Semestr1-hyper1

Можно ли здесь знаки неравенства заменить на равенство?

11

§2 Числовые последовательности

2.1Предел числовой последовательности в R

Пусть задана некоторая функция f : N → R. Множество ее значений образует счетное подмножество в R, его элементы обозначим через xk = f(k). Зафиксируем в этом подмножестве порядок следования элементов, соответствующий естественному порядку натуральных чисел, именно, x1, x2, . . . , xn, . . .. Полученное упорядоченное множество действительных чисел называется числовой последовательностью. Краткое обозначение: {xn}.

Определение 2.1. Число a R называется пределом числовой последовательности {xn}, если для любого ε > 0 найдется натуральное число N = N(ε) такое, что для всякого n > N выполняется неравенство: |xn − a| < ε. Запись в кванторах:

Пишут lim xn = a (или xn → a) и говорят, что последовательность {xn}

сходится (стремится) к a.

lim xn = a означает, что любая окрестность точки a является "ловушкой" последовательности {xn}, т. е. все члены последовательности, начиная с некоторого номера, попадают в эту окрестность. Действительно, возьмем произвольную окрестность U(a) = (c, d) точки a и положим ε = min{a−c, d−a} > 0. Так как xn → a, то найдется номер N = N(ε) такой, что для всех n > N будет справедливо |xn −a| < ε, т. е. все члены последовательности, начиная с номера

N+ 1, будут принадлежать (a − ε, a + ε) U(a).

Свойства пределов в R

1. Если lim xn существует, то он единственен.

Доказательство. Допустим противоположное: {xn} имеет два различных предела a 6= b. Но различные точки всегда имеют непересекающиеся окрестности U(a) и U(b), обе из них являются "ловушками" для {xn} в U(a) попадают все члены {xn}, начиная с некоторого номера, так же как и в U(b) попадают все члены {xn}, начиная с некоторого номера. Очевидно, что этого не может быть, так как U(a) ∩ U(b) = .

2.Изменение конечного числа членов последовательности не влияет на её сходимость и значение предела.

Доказательство. Справедливость данного замечания следует из того, что условие |xn − a| < ε, из определения lim xn, выполняется, начиная с некоторого конечного N. Если мы изменим число членов, у которых наибольший номер N0 < N, то для {xn} по-прежнему выполняется (2.1) и lim xn = a. Если же N0 будет больше N, то мы просто выбираем в (2.1) N = N0, и по-прежнему lim xn = a.

3.Если {xn} сходится, то она ограничена, т.е. существует такая константа

M, что |xn| ≤ M n.

Доказательство. Следует из неравенства ||xn| − |a|| ≤ |xn − a|.

12

6. Арифметические свойства: если существуют пределы lim xn и lim yn, то

б) справедливы неравенства: |xnyn − ab| ≤ |xnyn − ayn| + |ayn − ab| ≤ |yn||xn − a| + |a||yn − b|. Так как xn → a, yn → b и |yn| ≤ M (в силу свойства 3), то всегда можно выбрать N N таким, что для любых n > N : |yn||xn −a|+|a||yn −b| < ε, где ε > 0 – любое наперед заданное

7. Если xn → 0, а последовательность {yn} ограничена, то xnyn → 0.

Доказательство. Пусть |yn| ≤ M n. Справедлива оценка 0 ≤ |xnyn| ≤ M|xn|. По свойству 3, если xn → 0, то |xn| → 0. Следовательно, M|xn| → 0. Отсюда, по свойству 2, следует |xnyn| → 0. Следовательно, xnyn → 0.

2.2Критерий Коши существования конечного предела

Определение 2.2. Последовательность называется фундаментальной или последовательностью Коши, если выполнено следующее условие Коши:

или, что эквивалентно,

Теорема 2.1. (Критерий Коши) Последовательность {xn} имеет конечный предел (предел в R) тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Доказательство. Необходимость. Пусть xn → a. Тогда фундаментальность {xn} следует из неравенства

|xn − xm| ≤ |xn − a| + |xm − a| n, m > N.

Достаточность. Пусть {xn} – фундаментальна. Тогда {xn} – ограничена. Действительно, пусть N таково, что |xn − xm| < 1 при n, m > N. Тогда

|xn| ≤ M = max{|x1|, . . . , |xN |, |xN+1| + 1} при всех n.

В силу следствия к теореме Больцано-Вейерштрасса существует сходящаяся к конечному пределу подпоследовательность {xnk }, пусть xnk → a R. Покажем, что и вся последовательность {xn}

сходится к a. Для произвольного ε > 0 существует N0 N такое, что |xnk − a| < ε/2 при nk > N. Пусть теперь N00 N таково, что |xn − xm| < ε/2 при n, m > N00. Тогда для n > N = max{N0, N00}

получим неравенство |xn − a| ≤ |xn − xnk | + |xnk − a| < ε, если мы выберем какое-либо nk > N.

Замечание 2.1. Выбрав в (2.4) p = 1, получим необходимое условие сходимости числовой последовательности к конечному пределу: |xn − xn+1| → 0 при n → ∞.

13

2.3Пределы в расширенной числовой прямой

Определение 2.3. Последовательность {xn} называется сходящейся в R {∞} к ∞ (lim xn = ∞), если

M > 0 N N n > N (|xn| > M).

Последовательность {xn} называется сходящейся к +∞ в R (lim xn = +∞), если

M > 0 N N n > N (xn > M).

Аналогично определяется lim xn = −∞ в R.

Таким образом, если lim xn = +∞, то любая (проколотая) окрестность (M, +∞) точки +∞ является ловушкой последовательности {xn}. Аналогично, для последовательности, сходящейся к −∞, любая окрестность (−∞, N) для нее ловушкой.

Свойства пределов в расширенной числовой прямой

Здесь не нравится x, a = ±∞

1.Если существует lim xn = ∞, +∞ или −∞, то он единственен.

2.Изменение конечного числа членов последовательности не влияет на её сходимость и значение предела.

3.Если xn → a, yn → a, где a = +∞ или −∞, и xn ≤ zn ≤ yn при всех n, то zn → a.

4. Арифметические свойства: если существуют пределы lim xn и lim yn в R и определены правые части следующих равенств (см.(1.2)), то

а) lim(xn ± yn) = lim xn ± lim yn, б) lim(xn yn) = lim xn lim yn,

в) lim xn = lim xn при условии lim yn 6= 0. yn

Доказательство. Докажем для примера равенство lim(xn + yn) = lim xn + lim yn. Если оба этих предела конечны, то равенство уже доказано в (2.2).

Пусть lim xn = ±∞, а lim yn – конечный, тогда lim xn + lim yn = ±∞. Докажем, что и lim(xn + yn) = ±∞. Для определенности будем считать, что lim xn = +∞. Последовательность {yn} сходится к конечному пределу, поэтому она ограничена: |yn| ≤ M n, в то время, как последовательность {xn} стремится к +∞ при n → ∞. Ясно, что xn + yn ≥ xn − |yn| ≥ xn − M → +∞ при n → ∞, т.е. lim(xn + yn) = +∞ = lim xn + lim yn.

Если lim xn = lim yn = +∞, то очевидно lim(xn + yn) = +∞ = lim xn + lim yn. Аналогично для случая lim xn = lim yn = −∞.

Вариант lim xn = +∞, lim yn = −∞ (или наоборот) не рассматриваем, так как операция +∞ − ∞ не определена.

2.4Подпоследовательности. Частичные пределы. Теорема БольцаноВейерштрасса

Определение 2.4. Пусть {xn} последовательность и n1 < n2 < n3 · · · < nk · · · некоторая последовательность натуральных чисел. Последовательность {yk}, где yk = xnk , называется подпоследовательностью последовательности {xn} и обозначается {xnk }.

Лемма 2.1. (о вложенных отрезках) Любая последовательность вложенных

отрезков I1 I2 . . . In . . . , In = [an, bn], обладает общей точкой

∞

T

a In. Если bn − an → 0 при n → ∞, то эта точка будет единственной.

n=1

14

Доказательство. Докажем сначала существование точки, общей для всех In. Множество E = {a1, a2, a3, . . . } левых концов отрезков ограничено сверху (например, числом b1), и, следовательно,

an ≤ bn ≤ bk при n ≥ k, an ≤ ak ≤ bk при n < k.

Следовательно a, будучи наименьшей мажорантой E, обладает свойством a ≤ bk для всех k =

∞

\

1, 2, . . . . Таким образом, an ≤ a ≤ bn для всех n, т. е. a In.

n=1

Пусть теперь bn − an → 0 при n → ∞. Предположим, что существует две точки a и c, принад-

∞

\

лежащие In. Но тогда a, c [an, bn] при любом n, так что |a − c| ≤ bn − an → 0 a = c.

n=1

Теорема 2.2. (Теорема Больцано-Вейерштрасса) Бесконечное ограниченное множество E R обладает по крайней мере одной предельной точкой.

Доказательство. Множество E ограничено, поэтому существует число M > 0 такое, что E [−M, M]. Построим последовательность вложенных отрезков In = [an, bn] по следующему правилу. Положим I1 = [−M, M], в качестве I2 возьмем тот из двух отрезков [−M, 0], [0, M], который содержит бесконечное подмножество из E. При этом, если оба содержат бесконечное число элементов из E, то возьмем правый. Пусть построены I1 I2 · · · In−1. В качестве In возьмем тот из

Покажем, что она является предельной точкой E. Пусть U(a) – произвольная окрестность a. Тогда существует N N такое, что In = [an, bn] U(a) при n > N, т. е. произвольной окрестности U(a) принадлежит бесконечное множество точек множества E. Следовательно, a – предельная точка множества E.

Следствие 2.1. Каждая ограниченная последовательность обладает сходящейся к конечному пределу подпоследовательностью.

Доказательство. По теореме Вейерштрасса ограниченная последовательность (как бесконечное ограниченное множество) обладает предельной точкой a. Любая окрестность точки a содержит бесконечное множество элементов последовательности {xn}, поэтому любая окрестность a должна быть "ловушкой" хотя бы одной подпоследовательности {xnk } xnk → a.

Лемма 2.2. Если {xn} сходится, то любая подпоследовательность {xnk } сходится к тому же самому пределу.

Доказательство. Пусть xn → a R, так что ε - окрестность точки a является "ловушкой" последовательности {xn}. Но тогда из определения подпоследовательности следует, что эта же ε - окрестность будет "ловушкой" любой подпоследовательности {xnk }. Это означает, что xnk → a.

Если a = +∞, то для любого M R справедливо включение xn (M, +∞) при n > n(M), поэтому

{xnk } (M, +∞) при nk > n(M), что означает сходимость {xnk } к +∞. Аналогично исследуются случаи a = ∞ и a = −∞.

Здесь не нравится a = ±∞

Пределы подпоследовательностей числовой последовательности называют частичными пределами этой последовательности. В силу леммы 2.2 сходящаяся последовательность имеет только один частичный предел, совпадающий с ее пределом. Из следствия к теореме Больцано-Вейерштрасса вытекает, что любая ограниченная последовательность имеет частичные пределы в R. Количество частичных пределов может быть как конечным, так и бесконечным. Ниже приведен пример числовой последовательности с бесконечным (счетным) числом частичных пределов.

Пример 2.1. Пусть {r1, r2, . . . , rk, . . .} все рациональные числа из отрезка [0, 1]. Для каждого числа rk построим какую-либо последовательность, сходящуюся к этому числу. Обозначим ее {xkn}. Внесем члены всех этих последовательностей (их счетное число) в следующую таблицу (сравни с материалом о счетности счетного объединения счетных множеств):

. . . . . . . . . . . . . . .

15

Теперь все элементы этой таблицы занумеруем с помощью одного натурального индекса, собирая в блоки элементы с одинаковой суммой индексов (нумерация "по диагоналям"):

x1 = x11, x2 = x21, x3 = x12, x4 = x31, x5 = x22, x6 = x13, . . .

Полученная последовательность {xn} имеет все числа rk в качестве своих частичных пределов.

Определение 2.5. Верхним пределом последовательности {xn} называ-

ется ее максимальный частичный предел; он обозначается lim xn. Иными

словами, a = lim xn, если существует подпоследовательность {xnk } такая, что xnk → a, и предел любой другой сходящейся подпоследовательности равен b ≤ a.

Нижним пределом последовательности называется ее минимальный частичный предел. Он обозначается lim xn.

Поскольку последовательность может иметь бесконечное число частичных пределов, то существование максимального и минимального среди них надо обосновывать. Соответствующий результат приведен в следующей теореме:

Теорема 2.3. Любая числовая последовательность имеет верхний и нижний пределы в расширенной прямой. У ограниченной последовательности эти пределы конечны.

Доказательство. Для ограниченных последовательностей существование конечного lim xn, по существу, уже обосновано в доказательстве теоремы Больцано-Вейерштрасса. Действительно, при построении In в системе вложенных отрезков I1 I2 · · · In−1 . . . мы выбирали "самый

членов E (в данном случае, последовательности {xn}), поэтому был построен именно максимальный частичный предел последовательности: a = lim xn.

Для обоснования существования lim xn у ограниченной числовой последовательности достаточно немного изменить доказательство теоремы Больцано-Вейерштрасса, выбирая каждый раз

следовательности {xn}.

Проведем доказательство существования lim xn в случае неограниченной последовательности. Пусть {xn} не ограничена сверху. Это означает, что существует подпоследовательность {xnk }

такая, что lim xnk = +∞. Но тогда lim xn = +∞.

Пусть теперь {xn} ограничена сверху: xn ≤ M n, но не ограничена снизу. Тогда возможны два варианта:

a)существует число m < M такое, что интервал (m, M) содержит бесконечное число членов последовательности;

b)для любого числа m < M интервал (m, M) содержит лишь конечное число членов последовательности.

В случае a) существует частичный предел в интервале (m, M), т.е. существует конечный верх-

ний предел. В случае b) предел последовательности lim xn = −∞, поэтому и lim xn = −∞. Доказательство существования lim xn для неограниченной последовательности проводится ана-

логично.

Замечание 2.2. Из построения конечного верхнего предела a = lim xn следует, что для любого ε > 0 интервал (a−ε, a+ ε) содержит в себе бесконечное число элементов xn, при этом справа от этого интервала имеется не более, чем конечное число элементов xn.

Аналогично, для конечного a = lim xn интервал (a − ε, a + ε) содержит в себе бесконечное число элементов xn, при этом слева от этого интервала имеется не более, чем конечное число элементов xn.

Для любой последовательности в силу определений верхнего и нижнего пределов справедливы соотношения

lim xn ≤ lim xn, lim xn = −lim (−xn).

Теорема 2.4.

тогда и только тогда, когда последовательность сходится.

16

Доказательство. Если существует (конечный или бесконечный) предел lim xn, то это единственный частичный предел последовательности, поэтому справедливо равенство (2.5).

Пусть теперь lim xn = lim xn = a. Если a – конечное число, то для любого ε > 0 неравенства a − ε < xn < a + ε соблюдаются для всех индексов n, за исключением конечного их числа (см. замечание 2.2), а это значит, что xn → a.

Если теперь a = +∞, то неравенству xn ≤ M может при любом конечном M удовлетворять лишь конечное число элементов xn, но тогда lim xn = +∞.

Аналогично рассматривается случай a = −∞.

Лемма 2.3. Для ограниченных последовательностей {xn} и {yn} справедливы следующие неравенства:

Доказательство. Неравенство (2.7) является следствием неравенства (2.6). Действительно,

lim (xn + yn) = −lim (−xn − yn) ≥ −(lim (−xn) + lim (−yn)) = lim xn + lim yn.

Перейдем к доказательству неравенства (2.6). Существует подпоследовательность {xnk + ynk }

такая, что lim (xn + yn) = lim (xnk + ynk ). Из ограниченной последовательности {xnk } выделим сходящуюся подпоследовательность {xn0k }. Теперь из ограниченной последовательности {yn0k } выделим сходящуюся подпоследовательность {yn00k }. В результате построены подпоследовательности индексов {n00k } {nk} {nk}, такие что существуют конечные пределы lim (xnk + ynk ) = lim (xn + yn), lim xn0k и lim yn00k . Поскольку любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, то

lim (xn + yn) = lim (xn00k + yn00k ) = lim xn00k + lim yn00k ≤ lim xn + lim yn.

2.5Монотонные последовательности. Число e

Определение 2.6. Последовательность {xn} называется неубывающей (соответственно, невозрастающей), если xn ≤ xn+1 (соответственно, xn ≥ xn+1). Последовательность {xn} называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.

Теорема 2.5. Монотонная последовательность сходится в расширенной числовой прямой R. Если последовательность ограничена, то предел конечный.

Доказательство. Пусть, например, {xn} не убывает и ограничена сверху. Тогда существует точная верхняя грань M = sup{x1, x2, . . . } R. Покажем, что xn → M. По определению точной верхней грани для любого ε > 0 найдется N = N(ε) такое, что M − ε < xN ≤ M. В силу неубывания последовательности M − ε < xn ≤ M для всех n > N, поэтому xn → M.

Если {xn} не убывает и не ограничена сверху, то lim xn = +∞.

Лемма 2.4. Предел числовой последовательности xn = 1 + n1 n существует и называется числом e.

Доказательство. Используем теорему об ограниченной и монотонной последовательности. Преж-

17

Упражнения

1.Пусть последовательность {xn} сходится к конечному пределу, а {yn} расходится. Что можно сказать о сходимости

a) последовательности {xn + yn}? b) последовательности {xnyn}? (Т.е. можно ли однозначно утверждать, что эти последовательности сходятся или расходятся, или существуют примеры как сходящихся, так и расходящихся последовательностей?).

2.Пусть последовательности {xn} и {yn} расходятся. Что можно сказать о сходимости

6.Доказать сходимость последовательности xn = 10p1 + 10p22 + . . . 10pnn , где pi - цифры.

7.Доказать, что если какая-либо подпоследовательность монотонной последовательности ограничена, то и сама последовательность ограничена.

8.Доказать, что монотонная последовательность сходится, если сходится какая-либо ее подпоследовательность.

9.Доказать, что у любой последовательности есть монотонная подпоследовательность.

10.Доказать, что числовая последовательность, стремящаяся к +∞, достигает своей нижней грани.

18

§3 Предел функции

3.1Числовые функции

Пусть E R. Однозначное отображение f из E в R будем называть числовой функцией и использовать обозначение y = f(x), где x E – так называемая независимая переменная, а y = f(x) – зависимая переменная. Пусть

R2 = R × R –множество упорядоченных пар действительных чисел (x, y). Задав на плоскости прямоугольную систему координат Oxy, можно поставить во взаимно однозначное соответствие каждой паре (x, y) R2 точку на плоскости с координатами x (на оси абсцисс) и y (на оси ординат). В связи с этим будем называть R2 числовой плоскостью.

Определение 3.1. Графиком функции f : E → R (E R) называется часть числовой плоскости = {(x, f(x)) R2 : x E}.

Теорема 3.1. Непустое подмножество R2 на плоскости является графиком некоторой однозначной функции f : E → R (E R) тогда и только тогда, когда каждая прямая, параллельная оси Oy, пересекает не более чем в одной точке.

Доказательство. Необходимость. Пусть является графиком функции f : E → R, т. е.= {(x, f(x)) R2 : x E}. Так как f – однозначная функция, то каждому x E соответствует единственное значение y = f(x), а это означает, что прямая, параллельная

Достаточность. Пусть прямая, параллельная оси Oy, пересекает не более чем в одной точке. Покажем, что в этом случае является графиком некоторой функции f. Областью определения искомой функции будет множество E R таких,что прямая, параллельная оси Oy и проходящая через точку (x, 0), пересекает . Примем теперь за f(x) (т.е. за значение функции f значение в точке x) ординату точки пересечения прямой, параллельной оси Oy, с . Тем самым, мы установим закон соответствия между x и f(x) такой, что каждому значению x соответствует единственное значение f(x). Таким образом, функция, графиком которой является , определена и = {(x, f(x)) R2 : x E}.

График определяет функцию y = f(x) (x E). Действительно, если x E, то соответствующее значение y = f(x) определяется как ордината точки (x, a) . Таким образом, при помощи графика задается вполне определенное правило соответствия между x и f(x).

Отметим, что в определении функции ни словом не упоминается ни об аналитическом выражении (формуле), ни о графическом изображении. Например, функция y = x2 (x R) задается формулой (т.е. аналитически); функция sgn x не может быть задана единственной формулой, а функция Дирихле

(

y =

1, если x − рациональное число,

0, если x − иррациональное число,

не может быть задана ни аналитически, ни графически.

Примеры различных кривых.

Кривая является графиком функции (в точке x = a она будет просто не определена)

19

- x

0

Кривая не будет графиком какой-либо функции, так как в точке x = 0 она принимает два значения.

- x

0a

Кривая будет графиком функции (в точке x = a она принимает значение f(a) = b).

- x

0a

Кривая не будет графиком какой-либо функции, так как в точке x = a она принимает бесконечное множество значений.

Замечание 3.1. Если правило ставит в соответствие каждой точке x E не единственную точку y F , то оно называется многозначной функцией. Примером такой функции может служить функция y = Arcsin x. В такого рода соответствиях часто (но не всегда) можно выделить так называемые ветви, где соответствие однозначно. Например, в случае y = Arcsin x выделяется y = arcsin x.

Мы в дальнейшем рассматриваем только однозначные функции, поэтому слово "однозначные" будем опускать.

3.2Определение и свойства предела функции. Первый замечательный предел

Пусть f – некоторая числовая функция, определенная на множестве E R и a – предельная точка множества E.

Определение 3.2. (Определение Гейне) Число α называется пределом функции f(x) в точке a, если для любой последовательности {xn} E \ {a}, такой что xn → a, справедливо f(xn) → α.

20