Skhemotekhnika_1

ТЕМА 8. ИЗМЕРЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ

мост переменного тока нулевой индикатор метод покоординатного спуска

условия равновесия моста переменного тока

Для измерения емкости конденсаторов и индуктивности катушек можно применять те же методы, что и для измерения сопротивлений, но использовать вместо источника постоянного напряжения источник переменного напряжения.

В случае если, активным сопротивлением катушки индуктивности можно пренебречь, отношение абсолютных значений комплексной амплитуды напряжения и тока определяется только ее индуктивностью, и путем их измерения можно определить индуктив-

ность: L = U0 (ω I0 ). Точно так же, если проводимостью конден-

сатора можно пренебречь, величина его емкости может быть получена путем измерения абсолют-

ных значений комплексной амплитуды тока и напряжения

С = I0 (ω U0 ).

Если же действительным сопротивлением конденсатора или катушки индуктивности пренебречь нельзя, измерение их параметров существенно усложняется, поскольку следует учитывать не только абсолютные значения комплексных амплитуд тока и напряжения, но и сдвиг фаз между ними.

На практике для измерения комплексных сопротивлений наиболее часто используется мост переменного тока. Он состоит из четырех плеч — двухполюсников с некоторыми комплексными сопро-

81

тивлениями (рис. 8.2). В одну диагональ моста включен источник переменного напряжения U = U0 e jωt , в другую — нулевой индикатор переменного напряжения, т.е. прибор, способный с высокой достоверностью определять, отлично ли от нуля напряжение между его клеммами (в качестве нулевого индикатора можно использовать, например, вольтметр или амперметр). Равновесие моста достигается при условии равенства произведений комплексных сопротивлений противоположных плеч:

Z1Z0 = Z2 Zx .

Это условие можно представить иначе, представляя комплекс-

ные сопротивления в показательной форме:

Z1 e jϕ1 Z0 e jϕ0 = Z2 e jϕ2 Zx e jϕx ,

где Z1 , Z2 , Zx , Z0 — модули полных сопротивлений плеч моста, а ϕ1, ϕ2 , ϕx , ϕ0 — фазовые сдвиги между током и напряжением в соответствующих плечах.

Последнее равенство распадается на два условия равновесия моста:

Отсюда следует, что мост переменного тока нужно уравновешивать регулировкой активной и реактивной составляющих плеч, т.е. равновесие осуществляется как по модулям, так и по фазам. Нужно иметь в виду, что при изменении значений активных и реактивных составляющих одновременно изменяются и модуль, и фаза, поэтому мост переменного тока можно

привести в равновесие лишь методом последовательных приближений к нулевому показанию индикатора.

Второе условие равновесия моста переменного тока определяет порядок включения двухполюсников относительно друг друга. Действительно, если в первое и нулевое плечи моста включены резисторы, то во втором и неизвестном (x) плечах должны находиться реактивные сопротивления разных знаков. Если в смежных плечах, на-

82

пример, в первом и втором стоят резисторы, в другие смежные должны быть включены реактивные сопротивления одного типа. Очевидно, что одновременно во все плечи можно включать двухполюсники с сопротивлениями одинакового характера.

Рассмотрим некоторые схемы мостов переменного тока.

Мост переменного тока, представленный на рис. 8.3, можно использовать для измерения емкости конденсатора. Любой конденсатор, помимо емкости, обладает еще сопротивлением утечки, и его комплексное сопротивление мож-

но записать в виде:

Измерение параметров конденсатора следует производить следующим образом:

83

1)установить значения сопротивлений R0 и R2;

2)для некоторого значения емкости C1, сохраняя его неизменным, изменением сопротивления R1 добиться минимальных показаний вольтметра (рис. 8.3);

3)не изменяя теперь значения сопротивления R1, изменением емкости C1 добиться минимальных показаний вольтметра;

4)повторять п. 2 и 3 до тех пор, пока не будут достигнуты нулевые показания измерительного прибора;

5)искомые величины Rx и Cx можно вычислить по формулам

Rx = R1R0 R2 ; Cx = C1R2 R0 .

Предлагаемая последовательность действий очень сильно напоминает поиск минимума функции двух переменных и в вычислительной математике носит название метод покоординатного спуска. Метод из-

мерения, схема которого изображена на рис. 8.3, нельзя использовать для измерения индуктивности, поскольку сдвиг фаз, вносимый конденсатором C1 , не может менять знак. Выходом из сложившейся ситуации может служить мост переменного тока, схема которого приведена на рис. 8.4. Для

этой схемы справедливы следующие соотношения:

поэтому условия баланса моста примут вид:

Z1R0 = ZxZ2

или

Z1 R0 = Zx Z2 ,

84

j1 + j0 = jx + j2 Þ j1 = jx + j2 .

Из последних соотношений видно, что данным мостом можно измерять емкости конденсаторов (при этом величины j1, jx , j2 будут одного знака, и равенство j1 = jx + j2 будет выполняться). Данным мостом можно также измерять индуктивности катушек (величина jx при этом будет иметь знак, противоположный величинам j1 и j2 , но при условии jx < j2 равенство j1 = jx + j2 также выполняется).

Действительную и мнимую части комплексного сопротивления исследуемого двухполюсника можно вычислить по формулам:

Контрольные вопросы

1.Зависят ли результаты измерений по схеме рис. 8.1 от частоты переменного напряжения?

2.Как воспользоваться методом измерения рис. 8.1, не зная частоты переменного напряжения, но располагая точным значением емкости некоторого эталонного конденсатора?

3.Можно ли в схеме, изображенной на рис. 8.2, заменить вольтметр амперметром?

4.Если при измерениях по схеме рис. 8.2 баланс моста достигнут на одной частоте, будет ли он соблюдаться на других частотах?

5.Как использовать схему, показанную на рис. 8.3, для измерения индуктивностей?

6.Можно ли в схеме, изображенной на рис. 8.4, заменить емкости C1 и C2 на индуктивности?

85

Программа лабораторной работы

1.Получить у преподавателя линейный двухполюсник для исследования.

2.Подать на двухполюсник переменное напряжение некоторой частоты (порядка 1 кГц) с действующим значением 5..10 В. Измеряя действующее значение тока, протекающего через двухполюсник, оценить абсолютное значение его импеданса: Z = U I .

3.Собрать мост переменного тока по схеме рис. 8.4, используя выбранное значение частоты переменного напряжения. Величины сопротивлений и емкостей моста выбрать в соответствии с оценкой импеданса двухполюсника

4.Добиться баланса моста. Для этого использовать метод покоординатного спуска:

1)не изменяя значения емкостей C1 и C2, путем изменения сопротивлений R1 и R2 (при R1 + R2 ≈ const ) добиться минимального показания вольтметра;

2)не изменяя значения сопротивлений R1 и R2, путем изменения емкостей C1 и C2 (при C1 + C2 ≈ const ) добиться минимального показания вольтметра;

3)повторить п.1 и п.2 до тех пор, пока значения R1, R2, C1 и C2 не перестанут изменяться.

4. Вычислить действительную и мнимую части комплексного сопротивления исследуемого двухполюсника по формулам:

5. Произвести измерения по п. 3, 4 для различных значений частоты и построить график зависимости действительной и мнимой частей комплексного сопротивления от частоты в двойном логарифмиче-

86

ском масштабе, заменяя отрицательные значения их абсолютными значениями.

6. Аппроксимируя участки построенного графика прямыми линиями, найти те частотные диапазоны, в пределах которых двухполюсник можно считать имеющим индуктивное или емкостное сопротивление. При этом следует иметь в виду, что идеальная индуктивность имеет мнимую часть импеданса Im(Z )= ωL , которая в двойном логарифмическом масштабе ( log[Im(Z )]= log(L)+ log(ω) ) выглядит как прямая линия с коэффициентом наклона 1 (или 20 децибел на декаду). Кроме того, идеальная емкость имеет модуль мнимой части импеданса Im(Z ) =1ωC , и в двойном логарифмическом масштабе log Im(Z ) = −log(C)− log(ω) выглядит прямой линией с коэффициентом наклона –1 (–20 децибел на декаду).

Содержание отчета.

Отчет должен содержать:

1.Схему измерений.

2.Оценку абсолютного значения импеданса исследуемого двухполюсника выбранные в соответствии с этой оценкой параметры моста.

3.Таблицу измерений, содержащую значения параметров

ω, R1, R2 , C1, C2 , при которых реализуется баланс моста переменного тока.

4.Таблицу зависимости Re(Zx ) и Im(Zx ) от частоты.

5.График зависимости Re(Zx ) и Im(Zx ) от частоты, построенный в двойном логарифмическом масштабе.

6.Результаты аппроксимации участков графика прямыми ли-

ниями.

87

Задачи для самостоятельного решения

Согласно программе лабораторной работы провести исследования следующих двухполюсников с задаваемыми преподавателем номиналами составляющих их элементов:

88

89

ТЕМА 9. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

основные законы коммутации

интегрирующая RC-цепь, интегрирующая RL-цепь дифференцирующая RC-цепь, дифференцирующая RL-цепь

перезаряд конденсатора

характерное время перезаряда RC-цепи

Рассмотрим линейную цепь, т.е. цепь, составленную из резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности и идеальных источников тока либо напряжения. Пусть до момента времени t = 0 все параметры цепи (сопротивления, емкости, индуктивности, входные напряжения и токи, а также нагрузка) остаются постоянными, а в указанный момент времени один из них скачком изменяется и принимает новое значение, которое в дальнейшем остается неизменным. После скачкообразного изменения параметра напряжения и токи в цепи (а также выходные напряжения и токи) претерпевают изменения и некоторое время отличаются от своих стационарных значений. Зависимость от времени напряжений и токов цепи непосредственно после скачкообразного изменения ее параметров принято называть переход-

ным процессом.

Если в качестве изменяющегося параметра рассматривается входной сигнал линейной цепи, то переходной процесс в точности соответствует переходной характеристике рассматриваемой цепи, подробно рассматриваемой в теории автоматического управления, а также в теории цепей и сигналов. Однако переходной процесс — более широкое понятие, включающее также явления, происходящие в цепи при изменении не только входного сигнала, но и ее внутренних параметров.

Необходимо отметить, что для цепей, содержащих только резисторы и идеальные источники, понятие переходного процесса не имеет никакой актуальности. Причина этого заключается в том, что связь между током через резистор и падением напряжения на нем имеет мгновенный характер — ток в некоторый момент времени полностью определяется значением напряжения в тот же момент времени.

Для исследования переходных процессов с успехом применяет-

90