Tensor-Gotman

ei = ei (x1, x2 , x3 );

ei

= ei (x1, x2 , x3 )

(2.13)

Отсюда получается

da = d (al e

l

l

dal

+ al de

l

) = e

,

(3.13)

l

l

l

el ) = el da

+ a

da = d (a

del .

Так как

∂a

d a =

d xk ,

(4.13)

∂ xk

то на основании (20.13) частная производная вектора а

по обобщённой координате

xk

должна иметь вид

∂el

∂al

∂a

=

∂al

e

l

+al

=

el +a

l

∂el

(5.13)

∂ xk

∂ xk

∂ xk

∂ xk

∂ xk

Определение 1.13 Компоненты (ко- и контравариантные) этих векторов

∂a

( k =1,2,3)

∂ xk

образуют девять величин, совокупность которых

называют ковариантной (абсолютной)

производной (ковариантного или контравариантного) вектора..

Для совокупности ковариантных компонент

вектора

∂a

вводят

обозначения

(с

∂ xk

точкой с запятой)

∂a

ei ≡ ai ; k

(6.13)

∂ xk

которые называют ковариантной производной ковариантного вектора.

Совокупность контравариантных компонент векторов

∂a

обозначают через ai

; k ,

∂ xk

то есть

∂a

e i ≡ ai; k

(7.13)

∂ xk

и называют ковариантной производной контравариантного вектора.

Замечание 2.13 В дальнейшем будет показано, что ai; k

и ai ; k

являются компонентами

тензора 2 – го ранга.

Учитывая. что компоненты gi. j = ei e j

либо равны нулю, либо единице, получим

∂

(ei

e j ) = 0

(9.13)

∂ xk

(как производные константы).

∂e j

∂e i

Отсюда из (9.13), дифференцируя, получают ei

+e j

= 0 , а отсюда

∂ xk

∂ xk

ei

∂e

j

= −e j

∂e i

(10.13)

∂ xk

∂ xk

Вводится обозначение

∂e j

Гi

=ei

(11.13)

j k

∂ xk

Определение 2.13 Величины Гi

=ei

∂e j

(их всего 27

в трёхмерном пространстве)

j k

∂ xk

носят название символов Кристоффеля 2 – го рода.

Гij k

Тогда в силу (10.13) и (11.13) формулы (8.13) принимают вид

∂ai

j

ai; k

=

− a j Гi k

,

∂ xk

(12.13)

∂a i

a

i

;k

=

+ a

j

i

∂ xk

Г j k

.

вдоль координатных линий (члены

∂a

i

,

∂a i

), но также и скорость изменения

∂ xk

∂ xk

компонент метрического тензора ( e j ek

= g jk ,

gij

= ei e j ,

e j ek

= δkj ).

Их явное

выражение получается так:

∂e j

ei Гi

=

(13.13)

∂ xk

j k

Замечание 5.13 Таким

образом,

символы

Кристоффеля

2 –

го рода Гij k

являются

коэффициентами разложения векторов

∂e j

по векторам основного базиса.

∂ xk

Символы Кристоффеля 1-го рода Гi, j k

Замечание 6.13 Символы Кристоффеля 1-го рода

Гi, j k являются коэффициентами

разложения векторов

∂e j

по векторам взаимного базиса, то есть

∂ xk

e i Гi, j k

=

∂e j

(14.13)

∂ xk

Из (14.13) получается

∂e j

Гi, j k

= e

i

(15.13)

∂ xk

Связь между символами Кристоффеля 1-го и 2 –го рода

Эта связь получается в виде

= gi l Гl

и Гl

= g i l Гl, j k

Гi, j k

j k

j k

(16.13)

(Здесь использовано правило поднятия и опускания индексов)

Определение 3.13 Величины Гi, j k = e

∂e j

(их всего 27 в трёхмерном пространстве)

i ∂ xk

носят название символов Кристоффеля 1 – го рода.

∂r

Замечание 7.13 В силу

того,

что векторы локального базиса равны

ei =

, легко

∂qi

получить

∂e j

=

∂ ∂r

=

∂ ∂r

=

∂e

k

(17.13)

∂ xk

∂ xk ∂ x j

∂ x j ∂ xk

∂ x j

симметричны по двум нижним индексам (у Γi, j k

эти индексы отделены запятой), то есть

Гi, j k = Гi,k j :

Гl

j k = Гl k j

(18.13)

Тогда, учитывая симметрию Гi, j k по j и k

и из свойства (17.13),

получают

∂e j

1

∂e j

∂e

k

Г

i, j k

= e

i

=

e

i

+ e

i

=

k

k

∂ x

2

∂ x

∂ x

j

1

∂

∂

∂e

i

∂e

i

=

(e

i

e

j

) +

(e

i

e

k

) −e

j

−e

k

=

k

j

k

j

2

∂ x

∂ x

∂ x

∂ x

1

∂ gi j

∂ gi k

∂e

k

∂e j

1

∂ gi j

∂ gi k

∂

=

+

−e

j

−e

k

=

+

−

(e

k

e

j

)

k

j

i

k

j

i

2

∂ x

∂ x

∂ x

i

∂ x

2

∂ x

∂ x

∂ x

Таким образом, окончательно получается

1

∂ gi j

∂ gi k

∂ gk j

Г

i, j k

=

+

−

= Г

i,k j

,

(19.13)

k

j

2

∂ x

∂ x

∂ x

i

Гij k

= g i l Гl, j k

= Гik j

(20.13)

пространственной системы координат (в системе обобщённых координат

∂ xk

= αik' ):

∂ x'l

Г'i, j k = e'i

∂e' j

= αil'el

∂

(enαnj' )∂ xm

=

∂ xm

∂ x'k

∂ x' k

= αlαmαn e

l

∂en

+αlαm

(e

l

e

n

)

∂αnj'

=

(21.13)

i' k'

j'

∂ xm

i'

k'

∂ xm

∂αn

= αil'αkm'αnj'Гl,n m +αil'αkm'

j'

gl n

∂ xm

Аналогично имеем

∂α n

Г'ij k = αli'αkm' αnj'Гln m +αni'αkm'

j'

(22.13)

∂ xm

1 Здесь было использовано соотношение α j'

∂αnj'

= −α n

∂αrj'

, которое получается при

∂ xm

r

j'

∂ xm

∂b'

−b'j Гi' jk =

b'i ; k

=

i

∂ x'k

∂

l

∂ x

m

r

j'

m l n

j'

n

m ∂αi'

=

(αi'bl )

k

−α j'br

αn αk'αi'Гl m

+αn αk'

=

∂ x

m

∂ x'

∂ x

m

l m ∂bl

m ∂αil'

r

j'

m l n

r

j' m

∂αin'

=

αi'αk'

+ blαk'

−α j

'brαn αk' αi'

Гl m

−

α j'brαn αk '

=

(23.13)

∂ xm

∂ xm

∂ xm

l m ∂bl

m ∂αil'

r

j'

m l n

m ∂αin'

= αi'αk'

+ blαk'

−α j'brαn αk' αi'

Гl m

−bnαk '

=

∂ xm

∂ xm

∂ xm

∂b

∂b