ПОСОБИЕ ЧАСТ 1- цепи постоянного тока

один раз).. Для определения контурных токов по второму закону Кирхгофа составляют "k" уравнений в виде:

где "k" = m – mит –n + 1; Rnn – собственное сопротивление n - го контура (сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в n-й контур); Rnl – общее сопротивление смежных контуров n и l, причем Rnl = Rln ; если направления контурных токов в общей ветви для контуров n и l совпадают, то падение напряжения на Rnl положительно (Rln 0), в противном случае падение напряжения на Rnl отрицательно (Rnl 0); Enn – алгебраическая сумма ЭДС, включенных в ветви, образующие n-й контур; Rn – общее сопротивление ветви контура "n" с контуром, содержащим источник тока Jn.

Метод узловых потенциалов. Этот метод позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа, равного количеству независимых узлов схемы без одного:

У = n–1.

Сущность метода заключается в том, что вначале составляются уравнения по первому закону Кирхгофа для n–1 узлов схемы, а затем токи в ветвях выражаются через потенциалы узлов и проводимости соответствующих ветвей.

1G11 2G12 sGs nG1n EG J

где Gss – сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу "s"; Gsq – сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узел "s" с узлом "q";EG – алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, примыкающих к узлу n

"s", на их проводимости; при этом со знаком плюс берутся те ЭДС, которые действуют в направлении узла "s", со знаком минус – в направлении от узла "s";J– алгебраическая сумма токов источников тока, присоединенных к узлу "s"; n

11

при этом со знаком плюс берутся те токи, которые направлены к узлу "s", а со знаком минус – токи, направленные от узла "s".

Решая систему (1.2), находят потенциалы n – 1 узлов, а затем токи, в ветвях используя обобщенную формулу закона Ома.

Методом узловых потенциалов рекомендуется пользоваться в тех случаях, когда число уравнений будет меньше числа уравнений, составленных по методу контурных токов, т.е. когда мало число узлов, но много ветвей.

Если в схеме некоторые узлы соединяются идеальными источниками ЭДС, то число "У" уравнений, составляемых по методу узловых потенциалов, уменьшается:

У = n – mи – 1,

где mи – число ветвей, содержащих только идеальные источники ЭДС.

Метод двух узлов. Для схем, имеющих два узла (для определенности узлы "a" и "b"), узловое напряжение Uab определяется формулой:

EnGn Jn

где EnGn – алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей (ЭДС считаются n

положительными, если они направлены к узлу "а", и отрицательными, если направлены от узла "а" к узлу "b") на проводимости этих ветвей; Jn – токи источников тока (положительны, если они направлены к узлу "a", и отрицательны, если направлены от узла "а" к узлу "b"); Gm – сумма проводимостей всех вет- m

вей, соединяющих узлы "а" и "b".

Метод наложения. Если в электрической цепи заданными величинами являются ЭДС источников и токи источников тока, то расчет токов по методу наложения состоит в следующем. Ток в любой ветви можно рассчитать как алгебраическую сумму токов, вызываемых в ней ЭДС каждого источника ЭДС в отдельности и током, проходящим по этой же ветви от действия каждого источника тока. При этом надо иметь в виду, что когда ведется расчет токов, вызванных каким-либо одним источником ЭДС или тока, то остальные источники ЭДС в схеме заменяются короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками тока остальных источников отключаются (ветви с источниками тока размыкаются).

Методы преобразования. Во всех случаях преобразования замена одних схем другими, им эквивалентными, не должна привести к изменению токов или напряжений на участках цепи, не подвергшихся преобразованию.

Замена последовательно соединенных сопротивлений одним эквива-

лентным. Сопротивления соединены последовательно, если они обтекаются одним и тем же током (рис 1.4.1). Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из n последовательно соединенных сопротивлений, равно сумме этих сопротивлений:

12

n

Rэк Rk

k 1

При последовательном соединении n сопротивлений напряжения на них распределяются прямо пропорционально этим сопротивлениям:

U1 : U2 : . . . : Un = R1 : R2 : . . . : Rn.

В частном случае двух последовательно соединенных сопротивлений:

где U – общее напряжение, действующее на участке цепи, содержащем два сопротивления R1 и R2.

Замена параллельно соединенных сопротивлений одним эквивалент-

ным. Сопротивления соединены параллельно, если все они присоединены к одной паре узлов (рис. 1.4.2).

Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из n параллельно соединенных сопротивлений, определяется из формулы:

В частном случае параллельного соединения двух сопротивлений R1 и R2 эквивалентное сопротивление:

Формулы преобразования треугольника сопротивлений (рис. 1.4.3) в эквивалентную звезду сопротивлений (рис. 1.4.4):

13

раллельно на общее сопротивление нагрузки R (рис. 1.4.5), то они могут быть заменены одним эквивалентным источником, ЭДС которого Eэк , а внутреннее сопротивление Rэк (рис. 1.4.6). При этом:

n

I Eэкв R Rэкв

Ток в каждой из ветвей:

Метод замены параллельно соединенных источников тока одним эк-

вивалентным. Если несколько источников тока с токами: J1, J2, . . . , Jn и внутренними проводимостями: G1, G2, . . . ,Gn соединены параллельно (рис. 1.4.7), то их можно заменить одним эквивалентным источником тока, ток которого Jэк равен алгебраической сумме токов, а его внутренняя проводимость Gэк равна сумме внутренних проводимостей отдельных источников (рис. 1.4.8):

n n

Jэк Jk , Gэк Gk .

k 1 k=1

15

a a

1.5 Баланс мощностей

Для любой замкнутой электрической цепи сумма мощностей Ри, развиваемых источниками электрической энергии, равна сумме мощностей Рп, расходуемых в приемниках энергии:

Рист = Рн , или (EkIk + UkJk) = I2kRk ,

где EkIk – алгебраическая сумма мощностей источников ЭДС. Здесь положительны мощности тех источников, для которых направления действия ЭДС Ek и соответствующего тока Ik совпадают, в противном случае слагаемое отрица-

тельно; UkJk – алгебраическая сумма мощностей источников тока. Здесь положительны те из слагаемых, для которых напряжение на источнике тока (оно определяется расчетом цепи внешней по отношению к зажимам источника тока) и его ток Jk совпадают по направлению, в противном случае слагаемое отрица-

тельно; I2kRk – арифметическая сумма активных мощностей приемников. Здесь должны быть учтены как сопротивления приемников, так и сопротивления самих источников энергии.

1.6 Применение матриц к расчету электрических цепей

Общие положения. Применение матричной алгебры позволяет упростить запись системы уравнений, необходимой для расчета сложных электрических цепей, а также использовать матричные формы для формирования уравнений и численных расчетов с помощью ЭВМ. Как отмечалось, методы расчета электрических цепей базируются на уравнениях Кирхгофа и основных понятиях топологии электрической схемы: узел, ветвь, контур.

Граф электрической цепи. Топологическую структуру цепи можно описать с помощью узловой и контурной матриц, изобразив направленный граф схемы, в котором ветви представляют в виде линий, проведенных между точ-

16

ками–узлами. Ветвям графа приписывают направления, совпадающие с направлениями токов в ветвях и обозначаемые стрелками.

На рис. 1.6.2 представлен направленный топологический граф цепи (с числом ветвей m = 5 и узлов n = 3), изображенной на рис. 1.6.1.

Узловая матрица. Узловая матрица [А], приведенная на рис. 1.6.3, представляет собой таблицу, строки которой соответствуют независимым узлам графа, а столбцы – ее ветвям. Значения элементов узловой матрицы определяются следующим образом.

Если ветвь j связана с узлом "k" и направлена от узла, то ей присваивают значение +1. Если ветвь j связана с узлом "k" и направлена к узлу, то ей приписывают значение –1.

Если же ветвь j не связана с узлом "k", то ей присваивают нулевое значение. При этом выбранный базисный узел (узел "0") не входит в матрицу.

Контурная матрица. Контурная матрица [В], приведенная на рис. 1.6.4, представляет собой таблицу, строки которой соответствуют независимым контурам цепи, а столбцы – ветвям (рис. 1.6.2).

Элементы матрицы имеют следующие значения: если контур j содержит ветвь k и направление обхода контура совпадает с направлением ветви, то элемент матрицы имеет значение +1; если контур j содержит ветвь k, а направле-

17

ние обхода контура противоположно направлению ветви, то элемент матрицы имеет значение –1; если же контур j не содержит ветвь k, то элемент матрицы имеет нулевое значение.

а) число элементов в матричных столбцах [IB] и [UB] равно общему числу ветвей;

б) матрица-столбец токов ветвей [IB] учитывает наличие источников тока, то есть ток ветви IBk=Ik±Jk, причем записывают со знаком плюс, если положительное направление тока Jk и тока ветви совпадают (рис. 1.6.6.а), и со знаком минус – в противоположном случае; в) матрица–столбец напряжений ветвей [UB] учитывает наличие в ветвях ис-

точников напряжения, то есть UBk = RkIk ± EBk,

Рис. 1.6.6

причем суммарную ЭДС ветви EBk записывают со знаками плюс, если положительное направление этой ЭДС и тока ветви не совпадают, и со знаком минус – в противоположном случае (рис. 1.6.6.б).

Первый закон Кирхгофа в матричной форме. Так как элементы строки узловой матрицы [А] содержат сведения о ветвях, связанных с узлами цепи, и отражают направления токов ветвей к этим узлам, то сумма произведений элементов каждой строки на токи соответствующих ветвей представляет первый закон Кирхгофа в матричной форме:

18

[А][IB]=0.

Второй закон Кирхгофа в матричной форме. Так как элементы строки контурной матрицы [В] содержат сведения о ветвях, связанных с контурами цепей, и отражают направления напряжений (совпадающие с направлениями токов) на этих ветвях, то сумма произведений прямоугольной матрицы [В] на напряжения ветвей представляет собой второй закон Кирхгофа в матричной форме:

[B][UB] = 0.

Матричное уравнение контурных токов. Система уравнений, записан-

ных по второму закону Кирхгофа (алгебраическая сумма ЭДС в контуре равна алгебраической сумме напряжений на отдельных участках этого контура) для контурных токов и контурных ЭДС цепи без зависимых источников энергии и взаимно связанных ветвей, может быть представлена в виде произведения квадратной матрицы [R] контурных и общих сопротивлений контуров на столбцовую матрицу контурных токов [IК] и матрицы контурных ЭДС [Еk]:

контурных ЭДС и контурных токов размерностями n х 1.

Решив матричное уравнение [R][Ik ] [Еk] относительно матрицы [IК] получим

[Ik] [R]-1[Еk],

где [R]-1 АДС Т R – обратная матрица по отношению к матрице сопротив-

лений [R]; АДС Т – транспонированная матрица алгебраических дополнений определителя R матрицы сопротивлений [R];

АДС 1 j k Mjk ,

19

где Mjk ( j – строка, k – столбец) – миноры матрицы сопротивлений; 1 j k –

знаковый коэффициент.

Внимание!

1)Перед составлением матричного уравнения контурных токов целесообразно источники тока преобразовать в источники напряжения.

2)В случае, если цепь содержит источники напряжения и источники тока,

элементы матрицы [Еk] записывают в виде Еk=Ek+Rk·Jk, где Ek – алгебраическая сумма ЭДС источников напряжения, включенных в ветви рассматриваемого контура. Слагаемые записывают со знаком плюс (минус), если направление обхода контура и направления ЭДС совпадают (не совпадают); Rk·Jk – алгебраическая сумма произведений токов источников тока, подключенных параллельно ветвям, на соответствующие сопротивления ветвей. Слагаемое записывается со знаком плюс (минус), если направление тока Jk и направление контурного тока совпадают (не совпадают).

Матричное уравнение узловых напряжений. Система уравнений, запи-

санных по методу узловых потенциалов для узловых напряжений и узловых токов цепи без зависимых источников энергии и индуктивно связанных ветвей, может быть представлена в виде произведения квадратной матрицы узловых и межузловых проводимостей [G] на столбцовую матрицу узловых напряжений [Uy] и матрицы узловых токов [Jy]:

[G] [Uy] =[Jy].

Данное матричное уравнение может быть решено относительно матрицы узловых напряжений [Uy] путем умножения обеих сторон уравнения на матрицу [G]-1, обратную матрице проводимостей [G], то есть:

[G]-1[Jy]= [G]-1[G] [Uy].

где jj и jk – алгебраические дополнения элементов квадратной матрицы проводимостей [G].

Внимание!

1) Перед составлением матричного уравнения узловых напряжений целесообразно источники напряжения преобразовать в источники тока.

20