ангем)2 часть.игудесман

Если прямая имеет с поверхностью более двух общих точек, то она целиком лежит на поверхности и называется прямолинейной образу-

ãäå ® è ¯ произвольные параметры, взятые с точностью до общего множителя.

31

Поверхность второго порядка пересекается всякой плоскостью по кривой второго порядка (действительной или мнимой). Сечения поверхности ее плоскостями симметрии называются главными сечениями; вершины и оси главных сечений называются вершинами и осями поверхности. Плоскость, проходящая через центр, называется диаметральной плоскостью.

Касательная плоскость поверхности в данной точке есть геометрическое место прямых, касающихся поверхности в этой точке. Урав-

нение касательной плоскости в точке (x0; y0; z0) определяется следующим образом:

Уравнение поверхности Уравнение касательной плоскости

Прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку прикосновения, называется нормалью к поверхности в данной точке.

ЗАДАЧИ

131. В плоскости (yz) дана неподвижная парабола y2 = 2qz, è ïî

ней скользит вершина другой неизменной параболы, параметр которой равен p и которая перемещается так, что плоскость ее остается все

время перпендикулярной к оси y, а ось ее параллельна оси z. Найти поверхность, описанную подвижной параболой.

32

132.Через точку (5; 1; 2) провести прямую так, чтобы она пересе- кала поверхность x92 + y42 ¡ z2 = 1 лишь в одной точке.

133.Найти прямые, проходящие через точку (6; 2; 8) и лежащие

целиком на поверхности x92 + y42 ¡ 16z2 = 1.

134. Доказать, что однополостный гиперболоид вращения может быть описан прямой, вращающейся около оси, не лежащей с ней в

одной плоскости.

135. К однополостному гиперболоиду x362 + y92 ¡ z42

касательные плоскости через точки пересечения гиперболоида и прямой:

касательных плоскостей: 10x ¡ 2y ¡ z ¡ 21 = 0. Найти уравнения

каждой из тех двух прямых, по которым они пересекаются.

137. Определить вид поверхности, пользуясь приведением левой части ее уравнения к сумме квадратов методом Лагранжа:

1)4x2 + 6y2 + 4z2 + 4xz ¡ 8y ¡ 4z + 3 = 0 ;

2)xy + xz + yz + 2x + 2y ¡ 2z = 0 :

138. Найти геометрическое место касательных к поверхности x82 + y62 + z42 = 1, проведенных из точки (5; 1; 0).

139.На параболоиде x162 ¡ y42 = z найти прямолинейные образующие, параллельные плоскости 3x + 2y ¡ 4z = 0.

140.Доказать, что прямолинейные образующие однополостного гиперболоида xa22 + yb22 ¡ zc22 = 1 проектируются на координатные плос-

кости в касательные к соответствующим главным сечениям.

141. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты плоскости Ax + By + Cz + D = 0 для того, чтобы она касалась: 1) цен-

тральной поверхности xa22 + yb22 § zc22 = §1; 2) параболоида x2p2 § 2yq2 = z.

33

142. Прямая x = 1 + 2t; y = ¡3 + 3t; z = t вращается вокруг оси Oz. Составить уравнение поверхности вращения.

143. Определить вид поверхности, пользуясь приведением левой части ее уравнения к сумме квадратов методом Лагранжа:

1)x2 + 5y2 + z2 + 2xy + 6xz + 2yz ¡ 2x + 6y ¡ 10z = 0 ;

2)x2 + y2 ¡ 3z2 ¡ 2xy ¡ 6xz ¡ 6yz + 2x + 2y + 4z = 0 ;

3)x2 ¡ 2y2 + z2 + 4xy ¡ 10xz + 4yz + x + y ¡ z = 0 ;

4)x2 + y2 + 4z2 + 2xy + 4xz + 4yz ¡ 6z + 1 = 0 :

9Кривые и поверхности второго порядка, заданные общими уравнениями

Общее уравнение линии второго порядка имеет вид:

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0 :

Если кривая обладает центром симметрии, то его координаты опре-

деляются из уравнений:

(

a11x + a12y + a13 = 0

a12x + a22y + a23 = 0 :

Диаметр линии второго порядка, сопряженный хордам, параллельным вектору fl; mg, определяется уравнением:

l(a11x + a12y + a13) + m(a12x + a22y + a23) = 0 :

В случае центральной кривой все диаметры проходят через центр. Направляющие векторы fl1; m1g è fl2; m2g двух сопряженных от-

носительно линии второго порядка направлений удовлетворяют условию

a11l1l2 + a12(l1m2 + l2m1) + a22m1m2 = 0 :

34

Направление, определяемое вектором fl; mg, называется асимптотическим, если оно сопряжено самому себе, то есть

a11l2 + 2a12lm + a22m2 = 0 :

Асимптоты гиперболы проходят через ее центр; их направляющие вектора имеют асимптотические направления. Кроме того, асимптоты можно определить как диаметры, сопряженные асимптотическим направлениям. Уравнения асимптот можно записать в виде:

l(a11x + a12y + a13) + m(a12x + a22y + a23) = 0 ;

где вектор fl; mg имеет асимптотическое направление.

Касательная к кривой второго порядка в ее точке M0(x0; y0) определяется уравнением

(a11x0 + a12y0 + a13)x + (a12x0 + a22y0 + a23)y + a13x0 + a23y0 + a33 = 0 :

Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид:

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz +

+ 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0 :

Если поверхность обладает центром симметрии, то его координаты

определяются из уравнений:

8

>> a11x + a12y + a13z + a14 = 0

<

> a12x + a22y + a23z + a24 = 0

>

: a13x + a23y + a33z + a34 = 0 :

Если мы рассмотрим все хорды поверхности параллельные вектору fl; m; ng, то геометрическое место середин этих хорд есть плоскость

диаметральная плоскость, сопряженная данным хордам. Уравнение этой плоскости

l(a11x + a12y + a13z + a14) + m(a12x + a22y + a23z + a24) +

35

+n(a13x+a23y+a33z+a34) = 0 :

В случае центральной поверхности все диаметральные плоскости проходят через центр.

Сопряженными диаметрами называются такие два диаметра, из которых каждый лежит в диаметральной плоскости, сопряженной дру-

гому. Координаты векторов fl1; m1; n1g è fl2; m2; n2g, имеющих вза-

имно сопряженные относительно поверхности направления, связаны соотношением

a11l1l2 + a22m1m2 + a33n1n2 +

+a12(l1m2+l2m1)+a13(l1n2+l2n1)+a23(m1n2+m2n1) = 0 :

Направление, определяемое вектором fl; m; ng, называется асимптотическим, если оно сопряжено самому себе, то есть

a11l2 + a22m2 + a33n2 + 2a12lm + 2a13ln + 2a23mn = 0 :

Если провести прямые асимптотического направления через центр поверхности, то их уравнения окажутся несовместными с уравнениями поверхности, то есть эти прямые не будут иметь ни одной общей точки с поверхностью. Такие прямые называются асимптотами поверхности. Совокупность всех асимптот поверхности составляет асимптотический конус.

Касательная плоскость к поверхности второго порядка в ее точке M0(x0; y0; z0) определяется уравнением

(a11x0 + a12y0 + a13z0 + a14)x + (a12x0 + a22y0 + a23z0 + a24)y +

+ (a13x0 + a23y0 + a33z0 + a34)z + a14x0 + a24y0 + a34z0 + a44 = 0 :

Главными направлениями относительно данной поверхности называются направления хорд, перпендикулярных к сопряженным им диаметральным плоскостям; эти последние называются тогда главными

36

диаметральными плоскостями. Главными осями поверхности называются диаметры, имеющие главные направления.

ЗАДАЧИ 144. Определить центр линии второго порядка

5x2 + 8xy + 5y2 ¡ 18x ¡ 18y + 11 = 0 :

145. Найти центр поверхности

x2 + y2 + z2 + 2xy ¡ 2yz + 6xz + 2x ¡ 6y ¡ 2z = 0 :

Какой вид примет уравнение поверхности после переноса начала координат в центр?

146. Дана линия второго порядка 4xy ¡ 5y2 + 2x + 6y + 1 = 0 :

Написать уравнение диаметра этой линии, проходящего через точку

(¡4; 2).

147.Найти асимптоты гиперболы x2 ¡ 3xy ¡ 10y2 + 6x ¡ 8y = 0 :

148.В точках пересечения кривой x2 ¡ 2y2 ¡ 5x + 4y + 6 = 0 ñ

осью абсцисс провести касательные к этой кривой.

149. К кривой x2 +xy +y2 +2x+3y ¡3 = 0 провести касательные, параллельные прямой 3x + 3y ¡ 5 = 0.

150. Найти уравнение диаметра поверхности

x2 + 2y2 ¡ z2 ¡ 2xy ¡ 2yz + 2xz ¡ 4x ¡ 1 = 0 ;

сопряженного плоскости x + y + z + 1 = 0.

151. Определить центр линии второго порядка 4x2 + 4xy + y2 ¡

10x ¡ 5y + 6 = 0 :

152. Найти центр поверхности

4xy + 4xz ¡ 4x ¡ 4z ¡ 1 = 0 :

37

Какой вид примет уравнение поверхности после переноса начала координат в центр?

153. Найти диаметральную плоскость поверхности

x2 + 2y2 ¡ z2 ¡ 2xy ¡ 2yz ¡ 2xz ¡ 4x ¡ 1 = 0 ;

параллельную плоскости x + y + z = 0.

154.Найти асимптоты гиперболы 3x2+2xy¡y2+8x+10y¡14 = 0 :

155.Дана линия второго порядка 4x2 +4xy + y2 ¡6x+4y +2 = 0 :

Написать уравнения касательных к этой линии, параллельных оси Oy. 156. Составить уравнение диаметра поверхности

4x2 + 6y2 + 4z2 + 4xz + 8y ¡ 4z = 3 = 0 ;

параллельного оси Oy.

157. Найти диаметральную плоскость поверхности

2x2 + 5y2 + 8z2 + 2xy + 6xz + 12yz + 8x + 14y + 18z = 0 ;

сопряженную хордам, параллельным вектору f3; 2; ¡5g.

10Евклидова классификация кривых и поверхностей второго порядка

Пусть задано общее уравнение линии второго порядка

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0 :

являются инвариантами по отношению к преобразованию одной прямоугольной системы координат в другую прямоугольную.

38

Следующее выражение, называемое семиинвариантом, является инвариантом поворота прямоугольной системы координат:

тельны.

Линии второго порядка можно разбить на три группы.

1.К первой группе отнесем линии, имеющие единственный центр симметрии: эллипс, мнимый эллипс, гипербола, две пересекающиеся прямые, две мнимые пересекающиеся прямые.

Необходимое и достаточное условие того, что линия второго порядка имеет единственный центр симметрии: I2 6= 0.

При помощи преобразования прямоугольной системы координат уравнение линии первой группы может быть приведено к виду:

¸1X2 + ¸2Y 2 + K3 = 0 : I2

2. Ко второй группе отнесем линии, не имеющие центра симметрии, то есть одну параболу.

Необходимое и достаточное условие того, что линия второго порядка является параболой: I2 = 0; K3 6= 0.

При помощи преобразования прямоугольной системы координат

уравнение линии второй группы может быть приведено к виду:

I1X2 § 2r¡K3 Y = 0 : I1

39

3.К третьей группе отнесем линии, имеющие прямую центров симметрии: две параллельные прямые, две мнимые параллельные прямые, две совпадающие прямые.

Необходимое и достаточное условие того, что линия второго порядка имеет прямую центров симметрии: I2 = 0; K3 = 0.

При помощи преобразования прямоугольной системы координат уравнение линии третьей группы может быть приведено к виду:

I1X2 + K2 = 0 :

I1

Пусть задано общее уравнение поверхности второго порядка

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz +

+ 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0 :

моугольной системы координат в другую прямоугольную. Следующие два выражения, называемые семиинвариантами, яв-

40