лекция 1НГ
.pdf
Для определения положения точки в пространстве необходимо иметь две ее
проекции, полученные при двух различных направлениях проецирования.
11
ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ
Инвариантные свойства ортогонального проецирования
Инвариантными или неизменными называются такие свойства геометрических фигур и отношений между ними, которые
не изменяются в процессе отображения.
1. Проекция точки – есть точка
A' – проекция точки А
B' – проекция точки B
2. Проекция прямой, в общем случае, есть прямая
A′B′ – проекция прямой AB C′D′ – проекция прямой CD
3. Если фигура Ф1 принадлежит фигуре Ф, то проекция фигуры Ф1 принадлежит проекции фигуры Ф
Ф1 
Ф => Ф1 ′ 
Ф ′
12
– Если точка A принадлежит линии m,
то проекция точки A принадлежит проекции линии m
A 
m => A' 
m'
– Если линия m принадлежит поверхности α, то проекция линии m принадлежит проекции поверхности α
m 
α => m' 
α'
– Если точка A принадлежит линии m, которая принадлежит поверхности α,
то проекция точки A принадлежит проекции поверхности α
A 
m 
α => A ' 
α '
– Если фигура Ф принадлежит поверхности α, перпендикулярной плоскости проекций, то
проекция фигуры Ф принадлежит линии пересечения поверхности α с плоскостью проекций – следу h0α поверхности α
Ф 
α ᴧ α ┴ π1 => Ф ′ 
h0α
13
–Параллельные прямые проецируются в параллельные прямые
c ║ d => c ' ║ d '
–Точка пересечения проекций пресекающихся прямых K ' есть проекция точки пересечения самих прямых
a ∩ b = K => a' ∩ b' = K '
– Отношение длин отрезков параллельных прямых равно отношению длин их проекций
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
A B |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
CD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
C D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– Если точка K делит отрезок в данном отношении, то и проекция точки K разделит проекции отрезка в том же отношении
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
MK |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
M K |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
KN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
– Если фигура принадлежит плоскости, параллельной плоскости проекций, то на эту плоскость проекций данная фигура проецируется без искажения
Ф 
α ᴧ α ║ π1 => Ф = Ф′
Теорема о проецировании прямого угла:
Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая сторона не перпендикулярна к ней, то прямой угол проецируется без искажения на данную плоскость проекций
a ∩ b; a ┴ b; b ║ π1 ; a ∩ π1 ≠ 90o
=> a′ ┴ b′
15
ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ
Точка – неопределяемое понятие геометрии.
В пространстве точка задается ее координатами A (x, y, z). На чертеже точка задается двумя ее проекциями.
Точки общего положения – точки, у которых ни одна из координат
не равна нулю.
Точки частного положения – точки, у которых одна, две или три
координаты равны нулю.
16
Точка A – точка общего положения |
|
|
Точки H, F, Q - точки частного положения H |
π1 ; H '' |
x |
F |
π2 ; F ' |
x |
Q |
x ; Q ' , Q '' x |
|
Координаты точки – упорядоченные числа, определяющие положение точки на прямой, поверхности (плоскости), в пространстве.
Плоскости проекций – взаимно перпендикулярные плоскости, на которых
получают отображения геометрических фигур.
17
Оси проекций – взаимно перпендикулярные прямые, по которым пересекаются плоскости проекций.
Начало координат – точка пересечения осей проекций.
Четверти пространства – четыре подпространства, получаемые в результате деления пространства двумя взаимно перпендикулярными плоскостями проекций.
Октанты пространства – восемь подпространств, получаемые в результате деления пространства тремя взаимно перпендикулярными плоскостями проекций.
Ортогональная проекция точки – основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость проекций.
Комплексный чертеж (Эпюр Монжа) – чертеж, получаемый разворотом плоскостей проекций до совмещения их с фронтальной плоскостью и содержащий упорядоченные проекции геометрических фигур.
Линия связи – перпендикуляр к оси проекций, на котором располагается упорядоченная пара проекций точки на комплексном чертеже.
18
Ортогональное проецирование точки на две плоскости проекций
Рис. 1.11 |
Рис. 1.12 |
Рис. 1.13 |
π1 – горизонтальная плоскость проекций |
|
AA' = A''Ax = z |
A' – горизонтальная проекция точки A |
|
AA'' = A' Ax = y |
π2 – фронтальная плоскость проекций |
|
0Ax = x |
A″ – фронтальная проекция точки A |
|
A' (x, y) , A'' (x, z) => A (x, y, z |
x, y, z – оси проекций
Две проекции точки лежат на одном перпендикуляре к оси проекций.
Поскольку плоскости проекций являются и координатными плоскостями – две проекции точки определяют ее положение в пространстве.
19
Правило построения горизонтальной и фронтальной проекции точки A(x, y, z) по заданным координатам
1.Отложить от начала координат 0 на оси x отрезок , равный координате xA ,
иотметить на оси точку Ax .
2.Провести через точку Ax линию связи перпендикулярную к оси x .
3. Отложить на линии связи от точки Ax отрезок, равный yA с учетом знака (вниз от оси, если yA положительно), и отметить проекцию A' .
4. Отложить на линии связи от точки Ax отрезок, равный zA с учетом знака вверх, если zA положительно), и отметить проекцию A'' .
Примеры :
A (70, 30, 20)
20