Avhadiev_ChMA_1

8.2Оценки погрешности

Приведем две различных оценки погрешности квадратурной формулы

в предположении, что эта формула точна на полиномах степени ≤ 2n − 1, т. е. является квадратурной формулой Гаусса. Как мы уже знаем, это предположение равносильно следующим условиям:

полином ωn(x) = (x − x1)...(x − xn) ортогонален с весом ρ(x) любому полиному степени ≤ n −1, а коэффициенты pk вычисляются по формулам

Напомним, что при любой сетке узлов для любой интерполяционной квадратурной формулы

Дополнительным свойством формулы Гаусса является положительность всех коэффициентов pk (k = 1, . . . , n). Убедиться в этом можно так: для любого индекса k функция

является полиномом степени 2n − 2, поэтому формула Гаусса для нее точна:

ρ(x)fk(x)dx = pj fk(xj) = pk fk(xk).

Таким образом, при любом числе узлов сетки

∫ b

0 < pk ≤ ρ(x) dx,

a

111

т. е. коэффициенты ограничены числом, не зависящим от n, и вычисления по квадратурной формуле наивысшего алгебраического порядка точности оказываются устойчивыми при повышении числа узлов. Эксперты по вычислениям отмечают, что на практике квадратурные формулы Гаусса применяются с числом узлов до 100.

В двух следующих теоремах через

∫ b ∑n

ψn(f) = ρ(x)f(x)dx − pk f(xk)

a k=1

мы будем обозначать погрешность квадратурной формулы Гаусса.

Теорема 8.4 Для любой функции f C[a, b]

∫ b

|ψn(f)| ≤ 2(E2n−1f) ρ(x)dx,

a

где E2n−1f − наилучшее равномерное приближение f полиномами степени ≤ 2n − 1.

Доказательство. Для произвольного полинома Q(x) степени ≤ 2n − 1 имеем

Поэтому погрешность квадратурной формулы Гаусса может быть оценена следующим образом:

Отсюда в силу произвольности полинома Q(x) степени ≤ 2n − 1 вытекает утверждение теоремы.

112

Теорема 8.5 Для любой функции f C2n[a, b] справедливо представление

где η [a, b].

как Hn(f; x) — полином степени ≤ 2n − 1, то для него формула Гаусса точна и поэтому

Отсюда следует

∫ b

ψn(f) = ρ(x) [f(x) − Hn(f; x)] dx.

a

Пользуясь доказанным ранее представлением

для остаточного члена при кратной интерполяции и теоремой о среднем для интегралов, легко получаем требуемую формулу для

ψn(f).

8.3Явный вид формул для специальных весов

Лишь при малых значениях числа узлов n мы можем построить явно ортогональные полиномы Pn(x) для произвольного промежутка и допустимого веса, пользуясь, например, процессом ортогонализации Грама-Шмидта. Явные выражения для Pn(x) при любом числе узлов получены лишь в специальных случаях. Мы

113

дадим краткое описание наиболее употребительных ортогональных полиномов и соответствующих им квадратурных формул Гаусса.

1) Полиномы Лежандра

dn(1 − x2)n

Ln(x) = dxn

ортогональны с весом ρ(x) ≡ 1 на отрезке [−1, 1]. Нули Pn еще "вручную", были табулированы до значений n = 512. Соответствующая квадратурная формула

первая среди квадратурных формул наивысшего алгебраического порядка точности, была получена Гауссом.

2) Ортогональными полиномами на отрезке [−1, 1] с весом

ρ(x) = √ 1 , 1 − x2

оказываются уже знакомые нам полиномы Чебышева I рода:

Tn(x) = cos(n arccos x)

Легко вычисляется коэффициенты: pk = π/n для любого k. Соответствующая квадратурная формула наивысшего алгебраического порядка точности − формула Эрмита − имеет вид

114

4) Пусть ρ(x) = (1−x) (1+x) на отрезке [−1, 1]. Фиксированные параметры удовлетворяют неравенствам α > −1, β > −1, вытекающим из условия интегрируемости весовой функции. Соответствующие ортогональные полиномы

называются полиномами Якоби. Можно показать, что коэффициенты pk выражаются в явном виде в терминах Γ-функции Эйлера.

5) Для построения квадратурных формул можно также использовать полиномы Лагерра

Система полиномов Лагерра ортогональна с весом ρ(x) = x e−x на полуоси (0, +∞). Имеется естественное условие для параметра:

α> −1.

6)На числовой прямой (−∞, +∞) положительная функция ρ(x) = e−x2 является весовой, поскольку ∫−∞∞ e−x2dx < ∞. Ортогональные полиномы, соответствующие этому случаю, назы-

ваются полиномами Эрмита и выражаются формулой Hn(x) =

ex2 (e−x2)(n).

115

9Дополнительные вопросы

9.1Приближенное интегрирование периодических функций

Рассмотрим 2π-периодическую, непрерывную функцию f(x). Понятно, что в этом случае для вычисления интеграла

∫ 2

ρ(x) f(x) dx

0

можно использовать приведенные ранее квадратурные формулы. Для периодических функций естественной является также приближенная формула, получаемая заменой функции его тригонометрическим интерполяционным полиномом. А именно, полагаем

∫ 2 ∫ 2

ρ(x) f(x) dx ≈ ρ(x) Tn(f; x) dx,

0 0

где Tn(f; x) − тригонометрический полином степени не выше n, удовлетворяющий условиям

Tn(f; x0) = f(x0), Tn(f; x1) = f(x1), . . . , Tn(f; x2n) = f(x2n)

на сетке с 2n + 1 узлами x0, x1, . . . , x2n [0, 2π], 0 < |xi − xj| <

2π, i ≠ j. Для получения квадратурной формулы необходимо использовать представление в форме Лагранжа

116

Поскольку Tn(F ; x) ≡ F (x) для любой функции вида

F (x) = a20 + ∑n ak cos kx + bk sin kx,

k=1

то построенная квадратурная формула (12) будет точна для любого тригонометрического полинома F степени ≤ n.

9.2Интегрирование быстро осциллирующих функций

Пусть f C[a, b] и ω >> b − a, т. е. число ω намного больше длины отрезка [a, b]. Тогда функции cos ωx и sin ωx, x [a, b], многократно меняют знак. Такие функции называют быстро ос-

Интегралы такого типа часто встречаются в прикладных задачах, для решения которых используются преобразования Фурье или ряды Фурье. Например, для разложения заданной функции в ряд Фурье необходимо для любого числа k N вычислять интегралы

Очевидно, достаточно рассмотреть интегралы с косинусами, так как интегралы с синусами сводятся к ним заменой переменных.

Применение стандартных квадратурных формул может привести к ошибочным результатам. Например, пусть узлы x1, x2, ..., xn выбраны так, что они совпадают с корнями уравнения cos kx = 0, т. е. cos kxj = 0. Применяя к функции g(x) = f(x) cos kx квадратурную формулу вида

∫ 2 ∑n

g(x) dx ≈ Ajg(xj),

0 j=1

при любом выборе параметров Aj приходим к неудовлетворительному результату: коэффициенты Фурье

117

для любой функции f.

На практике для вычисления интегралов от быстро осциллирующих функций пользуются формулами Филона (Луи Наполеон Жорж Филон − английский математик французского происхождения, специалист по прикладной математике). Формулы Филона для приближенного вычисления интегралов ∫ab f(x) cos ωx dx можно найти в любом справочнике. Объясним здесь лишь исходную идею Филона.

Пусть f − непрерывная, плавно меняющаяся функция, а функция φ(x) является быстро осциллирующей на отрезке [a, b]. Построим интерполяционный полином Лагранжа Ln(f; x) по узлам x1, x2, ..., xn [a, b]. Полагаем

∫ b ∫ b

f(x)φ(x) dx ≈ Ln(f; x)φ(x) dx =

a a

где lj(x) − фундаментальные полиномы Лагранжа.

В том случае, когда φ(x) = cos ωx, интегралы вида ∫ab xmφ(x) dx можно вычислить точно интегрированием по ча-

стям. Следовательно, в этом случае явно определяются и интегралы вида ∫ab lj(x)φ(x) dx.

9.3Несобственные интегралы

Если подинтегральная функция f не ограничена на отрезке [a, b], т. е. интеграл является несобственным, то непосредственное применение квадратурных формул может привести к сколь угодно большим ошибкам. Для приближенного вычисления несобственных интегралов нужны предварительные преобразования интеграла. Укажем два распространенных приема:

1) сведение несобственного интеграла к собственному путем замены переменной или интегрированием по частям с последующим применением одной из квадратурных формул;

118

2)аддитивное или мультипликативное выделение особенности

споследующим комбинированием аналитических и численных методов.

Проиллюстрируем эти рекомендации на примере интеграла

можно вычислять приближенно по известным квадратурным формулам.

При интегрировании по частям с функциями u = ln x и

мы также получаем интеграл от непрерывной функции.

Аддитивное выделение особенностей: простые преобразо-

вания

(ln x)(1 + x2 − x2) 1 + x2

позволяют представить наш интеграл в виде суммы

где первый интеграл легко вычисляется аналитически и равен единице, а ко второму интегралу можно применить одну из квадратурных формул.

119

Мультипликативное выделение особенностей: запишем подинтегральную функцию в виде произведения

К полученному интегралу можно применить квадратурную формулу вида

можно рекомендовать два следующих предварительных действия: 1) заменой переменных получить несобственные интегралы по

с достаточно большим A, сопровождая вычисления с оценкой интеграла по лучу [A, +∞).

120