методичка по лабам Рцис

Графики функций Fx(U ) и px(U ) приведены на рис. 3.6, б и 3.6, в.

Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей функция распределения суммы независимых случайных величин с близкими значения-

ми дисперсий стремится к гауссовскому закону распределения при увеличе-

нии числа слагаемых, независимо от вида функций распределения слагаемых.

Аналитическое выражение для функции распределения суммы сигналов удобно получать через характеристическую функцию.

Рис. 3.6

Характеристическая функция q(x) сигнала x(t) связана с плотностью распределения вероятностей p(x) преобразованием Фурье

функция связана с совместной плотностью распределения вероятностей величин

а потому

31

n=1

лебаний с равными амплитудами Um = 1 и независимыми случайными фаза-

ми ϕn , распределенными в интервале (−π, +π] , плотность распределения ве-

роятностей p(ξ) была рассчитана на ЭВМ для числа слагаемых N = 1, 2, 3, 4.

Графики зависимостей p(ξ) приведены на рис. 3.8. Видно, что с увеличе-

нием числа слагаемых плотность распределения их суммы стремится к гаус-

совскому распределению (ср. с рис. 3.4 при Uср = 0 ).

3.2. Описание лабораторной установки

Лабораторная установка состоит из макета и двух осциллографов.

В макете находятся генератор исследуемых случайных сигналов, а также измерители функции распределения вероятностей и плотности распределе-

ния вероятностей. Структурная схема макета (рис. 3.9) изображена на его пе-

редней панели.

В макете формируется пилообразное напряжение «на вход Х осцилло-

графа» для формирования горизонтальной развертки в режиме работы ос-

циллографа Х-Y и синхронизированное с ним напряжение с выхода измери-

теля функции распределения вероятности и плотности вероятности. Пилооб-

разное напряжение подается на вход «Х» осциллографа, а напряжение с вы-

хода измерителя на вход «Y» осциллографа. На экране осциллографа появля-

ется изображение функции распределения F(U) или плотности распределе-

ния вероятностей p(U). Выбор зависит от положения переключателя «F(U) – p(U)» на передней панели экспериментальной установки.

33

Рис. 3.9

Выход «Форма сигнала» установки соединяется со входом «Υ» второго осциллографа, на экране которого наблюдают изображение исследуемого сигнала.

В макете установки имеются следующие источники сигналов:

1.Четыре генератора гармонических колебаний различных частот.

2.Четыре генератора сигналов треугольной формы различных частот.

3.Формирователь шума с распределением по обобщенному закону Рэлея.

4.Генератор шума с гауссовским законом распределения.

Имеется также несколько сигналов специальной формы и вход для внешнего сигнала.

Выходы всех источников сигналов подключены через сумматор ∑ ко входу измерителя функций распределения. Каждый источник сигнала имеет тумблер включения. После сумматоров стоят усилители для регулировки амплитуды сигналов.

3.3.Задание и указания к выполнению работы

1.Подготовить установку к измерениям. На осциллографе, отображаю-

щем форму сигнала, установить коэффициент развертки 0,1 с/дел, коэффици-

ент отклонения 0,2 В/дел. Включить осциллографы и экспериментальную

34

установку. В установке выключить все генераторы (ручки тумблеров – вниз),

что соответствует нулевому сигналу на входе измерителя функции распреде-

ления; тумблер «Функции распределения» – в положении F(U). На экране появится изображение ступенчатой функции

Регулировкой смещения и коэффициента отклонения осциллографа

установить изображение так, чтобы скачок находился в центре экрана и ве-

личина скачка была равна 3…4 см.

2. Откалибровать изображение на экране осциллографа. Для этого вклю-

чить генератор треугольного сигнала № 4 (ручка тумблера – вверх). На экране осциллографа переход от F(U) = 0 к F(U) = 1 будет иметь вид наклонной ли-

нии (см. рис. 3.3, в). Точки излома соответствуют минимальному U1 и макси-

мальному U2 значениям треугольного сигнала. Измерить расстояние по гори-

зонтали (в делениях) между точками излома – L. На экране второго осцилло-

графа получить изображение треугольного сигнала (см. рис. 3.3, а) и измерить его размах (U2 − U1) в вольтах. Масштаб по горизонтали для изображения на экране первого осциллографа (в вольтах на деление) равен (U2 − U1) L . Дан-

ный масштаб является одинаковым для всех получаемых в дальнейшем гра-

фиков функций распределения F(U) и плотностей вероятности p(U).

Переключатель «Функции распределения» в установке перевести в по-

ложение «p(U)». На экране первого осциллографа появится П-образное изоб-

ражение, соответствующее равномерному распределению вероятности, ха-

рактерному для треугольного сигнала (см. рис. 3.3, б).

Если изображение по вертикали занимает DL делений, то масштаб изображения p(U) по вертикали, (В×дел)–1 , составит 1[(U2 − U1) L] . Данный масштаб является одинаковым для всех получаемых в дальнейшем графиков плотностей вероятности p(U).

Вертикальный масштаб для графиков функций распределения очевиден

благодаря предельным свойствам функций распределения ( lim F(U) = 0 и

U → −∞

lim F(U) = 1).

U → ∞

35

В дальнейшем коэффициент отклонения осциллографа C1–83 (I) не изменять.

3.Исследовать функции распределения и плотности вероятностей мгновенных значений для следующих сигналов:

• гармонического сигнала любой частоты № 1–4 при двух значениях его амплитуды;

• треугольного сигнала любой частоты № 1–4 при двух значениях его амплитуды;

• гауссовского шума при двух значениях его дисперсии;

• рэлеевского шума при нулевом и ненулевом значениях амплитуды детерминированного сигнала.

Указанные варьируемые параметры выбрать самостоятельно таким образом, чтобы на графиках было хорошо заметно их влияние на форму функции распределения и плотности вероятности.

Исследование производится следующим образом. В исходном положении все генераторы выключены. Включить генератор исследуемого сигнала. По изображению сигнала на экране второго осциллографа убедиться, что включен требуемый сигнал, и определить диапазон регулировки уровня исследуемого сигнала (амплитуда для гармонического и треугольного, эффективное значение для шумов). В этом диапазоне выбрать два значения уровня исследуемого сигнала и для каждого из них зарисовать с экрана первого осциллографа изображения функций p(U) и F(U) с учетом ранее определенных масштабов по осям.

4.Исследовать сходимость к гауссовскому закону распределения суммы независимых случайных сигналов. Выяснить, для какого из двух исходных за-

конов распределения – равномерного (треугольный сигнал) или вида

1 − 1π arccos x (гармонический сигнал) – характерна более быстрая сходимость.

Для суммы гармонических сигналов исследование производится следующим образом. В исходном положении все генераторы выключены. Включить генератор синусоидального сигнала № 1 и зарисовать график функции распределения F(U). Затем, не выключая генератор этого сигнала, включить генератор синусоидального сигнала № 2 и зарисовать график функции распределения F(U) для суммы двух синусоидальных сигналов. Далее поочередно дополнительно включить генераторы синусоидальных сигналов № 3 и № 4, каждый раз зарисовывая графики функции распределения суммарного сигнала.

Для суммы треугольных сигналов исследование производится аналогичным образом.

36

Содержание отчета

Отчет по работе должен содержать:

•результаты определения масштабов графиков согласно п. 2;

•графики функций распределения и плотностей вероятностей значений сигналов, исследованных в п. 3;

•анализ соответствия графиков, полученных в п. 3, теоретическим ре-

зультатам (выражения (3.3)–(3.7)) [4];

•графики функций распределения для последовательных сумм синусоидальных и треугольных сигналов согласно п. 4;

•вывод о скорости сходимости распределения вероятности суммы независимых случайных сигналов к гауссовскому закону.

Контрольные вопросы

1.Как измеряют функцию распределения по одной реализации эргодического случайного процесса?

2.Определить функцию распределения F(x), математическое ожидание mx и дисперсию Dx для случайной величины, имеющей заданную преподава-

телем плотность вероятности p(x).

3.Определить плотность вероятности p(x), математическое ожидание mx

идисперсию Dx для случайной величины, имеющей заданную преподавате-

лем функцию распределения F(x).

4. Могут ли эти функции быть функциями распределения вероятности?

5. Могут ли эти функции быть функциями плотности вероятности?

6.Как зависит плотность вероятности нормального закона от входящих

внее параметров? Пояснить графически.

37

Пренебрегая сопротивлением нагрузки (полагая его достаточно большим, Rн >> r), запишем дифференциальное уравнение для выходного напряжения четырехполюсника uC (t) :

где в качестве входного воздействия взята взвешенная функция включения

σ(t) (функция Хевисайда). Однородному дифференциальному уравнению

(«собственная» резонансная частота контура). Решение неоднородного дифференциального уравнения (4.1) ищут в виде суммы решения уравнения (4.2) и так называемого частного решения уравнения (4.1), которое при выбранном входном воздействии оказывается просто константой U:

uC (t) = A1e p1t + A2e p2t + U .

Используя очевидные начальные условия uC (0) = 0 , i(0) = 0, находят константы A1 и A2 и записывают решение

uC (t) = U − U (cos ωрt + α sin ωрt)e−αt ,

ωр

которое при нормировке к U = 1 В становится безразмерной переходной характеристикой четырехполюсника g(t). Так как импульсная характеристика h(t) = dg/dt, получают

сделано в предположении малых потерь, a wp » w0 , а также введена по-