AG-04_Прямые и плоскости2009-2010
.pdf
11
Задача 9. Записать уравнение прямой
(
(r, n1) = D1,
(r, n2) = D2
в виде r = r0 + ta, где a = [n1, n2].
Ответ. r = [a, D2n1 − D1n2] + ta.
(a, a)
Задача 10. Найти необходимое и достаточное условие, при котором прямые r = r1 + ta1
иr = r2 + ta2:
(1)пересекаются (т.е. имеют одну общую точку);
(2)скрещиваются;
(3)параллельны, но не совпадают;
(4)совпадают.
Ответ. (1) |
[a1, a2] 6= 0, (r2 − r1, a1, a2) = 0; (2) [a1, a2] 6= 0, (r2 − r1, a1, a2) 6= 0; (3) |
||||||
[a1, a2] = 0, [r2 − r1, a1] 6= 0; (4) [a1, a2] = 0, [r2 − r1, a1] = 0. |
|||||||
Задача 11. Найти расстояние от точки M1(r1) до прямой [r, a] = b. |
|||||||
Ответ. [ |
|
1 |
a − |
|
. |
||
|
|
r |
, a] |
b |
|
|
|
|
|
|
k k |
|
|
||
Задача 12. Найти расстояние между параллельными прямыми r = r1 + ta и r = r2 + ta.
|
|
r |
2 |
, |
a |
] |
|
|
Ответ. |
[r1 −a |
|
|
. |
||||
k |
|
|
||||||
|
|
k |
|
|
|
|
||
Найти расстояние между параллельными прямыми [r, a] = b1 и [r, a] = b2.
kb1 − b2k. kak
Задача 14. Даны прямая r = r0 + ta и плоскость (r, n) = D. Найти необходимое и достаточное условие того, что:
(1)прямая и плоскость пересекаются (имеют единственную общую точку);
(2)прямая и плоскость параллельны (не имеют общих точек);
(3)прямая лежит в плоскости.
Ответ. (1) (a, n) =6 0; (2) (a, n) = 0, (r0, n) =6 D; (3) (a, n) = 0, (r0, n) = D.
Задача 15. Найти радиус-вектор точки пересечения прямой r = r0 + ta с плоскостью
(r, n) = D.
Ответ. r0 + D − (r0, n) a.
(a, n)
Задача 16. Найти радиус-вектор точки пересечения прямой [r, a] = b с плоскостью
(r, n) = D.
[a, b] D(a, a) − (a, b, n)
Ответ. (a, a) + (a, a)(a, n) a.
Задача 17. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M1(r1) перпендикулярно плоскости (r, n) = D.
12
Ответ. r = r1 + tn.
Задача 18. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1(r1) перпендикулярно прямой r = r0 + ta.
Ответ. (r − r1, a) = 0.
Задача 19. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую r = r0 + ta и точку M1(r1), не лежащую на этой прямой.
Ответ. (r − r0, r1 − r0, a) = 0.
Задача 20. Составить уравнение проекции прямой r = r0 + ta на плоскость (r, n) = D при условии, что прямая не перпендикулярна плоскости.
(
(r, n) = D,
Ответ.
(r − r0, a, n) = 0.
Задача 21. Составить уравнение прямой, пересекающей прямую r = r0 + ta под прямым углом и проходящей через точку M1(r1), не лежащую на данной прямой (перпендикуляра, опущенного из точки M1 на прямую).
(
(r − r1, a) = 0,
Ответ.
(r − r1, r0 − r1, a) = 0.
Задача 22. Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми r = r1 + ta1 и r = r2 + ta2.
Ответ. |(r1 − r2, a1, a2)|. k[a1, a2]k
Задача 23. Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми [r, a1] = b1 и
[r, a2] = b2.
Ответ. |(a1, b2) + (a2, b1)|. k[a1, a2]k