MAiu9

22.2tEOREMY lAGRANVA I kO[I

tEOREMA 3 (lAGRANVA). pUSTX FUNKCIQ y = f(x)

1)NEPRERYWNA NA OTREZKE [a, b],

2)DIFFERENCIRUEMA W INTERWALE (a, b).

tOGDA MEVDU TO^KAMI a I b NAJDETSQ HOTQ BY ODNA TAKAQ TO^KA c (a < c < b), DLQ KOTOROJ SPRAWEDLIWO RAWENSTWO

dOK–WO. wWEDEM WSPOMOGATELXNU@ FUNKCI@

F (x) = f(x) − f(a) − f(b) − f(a)(x − a). b − a

|TA FUNKCIQ UDOWLETWORQET WSEM USLOWIQM TEOREMY rOLLQ . dEJSTWITELXNO, ONA

NEPRERYWNA NA OTREZKE [a, b] KAK SUMMA NEPRERYWNYH FUNKCIJ I W INTERWALE (a, b) IMEET KONE^NU@ PROIZWODNU@

F 0(x) = f0(x) − f(b) − f(a), b − a

I, NAKONEC, NEPOSREDSTWENNOJ PODSTANOWKOJ LEGKO UBEDITXSQ , ^TO F (a) = F (b) = 0. iTAK, W INTERWALE (a, b) SU]ESTWUET TO^KA x = c, W KOTOROJ PROIZWODNAQ

F 0(c) = f0(c) − f(b) − f(a) = 0, b − a

A OTS@DA SLEDUET (1). .

dLQ WYQSNENIQ GEOMETRI^ESKOGO SMYSLA TEOREMY lAGRANVA ZAMETIM, ^TO

QWLQETSQ UGLOWYM KO\FFICIENTOM HORDY AB (RIS. 34), A f0(c) — UGLOWYM KO\F- FICIENTOM KASATELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII y = f(x) W TO^KE S ABSCISSOJ x = c. tAKIM OBRAZOM, UTWERVDENIE TEOREMY lAGRANVA RAWNOSILXNO SLEDU@]EMU : NA NE- PRERYWNOJ DUGE AB, IME@]EJ W KAVDOJ TO^KE NEWERTIKALXNU@ KASATELXNU@ , WSE- GDA NAJDETSQ PO KRAJNEJ MERE ODNA TO^KA M, W KOTOROJ KASATELXNAQ PARALLELXNA HORDE AB (NA RIS. 34 TAKIH TO^EK DWE — M1 I M2).

rIS. 34

71

eSLI t — WREMQ, A f(t) — KOORDINATA TO^KI PRI PRQMOLINEJNOM DWIVENII,

MOVNO DATX TAKU@ MEHANI^ESKU@ INTERPRETACI@: W PROMEVUTKE (a, b) ESTX HOTQ BY ODIN MOMENT WREMENI c, DLQ KOTOROGO MGNOWENNAQ SKOROSTX f0(c) SOWPADAET SO SREDNEJ SKOROSTX@ TO^KI.

tEOREMA rOLLQ — ^ASTNYJ SLU^AJ TEOREMY lAGRANVA, TAK KAK PRI f(a) = f(b) HORDA AB PARALLELXNA OSI Ox. kAK I TEOREMA rOLLQ, TEOREMA lAGRANVA NOSIT LI[X DOSTATO^NYJ HARAKTER. |TO WIDNO NA RIS. 35 I RIS. 36, GDE IZOBRAVENY GRAFIKI FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA OTREZKE [a, b], NO NE DIFFERENCIRUEMYH W EGO WNUTRENNEJ TO^KE x0. gRAFIK NA RIS. 35 NE IMEET TO^KI, W KOTOROJ KASATELXNAQ PARALLELXNA HORDE AB, A U GRAFIKA NA RIS. 36 TAKAQ TO^KA M SU]ESTWUET.

rIS. 35 rIS. 36

dOKAZANNU@ W TEOREME 3 FORMULU (1) NAZYWA@T FORMULOJ lAGRANVA. pERE- PI[EM EE SLEDU@]IM OBRAZOM. wOZXMEM PROIZWOLXNU@ TO^KU x0 [a, b] I PRIDADIM ARGUMENTU x FUNKCII y = f(x) PRIRA]ENIE x 6= 0, NE WYWODQ]EE TO^KU x + x ZA PREDELY OTREZKA [a, b]. zAPI[EM (1) DLQ OTREZKA [x0, x0 + x], ESLI x > 0, ILI DLQ OTREZKA [x0 + x, x0], ESLI x < 0. pRI \TOM ^ISLO c, ZAKL@^ENNOE MEVDU x0

I x0 + x, MOVNO PREDSTAWITX W WIDE c = x0 + ΘΔx, GDE ^ISLO Θ (0, 1). tOGDA WMESTO (1) POLU^IM f(x0 +Δx)−f(x0) = f0(x0 +ΘΔx)Δx, ILI S U^ETOM OBOZNA^ENIQ

y = f(x0 + x) − f(x0)

y = f0(x0 + ΘΔx)Δx.

|TO RAWENSTWO NAZYWA@T FORMULOJ KONE^NYH PRIRA]ENIJ. oNA POZWOLQET NAJTI TO^NOE ZNA^ENIE PRIRA]ENIQ FUNKCII y = f(x) PRI L@BOM KONE^NOM PRI- RA]ENII x ARGUMENTA x W OTLI^IE OT PRIBLIVENNOJ FORMULY

y ≈ f0(x0)Δx,

POGRE[NOSTX KOTOROJ STREMITSQ K NUL@ LI[X PRI x → 0. |TU PRIBLIVENNU@ FORMULU NAZYWA@T FORMULOJ BESKONE^NO MALYH PRIRA]ENIJ, POSKOLXKU ONA WERNA S TO^NOSTX@ DO BESKONE^NO MALOJ PRI x → 0 FUNKCII o(Δx) BOLEE WYSOKOGO PORQDKA, ^EM PRIRA]ENIE x ARGUMENTA x.

zAMENQQ c W (1) NA a + Θ(b − a), GDE Θ — NEKOTOROE ^ISLO IZ INTERWALA (0, 1), POLU^AEM FORMULU, SPRAWEDLIWU@ I PRI a > b.

sLEDSTWIE (KRITERIJ POSTOQNSTWA FUNKCII). pUSTX FUNKCIQ NEPRERYW-

NA NA OTREZKE [a, b]. tOGDA FUNKCIQ POSTOQNNA NA \TOM OTREZKE T. I T.T., K. WO WSEH WNUTRENNIH TO^KAH OTREZKA ONA IMEET RAWNU@ NUL@ PROIZWODNU@ .

dOK–WO. nEOBHODIMOSTX O^EWIDNA, TAK KAK POSTOQNNAQ FUNKCIQ IMEET NULEWU@ PROIZWODNU@.

72

dLQ DOKAZATELXSTWA DOSTATO^NOSTI WYBEREM W POLUINTERWALE (a, b] PROIZWOLX- NU@ TO^KU x1. eSLI FUNKCIQ f NEPRERYWNA NA OTREZKE [a, b] I W INTERWALE (a, b) IMEET NULEWU@ PROIZWODNU@, TO ONA UDOWLETWORQET USLOWIQM TEOREMY lAGRANVA NA OTREZKE [a, x1] [a, b]. pO\TOMU

f(x1) − f(a) = f0(c)(x1 − a), c (a, x1).

nO f0(c) = 0 c (a, x1) (a, b), I PO\TOMU f(x1) = f(a), T.E. ZNA^ENIE FUNKCII W PROIZWOLXNOJ TO^KE NA OTREZKE [a, b] SOWPADAET S EE ZNA^ENIEM W FIKSIROWANNOJ TO^KE a. CLEDOWATELXNO, FUNKCIQ f(x) POSTOQNNA NA WSEM OTREZKE. .

tEOREMU lAGRANVA OBOB]AET SLEDU@]AQ TEOREMA .

tEOREMA 4 (kO[I). pUSTX FUNKCII f(x) I g(x):

1)NEPRERYWNY NA OTREZKE [a, b];

2)DIFFERENCIRUEMY W INTERWALE (a, b);

3)PROIZWODNAQ g0(x) NE OBRA]AETSQ W NULX W INTERWALE (a, b).

tOGDA MEVDU TO^KAMI a I b NAJDETSQ HOTQ BY ODNA TAKAQ TO^KA c (a < c < b), DLQ

KOTOROJ

f(b) − f(a) = f0(c). g(b) − g(a)

dOK–WO: g(b)−g(a) 6= 0, INA^E PO TEOREME rOLLQ d (a, b) g0(d) = 0. pRIMENQQ TEOREMU rOLLQ K FUNKCII

F (x) = f(x) − f(b) − f(a)(g(x) − g(a)), g(b) − g(a)

POLU^AEM UTWERVDENIE TEOREMY. .

rASSMOTRIM GEOMETRI^ESKU@ INTERPRETACI@ TEOREMY kO[I. eSLI FUNK- CIQ g(x) STROGO MONOTONNA NA OTREZKE [a, b], TO SOOTNO[ENIQ

(

y = f(x),

x [a, b]

z = g(x),

ZADA@T PARAMETRI^ESKI FUNKCI@ y(z) S OBLASTX@ OPREDELENIQ g([a, b]), A x IGRAET ROLX PARAMETRA, IZMENQ@]EGOSQ NA OTREZKE [a, b]. nA RIS. 37 IZOBRAVEN GRAFIK FUNKCII y(z) DLQ SLU^AQ g(a) < g(b). pROIZWODNAQ y0(z) \TOJ FUNKCII W TO^KE z0 = g(c), c (a, b), OPREDELQ@]AQ UGLOWOJ KO\FFICIENT KASATELXNOJ K GRAFI -

kO[I. pO\TOMU GEOMETRI^ESKIJ SMYSL SOSTOIT W TOM, ^TO NA PROIZWOLXNOJ DUGE GRAFIKA DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCII, ZADANNOJ PARAMETRI^ESKI, MEVDU KONCAMI

KU PARALLELXNA STQGIWA@]EJ KONCY DUGI HORDE AB S UGLOWYM KO\FFICIENTOM

f(b) − f(a) / g(b) − g(a) .

73

rIS. 37

tEOREME kO[I MOVNO DATX I MEHANI^ESKOE TOLKOWANIE . pUSTX FUNKCII z = g(x) I y = f(x) ZADA@T IZMENENIE WO WREMENI x KOORDINAT TO^KI PRI EE DWIVENII W PLOSKOSTI zOy, A GRAFIK ZAWISIMOSTI y(z) QWLQETSQ TRAEKTORIEJ \TOJ TO^KI. tOGDA NAPRAWLENNYJ PO KASATELXNOJ K TRAEKTORII WEKTOR SKOROSTI TO^KI S PRO - EKCIQMI g0(x)I f0(x) SOOTWETSTWENNO NA OSI Oz I Oy W NEKOTORYJ PROMEVUTO^NYJ MOMENT WREMENI c (a, b) BUDET KOLLINEAREN WEKTORU PEREME]ENIQ TO^KI ZA PROME - VUTOK WREMENI b −a, IME@]EMU PROEKCII g(b) −g(a) I f(b) −f(a) SOOTWETSTWENNO NA OSI Oz I Oy.

23 pRAWILO bERNULLI — lOPITALQ

sM. [iW: §6.1–6.3, STR. 131–137, 139–146] ILI [z: STR. 245–246].

23.1pRAWILO bERNULLI — lOPITALQ

tEOREMA 1. pUSTX

1)FUNKCII f(x) I g(x) DIFFERENCIRUEMY W INTERWALE (a, a + δ) DLQ NEKOTOROGO δ;

2)lim f(x) = 0 (ILI = ∞) I lim g(x) = 0 (SOOT. = ∞);

3)g0(x) 6= 0 WO WSEH TO^KAH UKAZANNOGO INTERWALA ;

4)SU]ESTWUET KONE^NYJ ILI BESKONE^NYJ PREDEL OTNO[ENIQ PROIZWODNYH

dOK–WO TOLXKO DLQ [0/0]. dOOPREDELIM: f(a) = g(a) = 0. tOGDA \TI FUNKCII BUDUT NEPRERYWNY NA OTREZKE [a, x], GDE x (a, a + δ), I PRIMENIMA TEOREMA kO[I:

zDESX c = a+Θ(x−a), 0 < Θ < 1. eSLI x → a, TO I c → a I POLU^AEM UTWERVDENIE TEOREMY. .

74

aNALOGI^NYE TEOREMY WERNY DLQ DRUGIH TIPOW PREDELOW : x → a−, x → a, x → (±)∞. nAPRIMER, W SLU^AE x → +∞ ANALOGI^NAQ TEOREMA DOKAZYWAETSQ ZAMENOJ

z = x1 → 0+.

iZ TEOREMY 1 SLEDUET, ^TO PREDEL OTNO[ENIQ FUNKCIJ SU]ESTWUET PRI USLOWII SU]ESTWOWANIQ PREDELA OTNO[ENIQ IH PROIZWODNYH . oDNAKO OBRATNOE NEWERNO, T.E. ESLI PREDEL OTNO[ENIQ PROIZWODNYH NE SU]ESTWUET , TO \TO E]E NE OZNA^AET, ^TO NE SU]ESTWUET PREDEL OTNO[ENIQ SAMIH FUNKCIJ. |TA OSOBENNOSTX TEOREMY 1 OB_QSNQETSQ TEM, ^TO W EE DOKAZATELXSTWE IZ STREMLENIQ x K a I TOGO, ^TO c (a, x), MY WYWODILI STREMLENIQ c K a. oBRATNOE VE NEWERNO: PRI c → a I c (a, x) x MOVET NE STREMITXSQ K a.

zADA^A 1. pRIDUMATX PRIMER KONE^NOGO PREDELA OTNO[ENIQ FUNKCIJ , DLQ KOTOROGO NE SU]ESTWUET PREDEL OTNO[ENIQ PROIZWODNYH .

oB]AQ SHEMA PRIMENENIQ PRAWILA bERNULLI — lOPITALQ RASKRYTIQ NEOPRE- DELENNOSTEJ WIDA [0/0] I [∞/∞] SOSTOIT IZ TREH \TAPOW:

1) PROWERKA WYPOLNENIQ USLOWIJ TEOREMY 1 PO OTNO[ENI@ K FUNKCIQM f(x) I g(x) PO OTDELXNOSTI;

2) PROWERKA SU]ESTWOWANIQ PREDELA OTNO[ENIQ f0(x)/g0(x) PROIZWODNYH \TIH

FUNKCIJ, I ESLI ON SU]ESTWUET, TO EGO WY^ISLENIE, I TOGDA

3) PRIMENENIE TEOREMY 1.

pRI ISPOLXZOWANII PRAWILA bERNULLI — lOPITALQ PROIZWODNYE f0(x) I g0(x) ISHODNYH FUNKCIJ f(x) I g(x) SAMI MOGUT BYTX BESKONE^NO MALYMI ILI BESKO - NE^NO BOLX[IMI FUNKCIQMI. eSLI DLQ FUNKCIJ f0(x) I g0(x) WYPOLNENY USLOWIQ TEOREMY 1, W TOM ^ISLE SU]ESTWUET RAWNYJ L PREDEL OTNO[ENIQ PROIZWODNYH \TIH FUNKCIJ, TO PRAWILO bERNULLI — lOPITALQ MOVNO PRIMENITX POWTORNO. w TOM SLU^AE, KOGDA WTORYE I BOLEE WYSOKOGO PORQDKA PROIZWODNYE ISHODNYH FUNKCIJ UDOWLETWORQ@T UKAZANNYM WY[E USLOWIQM , PRAWILO bERNULLI — lOPITALQ MOVNO PRIMENQTX POSLEDOWATELXNO I DALEE, ESLI ESTX NADEVDA POLU^ITX W KONCE KONCOW OTNO[ENIE PROIZWODNYH TAKOGO PORQDKA , DLQ KOTOROGO LEGKO USTANOWITX SU]ESTWO -

WANIE PREDELA I WY^ISLITX EGO. tOGDA BUDUT SU]ESTWOWATX I SOWPADATX S NIM PREDELY WSEH OTNO[ENIJ PROIZWODNYH BOLEE NIZKIH PORQDKOW I PREDEL OTNO[ENIQ ISHODNYH FUNKCIJ.

nAKONEC, OTMETIM, ^TO PRIMENENIE PRAWILA bERNULLI — lOPITALQ CELESO- OBRAZNO SO^ETATX (ESLI \TO WOZMOVNO) S WYDELENIEM GLAWNOJ ^ASTI B.M. ILI B.B. FUNKCIJ ILI S ZAMENOJ IH \KWIWALENTNYMI IM BOLEE PROSTYMI FUNKCIQMI .

23.2sRAWNENIE NA BESKONE^NOSTI ROSTA POKAZATELXNOJ , STE- PENNOJ I LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCIJ

pRIMER 1. sRAWNIM POWEDENIE PRI x → +∞ B.B. FUNKCIJ: POKAZATELXNOJ ax (a > 1); STEPENNOJ xs (s > 0) I LOGARIFMI^ESKOJ loga x (a > 1). pRIMENIM TEOREMU 1:

75

pOSKOLXKU xs/ax = (x/ax/s)s = (x/bx)s, GDE b = a1/s > 1, I W SILU NEPRERYWNOSTI STEPENNOJ FUNKCII W TO^KE 0

rIS. 38

24 fORMULA tEJLORA

sM. [iW: §7.1–7.5, STR. 156–183] ILI [z: STR. 215–227].

fORMULA tEJLORA POZWOLQET FUNKCI@, ZADANNU@ SLOVNYM ANALITI^ESKIM WY- RAVENIEM, ZAMENITX UDOBNYM DLQ ANALIZA MNOGO^LENOM. w ^ASTNOSTI, FORMULA tEJLORA PRIMENQETSQ DLQ NAHOVDENIQ PRIBLIVENNYH ZNA^ENIJ FUNKCIJ .

24.1tEOREMY tEJLORA

Pn(x) = f(a) + f0(a)(x − a) + f00(a)(x − a)2 + . . . + f(n)(a)(x − a)n 2! n!

NAZYWA@T MNOGO^LENOM tEJLORA PORQDKA n, A EGO KO\FFICIENTY — KO\FFI- CIENTAMI tEJLORA FUNKCII f(x) W TO^KE a.

mNOGO^LEN tEJLORA DAET NEKOTOROE PRIBLIVENIE K FUNKCII f(x) W OKRESTNOSTI TO^KI x = a, T.E. f(x) ≈Pn(x). pOGRE[NOSTX \TOGO PRIBLIVENNOGO PREDSTAWLENIQ ,

76

T.E. RAZNOSTX f(x) − Pn(x), OBOZNA^IM Rn(x). tOGDA POLU^IM FORMULU tEJLORA n-GO PORQDKA DLQ FUNKCII f(x) W TO^KE a:

f(x) = f(a) + f0(a)(x − a) + f00(a)(x − a)2 + . . . + f(n)(a)(x − a)n + Rn(x). 2! n!

pRI \TOM Rn(x) NAZYWAETSQ OSTATO^NYM ^LENOM FORMULY tEJLORA. uTWER-

VDENIQ O MALOSTI OSTATO^NOGO ^LENA NAZYWA@T TEOREMAMI tEJLORA. |TI UTWER- VDENIQ MOVNO SFORMULIROWATX RAZNYMI SPOSOBAMI , PO\TOMU SU]ESTWUET NESKOLX- KO TAKIH TEOREM.

tEOREMA 1 (FORMULA tEJLORA S OSTATO^NYM ^LENOM W FORME pEANO). eSLI FUNKCIQ f(x) IMEET W OKRESTNOSTI TO^KI a PROIZWODNYE DO PORQDKA n − 1 I PROIZWODNU@ PORQDKA n W TO^KE a, TO PRI x → a

Rn(x) = o (x − a)n .

dOK–WO. fIKSIRUEM TO^KU a. bUDEM OBOZNA^ATX ^EREZ Pn,g(x) MNOGO^LEN tEJ- LORA PORQDKA n FUNKCII g(x) W TO^KE a. tOGDA IZ OPREDELENIQ MNOGO^LENA tEJLORA IMEEM: Pn,g(a) = g(a) I

Pn,g0(x) = 0 + g0(a) + g00(a)2(x−a) + . . . +g(n)(a)n(x−a)n−1 = Pn−1,g0 (x).

2! n!

pOSLEDOWATELXNO (n − 1) RAZ PRIMENQQ PRAWILO bERNULLI – lOPITALQ I PRIWEDEN- NYE RAWENSTWA DLQ FUNKCIJ g = f, f0, f00, . . . , f(n−2), POLU^AEM:

T.K. W SILU OPREDELENIQ PROIZWODNOJ POSLEDNIJ PREDEL RAWEN f(n)(a). iZ DOKAZAN- NOGO PREDELA I OPREDELENIQ o–MALOGO POLU^AEM UTWERVDENIE TEOREMY. .

fORMA pEANO OSTATO^NOGO ^LENA NE POZWOLQET WY^ISLITX POGRE[NOSTX PRED - STAWLENIQ FUNKCII MNOGO^LENOM tEJLORA PRI ZADANNOM ZNA^ENII x IZ OKRESTNOSTI TO^KI a I NE DAET WOZMOVNOSTI USTANOWITX RAZMERY TAKOJ OKRESTNOSTI , W KOTOROJ MNOGO^LEN WOSPROIZWODIL BY \TU FUNKCI@ S NAPERED ZADANNOJ TO^NOSTX@ , A TAKVE NI^EGO NE GOWORIT O TOM, KAK MOVNO WLIQTX NA POGRE[NOSTX ZA S^ET ROSTA STEPENI n MNOGO^LENA. dOKAVEM DRUGIE WARIANTY TEOREMY tEJLORA.

tEOREMA 2 (FORMULA tEJLORA S OSTATO^NYM ^LENOM W OB]EJ FORME). eSLI NA OTREZKE S KONCAMI x, a FUNKCIQ f NEPRERYWNA WMESTE S PERWYMI n SWOI- MI PROIZWODNYMI, A WO WNUTRENNIH TO^KAH \TOGO OTREZKA ONA IMEET PROIZWODNU@ PORQDKA n + 1, TO PRI L@BOJ FUNKCII g, NEPRERYWNOJ NA \TOM OTREZKE I IME@]EJ OTLI^NU@ OT NULQ PROIZWODNU@ W EGO WNUTRENNIH TO^KAH , NAJDETSQ TAKAQ TO^KA c,

77

LEVA]AQ MEVDU a I x, ^TO OSTATO^NYJ ^LEN FORMULY tEJLORA PORQDKA n W TO^KE a ESTX

dOK–WO. zAFIKSIRUEM PROIZWOLXNOE x > a, DLQ KOTOROGO WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ

TEOREMY. tOGDA SU]ESTWUET MNOGO^LEN Pn,f tEJLORA PORQDKA n FUNKCII f W L@BOJ TO^KE z [a, x]. sOSTAWIM WSPOMOGATELXNU@ FUNKCI@

F (z) = f(x)−Pn,f (x) = f(x)−f(z)−f0(z)(x−z)−f00(z)(x−z)2 −. . .−f(n)(z)

2! n!

PRI^EM BUDEM S^ITATX, ^TO z MENQETSQ NA OTREZKE [a, x]. nA \TOM OTREZKE FUNKCIQ F NEPRERYWNA KAK ALGEBRAI^ESKAQ SUMMA NEPRERYWNYH FUNKCIJ I NA KONCAH OTREZKA

GDE c — TO^KA, LEVA]AQ MEVDU TO^KAMI a I x. pOSKOLXKU F (x) = 0, F (a) = Rn(x) I F 0(c) = −f(n+1)(c)(x − c)n/n!, IZ (2) POLU^IM FORMULU (1).

sLU^AJ x > a RASSMATRIWAETSQ ANALOGI^NO. .

dOKAZANNAQ TEOREMA NOSIT WSPOMOGATELXNYJ HARAKTER : PRIMENQQ EE K KONKRET- NOJ FUNKCII g(z), POLU^AEM DRUGIE FORMY OSTATO^NOGO ^LENA.

tEOREMA 3 (FORMULA tEJLORA S OSTATO^NYM ^LENOM W FORME kO[I). eSLI NA OTREZKE S KONCAMI x, a FUNKCIQ f NEPRERYWNA WMESTE S PERWYMI n SWOI- MI PROIZWODNYMI, A WO WNUTRENNIH TO^KAH \TOGO OTREZKA ONA IMEET PROIZWODNU@ PORQDKA n + 1, TO NAJDETSQ TAKOE ^ISLO Θ, ^TO

dOK–WO ZAKL@^AETSQ W PRIMENENIE TEOREMY 2 K FUNKCII g(z) = (x − z). pRI \TOM TO^KU c PREDSTAWLQEM W WIDE c = a + Θ(x − a), GDE 0 < Θ < 1, A g(x) =

0, g(a) = x − a, g0(c) = −1, x − c = (1 − Θ)(x − a).

tEOREMA 4 (FORMULA tEJLORA S OSTATO^NYM ^LENOM W FORME lAGRAN -

VA). eSLI NA OTREZKE S KONCAMI x, a FUNKCIQ f NEPRERYWNA WMESTE S PERWYMI n SWOIMI PROIZWODNYMI, A WO WNUTRENNIH TO^KAH \TOGO OTREZKA ONA IMEET PROIZWOD - NU@ PORQDKA n + 1, TO NAJDETSQ TAKOE ^ISLO Θ, ^TO

f(n+1) a + Θ(x − a)

Rn(x) = (x − a)n+1, 0 < Θ < 1.

(n + 1)!

dOK–WO SLEDUET IZ TEOREMY 2, ESLI POLOVITX g(z) = (x − z)n+1.

78

24.2fORMULY mAKLORENA OSNOWNYH \LEMENTARNYH FUNK -

CIJ

fORMULA mAKLORENA — FORMULA tEJLORA PRI a = 0. wY^ISLQQ PROIZWODNYE DO PORQDKA n OSNOWNYH \LEMENTARNYH FUNKCIJ W TO^KE 0, POLU^AEM DLQ NIH FORMULY mAKLORENA.

tEOREMA 5. fORMULY mAKLORENA OSNOWNYH \LEMENTARNYH FUNKCIJ IME@T WID

(1 + x)s = 1 + sx + s(s − 1) 2! + . . . + s(s − 1) · · · (s − n + 1) n! + Rn(x).

dOK–WO. dLQ FUNKCII f(x) = sin x IMEEM f0(x) = cos x, f00(x) = − sin x I

T.D. tAKIM OBRAZOM, W TO^KE x = 0 f(0) = 0, WSE PROIZWODNYE ^ETNOGO PORQDKA TAKVE RAWNY NUL@, A WSE PROIZWODNYE NE^ETNOGO PORQDKA k = 2i − 1 (i N) RAWNY f(2i−1)(0) = (−1)i−1. pO\TOMU FORMULA mAKLORENA PORQDKA n = 2m DLQ \TOJ FUNKCII IMEET UKAZANNYJ W TEOREME WID.

oSTALXNYE FORMULY TEOREMY WYWODQTSQ ANALOGI^NO . .

oSTATO^NYE ^LENY Rn(x) PRIWEDENNYH W TEOREME 5 FORMUL mAKLORENA MOVNO OCENITX, ISPOLXZUQ FORMU lAGRANVA OSTATO^NOGO ^LENA . nAPRIMER, DLQ FUNKCII y = sin x IMEEM y(2m+1)(x) = (−1)m cos x, PO\TOMU FORMA lAGRANVA IMEET WID

wAVNO TO, ^TO POLU^ENNAQ OCENKA NE ZAWISIT OT ZNA^ENIQ Θ, KOTOROE NAM NE IZ-

iZ PRIWEDENNYH W TEOREME 5 FORMUL mAKLORENA MOVNO POLU^ITX FORMULY tEJ - LORA DLQ OSNOWNYH \LEMENTARNYH FUNKCIJ, ISPOLXZUQ IH SWOJSTWA.

79

pRIMER 1. nAJDEM FORMULU tEJLORA DLQ FUNKCII cos x W TO^KE a:

pRIMER 2. fORMULA tEJLORA DLQ FUNKCII xs W TO^KE a 6= 0 WYWODITSQ TAK:

24.3pRIMENENIE FORMULY tEJLORA

1) pRIBLIVENNYE WY^ISLENIQ.

pRIMER 3. pOKAVEM, KAK PRIMENITX FORMULU tEJLORA K RE[ENI@ ZADA^I WY^ISLENIQ √10 S TO^NOSTX@ ε = 0.01. iMEEM: √10 = √9 + 1 = 3p1 + 1/9, A

ZNA^IT, NEOBHODIMO WY^ISLITX ZNA^ENIE FUNKCII f(x) = (1 + x)1/2 PRI x = 1/9 S TO^NOSTX@ ε/3. iSPOLXZUEM FORMULU mAKLORENA DLQ \TOJ FUNKCII , OPREDELQQ n IZ USLOWIQ |Rn(x)| < ε/3. iZ POLU^ENNOJ RANEE OCENKI DLQ Rn(x) UBEVDAEMSQ, ^TO n = 1 PODHODIT. zAMENQQ ZNA^ENIE FUNKCII f(x) NA ZNA^ENIE MNOGO^LENA tEJLORA

PORQDKA 1, POLU^AEM:

√10 ≈ 3(1 + 12 19) ≈ 3, 17.

2) wY^ISLENIE PREDELOW

25 iSSLEDOWANIE FUNKCIJ: ASIMPTOTY, MONOTON- NOSTX I \KSTREMUMY

sM. [iW: §8.1–8.3, 8.7 STR. 192–207, 222–225] ILI [z: STR. 231–234, 249–250].

|TOT I SLEDU@]IJ PARAGRAFY POSWQ]ENY METODU POSTROENIQ GRAFIKOW FUNK - CIJ PO HARAKTERNYM TO^KAM.

25.1aSIMPTOTY GRAFIKOW FUNKCIJ

aSIMPTOTOJ NEOGRANI^ENNOJ KRIWOJ NAZYWAETSQ PRQMAQ , K KOTOROJ PRIBLIVA- @TSQ TO^KI KRIWOJ, UDALQQSX OT NA^ALA KOORDINAT.

pRI FIKSIROWANNOJ SISTEME KOORDINAT xOy NA PLOSKOSTI RAZLI^A@T TRI WIDA URAWNENIJ PRQMYH: x = a, y = b, y = kx + b. pO\TOMU SU]ESTWU@T TRI WIDA ASIMPTOT GRAFIKOW FUNKCIJ: WERTIKALXNYE, GORIZONTALXNYE I NAKLONNYE,

80