Lecture3
.pdf
свободных от зарядов участках поля |
линии электрического поля |
|
ни начинаться, ни |
|
и |
на зарядах, либо одним |
в бесконечность или |
|
из бесконечности. |
|
|
линии не могут |
замкнутыми. |
|
Если силовая линия электрического поля замкнута, то:
dl >0
линии электрического поля нормальны 
эквипотенциальным поверхностям
Теорема Ирншоу (S. Earnshaw, 1839)
+q |
q |
+q |
|
4 |
|||
|
|
||
L |
|
L |
Устойчиво ли равновесие такой системы зарядов?
Всякая равновесная конфигурация покоящихся точечных электрических зарядов, между которыми действуют только кулоновские силы, является неустойчивой.
qi
S
A! 
E
q
A
Если положение равновесия устойчиво, то:
"! E dS < 0
S
Данный вывод противоречит теореме Гаусса!!
Следствие теоремы Ирншоу.! Модель атома Томпсона.!
+
-
Потенциал электростатического поля
Р а з н о с т ь п о т е н ц и а л о в м е ж д у д в у м я т о ч к а м и электростатического поля равна взятой с обратным знаком работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда из первой точки во вторую.
|
|
! ! |
2 |
! ! |
|
|
d = #A= #Edl 2 # 1 = # % |
Edl |
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
! ! |
|
! |
! ! |
!P = !! # |
E dl |
!! = 0 !P = # |
E dl |
||
! |
|
|
P |
|
|
Единицы измерения потенциала электрического поля
[ ] = |
|
1J |
= 1V |
[ ] = |
|
1erg |
= 1CGS |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1C |
|
|
|
1CGSq |
|
||||
1V = |
|
|
107 erg |
|
= |
1 |
|
|
CGS |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3#109 CGSq |
300 |
|
|
||||||
Единицы измерения напряженности электрического поля
[E] = |
|
= |
1V |
= 1 |
V |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
l |
1m |
|
m |
|
|
|||
[E] = 1CGSE |
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
V |
= |
|
1/ 300CGS |
= |
1 |
CGS |
|||||
|
|
|
||||||||||
|
m |
|
|
102 cm |
3#104 |
E |
||||||
|
|
|
|
|||||||||
Потенциал поля точечного заряда
|
A |
|
(r ) = |
1 |
|
& |
|
qr!dl3 |
= 1 |
& qrdr3 = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4# |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
4# |
|
r |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
r |
|
|
|
|
|
0 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
0 |
r |
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
% qdr |
|
|
1 |
|
|
q |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
= |
|
|
&r |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Принцип |
4#0 |
r 2 |
|
|
4#0 r |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
суперпозиции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
! |
! |
! ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
E |
= Ei |
# = Eidl = #i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
i
Потенциал поля системы точечных зарядов
|
qi |
|
|
|
|
|
|
|
! |
1 |
q |
i ! |
|
ri |
r r |
(r ) = & |
! |
|
||
i |
4#0 r |
% ri |
||||
|
i |
|||||
|
|
|
|
|
||
O |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Потенциал поля непрерывно распределенных зарядов
Заряды распределены по объему:
V 
|
|
|
|
! |
1 |
|
|
(r )dV |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
! (r |
0 ) = |
|
|
|
|
|
! |
! |
|
|
|
|
|
|
4# |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
! |
! |
! |
|
|
0 V |
|
|
r |
! r |
|
|
|||
|
r0 |
|
r |
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r
O
A
0
Заряды распределены по поверхности:
! |
|
1 |
|
(r )dS |
|||||
! (r |
0 ) = |
|
|
|
|
! |
! |
|
|
4#0 |
|
|
|||||||
|
|
||||||||
|
|
V |
|
|
r0 |
! r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Связь между потенциалом и напряженностью электрического поля
d! = !Edl = !Ex dx ! Eydy ! Ez dz d!(x, y, z) = ! dx + ! dy + ! dz
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
z |
|||||
E |
x |
= ! |
! |
E |
y |
= ! |
! |
|
E |
z |
= ! |
! |
|
|
x |
y |
z |
||||||||||||
! |
|
! |
|
|
|
|||||||||
|
! |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|||||
E |
= Exi + Ey j + Ezk = !grad! = ! ! |
|||||||||||||
Потенциальность поля накладывает на поле столь сильное ограничение, что для его характеристики достаточно одной скалярной функции φ(x,y,z). Зная эту функцию можно всегда найти напряженность поля! Потенциал является непрерывной и конечной функцией, с конечными производными по 
координатам.
Уравнения Лапласа и Пуассона
|
|
! |
|
|
! |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|||||||
divE = |
|
|
E = !grad! |
! div(grad! ) |
= |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||
! ! |
|
|
|
|
|
|
|
! #! & |
! #! & |
|
|
! #! & |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
( |
! |
) |
= |
|
|
|
|
% |
|
|
( + |
|
% |
|
( |
+ |
|
|
% |
|
( |
= |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
! x |
! x |
! y |
! y |
!z !z |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
! ! |
! |
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
! |
|
+ |
! |
+ |
|
! |
) ( ) = 2 = |
|||||||||||||||||||||||
! x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
! y2 |
|
!z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
! = ! |
|
|
|
Уравнение Пуассона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
#0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
! = 0 |
|
|
|
|
Уравнение Лапласа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Уравнения Лапласа и Пуассона имеют единственное решение!