integral

n

Площадью поверхности Ω назовём предел суммы ωT = ∑| ωi |, где | ωi| −

i=1

площадь площадки ωi, когда диаметры этих площадок (или, соответственно,

площадок Di) стремятся к нулю, т.е. когда dT → 0.

Нормаль к поверхности F(x,y,z) = z − f (x,y) = 0 задаётся градиентом в точ-

ке Мi:

Поскольку Di − проекция ωi на плоскость OXY, то Di = ωi cos γ, (рис. 20б).

Тогда

где D − ортогональная проекция области Ω на плоскость OXY.

36

Отметим без доказательства, что если поверхность Ω на ограниченной об-

ласти в плоскости переменных (u, v) задана параметрически с помощью со-

отношений:

х = φ(u,v), y = ψ(u,v), z = χ(u,v),

называемые гауссовские коэффициенты поверхности Ω.

ПРИМЕР 1. Найти площадь части Ω сферы x2 + y2 + z2 = a2, заключенной внутри прямого кругового цилиндра x2 + y2 = b2 , b ≤ a (рис. 21).

Из симметрии относительно плоскости ОХY для нахождения искомой площади поверхности достаточно вычислить площадь ее части Ω1, лежащей выше плоскости ОХY, и удвоить полученное значение.

Ω1

z

x2 + y2 = b2

x2 + y2 + z2 = a2

y

D

x

Рис.21. К примеру 1.

37

Из уравнения верхней полусферы получаем:

Здесь D – проекция рассматриваемой поверхности на плоскость ОХY, т.е. круг радиуса b с центром в начале координат, который вырезает на плоскости ОХY

цилиндр x2 + y2 = b2. Двойной интеграл был вычислен с помощью перехода к полярным координатам.

Замечание. Строго говоря, область D в примере 1 не удовлетворяет условиям, накладываемым на области при переходе к полярным координатам, а именно, она содержит начало координат (см. рис. 16). Тем не менее, полученный в примере 1 результат остается справедливым. Для его обоснования следо-

вало бы вырезать из области D некоторую малую окрестность точки (0,0), на-

пример круг радиуса ε с центром в этой точке, а затем провести предельный пе-

реход при ε→0.

ПРИМЕР 2. Найти площадь поверхности геликоида (рис. 22), заданного параметрическими уравнениями:

x = r cos φ, y = r sin φ, z = b φ, 0 < r ≤ a, 0 ≤ φ < 2π.

38

4.5. Несобственные кратные интегралы.

Как и обычные несобственные интегралы, кратные несобственные интегралы бывают двух типов: с неограниченной областью интегрирования и с неограниченной подынтегральной функцией. Рассмотрим каждый из типов таких интегралов:

Несобственные интегралы с неограниченной областью интегрирова-

ния. Пусть D − неограниченная область, а {Dn} − произвольная последова-

тельность вложенных друг в друга ограниченных областей с «хорошими» границами (определение «хорошей» границы было дано в п. 4.1), причем эта по-

∞

следовательность «исчерпывает» область D , т.е D = Dn и D1 D2 …

n=1

… Dn … . Пусть, кроме того, функция f(x,y) непрерывна на области D. То-

гда несобственный двойной интеграл ∫∫ f (x, y)dxdy определяется как предел

D

последовательности интегралов ∫∫ f (x, y)dxdy при n → ∞. Интеграл считается

Dn

сходящимся, если этот предел существует, конечен и не зависит от выбора по-

следовательности областей {Dn}.

Несобственные интегралы с неограниченной подынтегральной функ-

цией. Пусть теперь D − ограниченная область, но при этом функция f(x,y) не

ограничена в окрестности точки М D. Обозначим через δ окрестность точки

М с диаметром δ, лежащую внутри области D. Тогда несобственный двойной

интеграл от неограниченной функции f(x,y) определяется как следующий предел:

40

если этот предел существует и не зависит от выбора окрестностей δ. (Напом-

ним, что область D \ δ состоит из точек, принадлежащих области D, но не принадлежащих области δ ).

Аналогично могут быть определены несобственные тройные интегралы.

Для несобственных кратных интегралов, подобно тому, как это делалось ранее, можно определить понятие абсолютной сходимости, а также сформулировать теоремы сравнения.

Используем определение. В качестве областей Dn возьмем круги радиусов n, т.е. Dn={ х2+ у2 ≤ n2 }. Имеем D1 D2 D3 … Dn R2… и Dn → R2

при n → ∞. Таким образом, области Dn можно использовать для определения интеграла I:

41

Таким образом, при α ≤ 1 интеграл I расходится, а при α > 1 сходится и имеет значение απ−1 .

Формулы интегрирования под знаком интеграла позволяют, в частности, вычислить важный интеграл Лапласа, подынтегральная функция которого не может быть проинтегрирована в элементарных функциях:

ПРИМЕР 2. Вычислить интеграл Лапласа: I = ∞∫e−x2 dx.

0

Пусть область D представляет собой первый квадрант плоскости OXY. Запишем двойной интеграл

Перейдем в двойном интеграле к полярным координатам:

Отсюда получаем интеграл Лапласа:

42

Теоретические вопросы к главе 4.

1.По какой переменной взят внешний интеграл в повторном интеграле:

∫∫ 1+ x4 + y4 dxdy , если область G – прямоугольник: 0 ≤ x ≤1 , 0 ≤ y ≤1 ?

G

3.Показать, что если область G представляет собой прямоугольник: – 1 ≤

≤ x ≤1, – 1 ≤ y ≤ 1, то двойной интеграл ∫∫xm yndxdy обращается в нуль,

5.Пользуясь формулой Дирихле, доказать равенство:

6.Вычислить интеграл ∫∫ f (x, y)dxdy , если область G представляет собой

G

прямоугольник: a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d, а функция f (x, y) = Fxy′′(x, y) .

7.Доказать, что, если G – прямоугольник: a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d , то

43

8.Найти среднее значение функции f (x, y) в области G :

в) f (x, y) = x – 2 y, G – треугольник с вершинами А(1,0), В(1,1), С(3,1) .

Задачи к главе 4.

Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах:

Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования по новым переменным в интегралах:

44

Вычислить двойные интегралы:

13. ∫∫(2x − y)dxdy , где G – треугольник с вершинами А(1,2), В(3,2), С(0,1)

G

14. ∫∫(3x +2 y)dxdy , где G – часть плоскости, ограниченная кривыми

G

y = x2/2 и y = 2x .

15. ∫∫xy dxdy , где G – часть плоскости, ограниченная кривыми

G

x2 + y2 = ax, x2+ y2 = 2ax и y = 0, y ≥ 0, a ≥ 0.

16. ∫∫2x2 y dxdy, где G – часть плоскости, ограниченная линиями

G

y 2 = ax, x2 + y2 = 2ax, y = 0, y > 0, a > 0.

Перейти к полярным координатам и вычислить интегралы:

17. ∫∫ex2 + y2 dxdy, G – кольцо, ограниченное концентрическими окруж-

G

ностями: x2 + y2 = 1 и x2+ y2 = 4.

45