AG-03_ Скал Вект смеш произв2009-2010
.pdf
11
|
γ |
|
e3 |
|
|
n1 |
n2 |
α |
β |
e2 |
e1 |
|
|
Решение.
Направим единичные векторы e1, e2, e3 вдоль ребер двугранного угла. Векторы n1 и n2,
перпендикулярные граням, могут быть выражены как |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n1 = [e2, e3], |
|
n2 = [e3, e1]. |
|
|
|
|
|||||||
Очевидно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|n1| = sin α, |
|
|n2| = sin β. |
|
|
|
|
|||||||
Угол между рассматриваемыми гранями равен углу между векторами n1 и n2. |
|||||||||||||||
(n1, n2) = ([e2 |
, e3], [e3 |
, e1]) = (e3, e3) |
(e3 |
, e1) |
= |
1 |
cos β |
|
= cos α cos β − cos γ. |
||||||
|
|
|
(e2, e3) |
(e2 |
, e1) |
|
|
cos α |
cos γ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поэтому косинус искомого угла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
cos ϕ = |
|
(n1, n2) |
|
= |
cos α cos β − cos γ |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|n1| · |n2| |
|
|
|
sin α sin β |
|
|
|
|
||||
6. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 1. Длины соседних сторон параллелограмма относятся как m : n, угол между этими сторонами равен α. Найдите острый угол между диагоналями параллелограмма.
Ответ. Острый угол arccos |
|
|
|
|
|m2 − n2| |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
√m4 + n4 − 2m2n2 cos 2α |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Задача 2. Докажите следующие тождества: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(а) |
k[a, b]k2 |
= |
|
(a, a) |
(a, b) |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(a, b) |
(b, b) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(б) |
(a, b, c) |
2 |
+ |
|
|
[[a, b], c] |
|
2 |
|
|
|
[a, b] |
2 |
c |
|
2 |
; |
||||
|
|
|
k |
|
= |
|
k · k |
k |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|||||
(в)d(a, b, c) = a(b, c, d) + b(c, a, d) + c(a, b, d);
(г)([a, b], [b, c], [c, a]) = (a, b, c)2.
Задача 3. (а) Докажите, что если векторы [a, b], [b, c], [c, a] компланарны, то векторы a, b и c компланарны. (б) Докажите, что если векторы [a, b], [b, c], [c, a] компланарны, то они коллинеарны.
Задача 4. Известно, что a = [b, c], b = [c, a], c = [a, b]. Найти длины векторов a, b, c и углы между ними.
12
Ответ. Либо все три вектора нулевые, либо образуют правый ортонормированный базис.
Задача 5. Три некомпланарных вектора a, b, c отложены из одной точки. Найти объём
(а) треугольной призмы, основание которой построено на векторах a и b, а боковое ребро совпадает с вектором c; (б) тетраэдра, построенного на векторах a, b, c.
Ответ. (а) 12 (a, b, c); (б) 16 (a, b, c).
Задача 6. Даны ненулевой вектор a и число p. Найдите все решения уравнения (x, a) = p и объясните их геометрический смысл в плоском и пространственном случаях.
p
Ответ. x = (a, a) a + y, где y — произвольный вектор, ортогональный вектору a. При условии, что все векторы отложены из одной точки O, в плоском случае концы векторов x лежат на прямой, перпендикулярной вектору a; в пространственном случае концы векторов x лежат в плоскости, перпендикулярной вектору a.
Задача 7. Даны ненулевые векторы a и b. Выясните, при каком условии уравнение [x, a] = b имеет решения, найдите все решения этого уравнения и объясните их геометрический смысл.
[a, b]
Ответ. Уравнение разрешимо при условии (a, b) = 0. Частное решение x0 = kak2 , Общее решение x = x0 + ta, где t — произвольное число. Множество концов векторов x является прямой с направляющим вектором a (все векторы отложены из некоторой точки O); конец вектора x0 является проекцией точки O на эту прямую.
Задача 8. Даны неколлинеарные векторы a, b и число p. Найдите все решения уравнения (x, a, b) = p и объясните их геометрический смысл.
p
Ответ. Частное решение x0 = k[a, b]k2 [a, b]; общее решение x = x0 + ta + sb, где t, s — произвольные числа. Множество концов векторов x является плоскостью, параллельной векторам a, b (все векторы отложены из некоторой точки O); вектор x0 является проекцией точки O на эту плоскость.
Задача 9. Две тройки векторов a1, a2, a3 и b1, b2, b3 называются взаимными, если (ai, bj ) = 0 при i 6= j и (ai, bi) = 1. Докажите, что для существования тройки b1, b2, b3, взаимной к a1, a2, a3, необходимо и достаточно, чтобы векторы a1, a2, a3 были некомпланарны. Выразите векторы b1, b2, b3 через векторы a1, a2, a3. Докажите, что если векторы a1, a2, a3 образуют базис, то векторы взаимной тройки b1, b2, b3 образуют базис той же ориентации.
Ответ. b1 = |
[a2, a3] |
|
= |
|
[a3, a1] |
|
= |
|
[a1, a2] |
||
|
|
, b2 |
|
|
, b3 |
|
|
. |
|||
(a1, a2, a3) |
(a1, a2, a3) |
(a1, a2, a3) |
|||||||||
Задача 10. Решите систему векторных уравнений в пространстве: (x, a) = p, (x, b) = q, (x, c) = r, где a, b, c — некомпланарные векторы, p, q, r — числа. Объясните геометрический смысл решения. [Указание. Воспользуйтесь взаимным базисом, описанным в задаче 9.]
Ответ. x = p[b, c] + q[c, a] + r[a, b] — радиус-вектор точки пересечения плоскостей, за-
(a, b, c)
даваемых уравнениями системы (см. задачу 6).