practice_AIG_I

Следовательно (см. упражнение 14, с. 135), данная система функций линейно независима.

Используем теперь упражнение 15, с. 135. Найдем такое вещественное число a, что вронскиан функций f 1(t) = 1, f2(t) = t è f3(t) = sin t в этой точке отличен от нуля:

Ясно, что можно выбрать такое значение a такое, что sin a =6 0. Следовательно, данная система функций линейно независима.

17.Указание. Использовать упражнение 14, или упражнение 15,

ñ.135.

18.a) Линейно зависимая система; b) линейно независимая систе-

ìà.

19.a) a4 = 5a1 + 3a2 ¡ 2a3; b) a4 = 3a1 + 2a2 + a3.

20.a) Линейно независимая система; b) линейно зависимая систе-

ìà.

21.a) Линейно зависимая система; b) линейно независимая систе-

ìà.

то, очевидно, координатами многочлена Pn в естественном базисе служат его коэффициенты a0, a1, : : :, an. Аналогично, в пространстве вещественных полиномов Pn естественный базис образует система векторов f1; t; : : : ; tng, где t вещественная переменная.

Если пространство не является конечномерным, его называют

бесконечномерным.

Пример. Пространство всех полиномов бесконечномерно. Действительно, в нем линейно независима система векторов f1; z; : : : ; zkg при любом, сколь угодно большом, целом k.

Пример. Пространство C[a; b] бесконечномерно, так как содержит полиномы с вещественными коэффициентами любого порядка.

В любом конечномерном пространстве Xn существует сколько угодно базисов. Любые n линейно независимых векторов образуют базис. Если En базис, то система векторов

Fn = EnT;

где T произвольная невырожденная матрица, также является базисом. Матрицу T называют матрицей перехода от базиса En к базису Fn. Если известны координаты » некоторого вектора x 2 Xn в базисе En, и задана матрица перехода T к базису Fn, то координаты ´ этого же вектора x в базисе Fn вычисляются по формуле

образуют базис в пространстве Rn.

3. Пусть S множество всех бесконечных последовательностей вещественных чисел вида

x = (x1; x2; : : : ; xn; : : : ):

Линейные операции на множестве S вводятся следующим образом. По определению для любого ® 2 R и любого x 2 S положим

®x = (®x1; ®x2; : : : ; ®xn; : : : ):

Для любых x; y 2 S по определению

x + y = (x1 + y1; x2 + y2; : : : ; xn + yn; : : : ):

Доказать, что S бесконечномерное линейное пространство.

4.Доказать, что в пространстве Qn многочленов степени не выше n базисом является всякая система ненулевых многочленов, содержащая по одному многочлену каждой степени k = 0, 1, : : : , n:

5.Показать, что векторы

âэтом базисе.

6.Известно, что векторы a1, a2, a3 некомпланарны. Выяснить компланарны ли векторы b1, b2, b3:

a) b1 = 2a1 ¡ a2 ¡ a3, b2 = ¡a1 + 2a2 ¡ a3, b3 = ¡a1 ¡ a2 + 2a3; b) b1 = a1 + a2 + a3, b2 = a2 + a3, b3 = ¡a1 + a3;

c) b1 = a3, b2 = a1 ¡ a2 ¡ a3, b3 = a1 ¡ a2 + a3.

7.Доказать, что система векторов

F3 = f1; (t ¡ 1); (t ¡ 1)2g

является базисом в пространстве P2, и найти координаты многочлена

p(t) = 1 + t + t2

в этом базисе.

8.Как связаны между собой базисы ffigni=1 è feigni=1 пространства Xn, если матрица T перехода от базиса En к базису Fn:

a) единичная,

b) диагональная,

c) верхняя треугольная, d) нижняя треугольная.

9.Выяснить, какие из следующих систем векторов являются

образуют базис в пространстве Rn.

11.Чему равна размерность линейного пространства R?

12.Пусть F множество всех бесконечных действительных последовательностей вида

x = (a; b; a; b; : : : ; a; b; : : : ):

Линейные операции на множестве F вводятся так же, как на линейном пространстве S (см. упражнение 3). Доказать, что F двумерное линейное пространство.

13. При каких ®, ¯, ° 2 R векторы

a = (1; ®; ®2); b = (1; ¯; ¯2); c = (1; °; °2)

образуют базис пространства V3?

этом базисе.

15.Матрица S является матрицей перехода от базиса En к базису Fn. Матрица Q является матрицей перехода от базиса Gn к базису Fn. Найти матрицу T перехода:

a) от базиса Fn к базису En, b) от базиса En к базису Gn.

16.Найти матрицу перехода от стандартного базиса в пространстве P2 к базису, составленному из полиномов Лежандра

Ответы, указания и решения

1. Решение. В пространстве R4 любые четыре линейно независимых вектора образуют базис. Составим матрицу

столбцами которой являются векторы a1, a2, a3, a4. Матрица невырождена тогда и только тогда, когда ее столбцы (строки) линейно независимы. Вычислим определитель матрицы A, он равен двум. Следовательно, система векторов fakg4k=1 является базисом в пространстве R4.

2.Указание. Вычислить определитель матрицы, столбцами которой являются векторы a1, a2, : : :, an.

3.Решение. Убедимся, прежде всего, что S вещественное линейное пространство. Ясно, что линейные операции не выводят за пределы этого множества. Справедливость восьми аксиом также не

вызывает сомнений. Отметим лишь, что нулевой элемент пространства S имеет вид

0 = (0; 0; : : : ; 0; : : : ):

Противоположный к x элемент записывается так:

x0 = ¡x = (¡x1; ¡x2; : : : ; ¡xk; : : : ):

Покажем, что векторы

s1 = (1; 0; : : : ; 0; 0; : : : );

s2 = (0; 1; : : : ; 0; 0; : : : );

: : :

sk = (0; 0; : : : ; 1; 0; : : : )

линейно независимы. Пусть

x1s1 + x2s2 + ¢¢¢ + xksk = 0 2 S; xi 2 R; i = 1; 2; : : : ; k:

Тогда

(x1; x2; : : : ; xk; 0; : : :) = (0; 0; : : : ; 0; 0; : : :);

ò. å. xi = 0, i = 1, 2, : : :, k. Таким образом, для любого, сколь угодно большого, целого k можно указать k линейно независимых векторов пространства S, следовательно, S бесконечномерное пространство.

4. Решение. Пространство Qn имеет размерность n + 1. Следовательно, любая система из n + 1 линейно независимых векторов является базисом в этом пространстве. В пространстве Qn рассмотрим систему ненулевых многочленов, содержащую по одному многочлену каждой степени k = 0, 1, : : : , n:

An+1 = fa0;0; a1;0 + a1;1z; : : : ; an;0 + an;1z + ¢¢¢ + an;nzng;

ãäå ak;k 6= 0, k = 0, 1, : : :, n. Эта система линейно независима согласно упражнению 10, с. 134.

5. x = 1a1 + 1a2 + 1a3, y = 0a1 + 2a2 + 0a3, z = 0a1 + 1a2 + 1a3. Указание. В пространстве V3 любые три некомпланарных вектора образуют базис, а критерием компланарности трех векторов является равенство нулю определителя матрицы, составленной из столбцов их декартовых координат. Координаты x1, x2, x3 вектора x 2 V3 в базисе a1, a2, a3 находятся как решение системы линейных алгебраических уравнений a1x1 + a2x2 + a3x3 = x.

6. a) Компланарны, b) некомпланарны, c) компланарны. Указание. Воспользоваться упражнением 7, с. 134. Записать выражения

векторов B3 = fbig3i=1 через векторы A3 = faig3i=1 в матричном виде: B3 = A3X. Выяснить, вырождена ли матрица X.

7. Решение получим двумя способами. Первый способ основан на использовании формулы Тейлора 1) для многочлена p(t) степени n с вещественными коэффициентами:

ãäå t0 произвольное вещественное число. В рассматриваемом слу-

÷àå n = 2, p(t) = 1 + t + t2, à t0 = 1. Вычислим значение полинома и его первых двух производных в точке 1: p(1) = p0(1) = 3, à p00(1) = 2.

Следовательно, p(t) = 3 + 3(t ¡ 1) + 1(t ¡ 1)2: Второй способ. Пусть

E3 = fe1; e2; e3g = f1; t; t2g;

F3 = ff1; f2; f3g = f1; t ¡ 1; (t ¡ 1)2g:

Тогда эти векторы связаны равенствами

Записывая эти равенства в матричном виде, получим F3 = E3T; ãäå

01

Матрица T невырождена, следовательно, система векторов F3 есть базис в пространстве Pn, а координаты ´ полинома p(t) в базисе F3 вычисляются по формуле ´ = T ¡1», где » = (1; 1; 1) координаты полинома p(t) в естественном базисе E3. Найдем матрицу T ¡1.

Матрица T треугольная, поэтому вычислять присоединенную матрицу не будем. Опишем метод, которым удобно пользоваться при вычислении обратных матриц к матрицам ¾простой структуры¿. По определению TT ¡1 = I. Обозначим X = T ¡1 и найдем X из матрич- ного уравнения TX = I. Ясно, что каждый столбец xk матрицы X

1)См. курс математического анализа.

образуют базис пространства F. В самом деле, эти векторы линейно независимы, так как равенство x1e1 + x2e2 = 0 2 F, ãäå x1, x2 2 R, означает, что

(x1; x2; x1; x2; x1; x2; : : :) = (0; 0; 0; 0; 0; 0; : : :);

ò.å. x1 = x2 = 0. С другой стороны, любой вектор x = (a; b; a; b; a; b; : : : ) 2 F

является линейной комбинацией векторов e1, e2: x = ae1 + be2.

13.При попарно различных ®, ¯, °.

14.A = ¡1E1 + 2E2 ¡ 1E3 + 1E4. Указание. Запишите каждую матрицу Ei, как элемент пространства R4, составьте из получившихся столбцов матрицу четвертого порядка B и проверьте, что она невы-

рождена. Координаты матрицы A в базисе fEig4i=1 найдите как решение системы линейных уравнений c матрицей B и вектором правой части, полученным из матрицы A.

15.Решение. a) Пусть Fn = EnS. Тогда En = FnS¡1.