

y(x) C1(cosx i sin x) C2 (cosx

i sin x), тогда общее

решение можно записать

y(x)

C1 cos x

C2 sin x,

z(x)

C2 cos x

C1 sin x.

Задачи для самостоятельного решения

Решить системы уравнений:

4 y z,

y e3x (C C

x),

Ответ:

y 2z.

z e

(C1

C2 x).

y 2z,

y C e x

e2x ,

Ответ:

3C2

2 x

3y 4z.

C1e

205

2 y

e2x (C cos x

sin x),

Ответ:

2z.

(C1 sin x

C2 cos x).

2z,

C1 cos x

C2 sin x,

Ответ: z

) cos x

) sin x .

C e x

x ,

Ответ:

C1e

C2e

2z.

2C1 cos x

2C2 sin x,

Ответ:

(C1

C2 ) cos x

(C1

C2 ) sin x.

y z,

e2x

x 2

y C C

x ,

Ответ:

x y z.

z C

e2x

x 2

x 1.

2 y

sin x,

4 y

cos x.

Ответ:

y C1

C2 x 2 sin x,

2C1

C2 (2x

1) 3sin x 2 cos x.

206

6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

6.1. Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость

Функциональными рядами называются такие ряды,

членами которых являются функции.

Разложение функций в ряды, членами которых являются функции более простые, чем исходные, используется при вычислении значений функций и при их исследовании, при интегрировании функций и при решении дифференциальных уравнений. Однако, при проведении операций с функциональными рядами, таких как дифференцирование или интегрирование, сходимости ряда в обычном смысле (поточечной) недостаточно. Поэтому в математике вводят и другие виды сходимости ряда.

Пусть дан функциональный ряд

uk (x) u1 (x) u2 (x) ... uk (x) ... ,

(6.1)

k 1

где все функции заданы, например, на сегменте [a,b] .


Определение.		Функции			S1(x)	u1(x) ,
S1(x) u1(x)	u2 (x) ,…, Sn (x)		u1 (x) ...	un (x), называются
частичными	суммами	функционального			ряда	(6.1).
Последовательность функций			(Sn (x))1	S1(x), S2 (x), …,

Sn (x),... называется последовательностью частичных сумм

функционального ряда.

Введем понятие предела последовательности функций.

Определение. Последовательность функций

f1 (x), f2 (x), ...,	fn (x),...( fn (x))1	называется	сходящейся к
функции f (x)	на сегменте	[a,b] , если	при каждом
фиксированном	x из [a,b] последовательность чисел fn (x)

сходится к числу f (x) , т.е. если для любого 0 и каждого

207

x [a,b] найдется такое число			N(	, x) , зависящее от	и,
вообще говоря, от x , что будет
	fn (x) f (x)		при	котором n N ( , x).
	fn (x) f (x)		при	котором n N ( , x).
	y
		y	f (x)

y fn (x)

y f (x)

2 ε

		Рис. 12
Такую	сходимость	последовательности	функций
называют	'' поточечной '' сходимостью – для каждой точки
x [a,b] N	зависит от	x . Этот факт	обозначают

lim fn (x) f (x) на		[a,b] , или fn (x)		f (x),	n		.
x
Определение.		Последовательность функций					( fn (x))1
называется равномерно сходящейся к функции							f (x) на
сегменте [a,b] ,	если для любого		0 найдется такое число
N( ) , зависящее от		и не зависящее от x ,			что отклонение
fn (x) от f (x)	удовлетворяет		неравенству			fn (x)	f (x)

при каждом n	N(	) и сразу для всех x		из [a,b] .
Равномерная сходимость последовательности ( fn (x))1 к
функции f (x) обозначается символом				fn (x)		f (x)	на [a,b] .

Приведенный рис. 12 иллюстрирует равномерную сходимость последовательности к предельной функции f (x) : графики всех

208

функций fn (x)

при n

)

лежат

“

полоске”,

окружающей график функции f (x) .

Пример. Последовательность функций с общим членом

fn (x)

sin nx

0 .

Решение.

Действительно,

sin nx

сразу для всех x ,

, если только n

N (

)

Пример.

Последовательность функций

(xn )

сходится

на

сегменте

[0,1]

функции

f (x) : f (x)

при

f (x) 1 при x

1. Эта сходимость будет

неравномерной.

Действительно,

пусть

Тогда

fn (x)

f (x)

выполняется

только

для

N (

, x)

Но

, x)

при

ln x

Следовательно,

при

нет

такого

конечного

числа

N( ) , не зависящего от

x , чтобы

fn (x)

f (x)

выполнялось при каждом n

)

сразу для всех x из [0,1) .

Но если сегмент [0,1] заменить меньшим [0,1

] ,

где

1, то

на

этом

сегменте

0 .

Действительно,

N (

, x)

N (

)

при

поэтому

ln x

ln(1

)

fn (x)

f (x)

при n

N ( )

сразу для всех x

ln(1

)

из

[0, 1

Определение. Функциональный ряд (6.1) называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм

209

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2621 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]