Matan_1_semestr_Lektsii

Преобразуем выражение, используя известную тригонометрическую

формулу, затем, используя теорему о пределе произведения и первый

замечательный предел, вычислим предел данного выражения. Итак,

3.2Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций

Пусть, как и прежде, X некоторое числовое множество, a его предельная точка (может быть, бесконечно удалённая). Все рассматриваемые функции будем считать определёнными на множестве X.

Определение 3.16 Функцию ® будем называть бесконечно малой при

x ! a (в окрестности точки a), если lim ®(x) = 0.

x!a

Определение 3.17 Функцию ® будем называть бесконечно большой

при x ! a (в окрестности точки a), если lim ®(x) = 1.

x!a

Изучим некоторые свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Теорема 3.15 Для того чтобы lim f(x) = b, необходимо и достаточно,

x!a

чтобы функция ®(x) = f(x) ¡ b была бесконечно малой при x ! a.

Доказательство. Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, достаточно расписать определения предела функции и бесконечно малой функции по Коши и сравнить их, как это было проделано в аналогичной теореме для последовательностей (см. теорему 2.3)

Теорема 3.16 Сумма двух бесконечно малых при x ! a функций есть бесконечно малая при x ! a функция.

Доказательство. Если ® и ¯ бесконечно малые при x ! a функции, то

lim ®(x) = 0; lim ¯(x) = 0:

x!a x!a

Но тогда по теореме 3.11

lim(®(x) + ¯(x)) = lim ®(x) + lim ¯(x) = 0;

что и доказывает теорему.

Теорема 3.17 Произведение бесконечно малой и ограниченной в окрестности точки a функций есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Пусть функции ®; f : X ! R, ® бесконечно малая

±

при x ! a, а f ограниченная в некоторой окрестности U±1 (a) функции. Необходимо доказать, что функция ®f бесконечно малая при x ! a.

что и требовалось доказать.

Следствие 3.3 Произведение бесконечно малой при x ! a функции на постоянную есть бесконечно малая при x ! a функция.

Постоянную M можно рассмотреть как функцию, принимающую во всех точках множества X постоянное значение M и применить доказанную теорему.

Следствие 3.4 Произведение двух бесконечно малых при x ! a функций есть бесконечно малая при x ! a функция.

Доказательство. Пусть функции ®; ¯ : X ! R бесконечно малые при x ! a. Как имеющая предел, функция ¯ по теореме 3.9 ограничена в окрестности точки a. Но тогда по доказанной теореме произведение ®¯

бесконечно малая при x ! a функция.

Теорема 3.18 Произведение двух бесконечно больших в окрестности точки a функций есть бесконечно большая в окрестности точки a

функция.

Доказательство. Пусть функции ®; ¯ : X ! R бесконечно большие при x ! a. Это означает, что выбрав произвольно и зафиксировав " > 0,

j®(x)¯(x)j = j®(x)j ¢ j¯(x)j > p" ¢ p" = ";

что и требовалось доказать.

Теорема 3.19 Если ® бесконечно большая при x ! a функция, то

1=® бесконечно малая. Наоборот, если ® бесконечно малая при x ! a и в некоторой проколотой окрестности точки a не обращается в ноль, то 1=® бесконечно большая при x ! a.

Доказательство. Если ® бесконечно большая при x ! a функция, то

что она бесконечно большая при x ! a, доказывается совершенно аналогично.

Пусть, по прежнему, X ½ R, a 2 X0. Все рассматриваемые на X функции будем предполагать бесконечно малыми или бесконечно большими при x ! a.

Определение 3.18 Будем говорить "®(x) есть о маленькое относительно ¯(x) при x ! a" и писать ®(x) = o(¯(x)) (x ! a), если

lim ®(x) = 0:

x!a ¯(x)

В случае бесконечно малых величин говорят также, что ®(x) при x ! a убывает быстрее или имеет больший порядок малости по сравнению с ¯(x), а в случае бесконечно больших величин, что ®(x) при x ! a

возрастает медленнее или имеет меньший порядок роста по сравнению с

¯(x).

Пример.

Пусть ®(x) = 2x + x2, ¯(x) = x2 + 3x3. Имеем:

Отсюда следует, что ¯(x) = o(®(x)) (x ! 0) и ®(x) = o(¯(x)) (x ! 1). Рассмотренный пример показывает, что сравнительное поведение функций в окрестностях различных предельных точек может быть разным, поэтому указание предельной точки, в окрестности которой производит-

ся их сравнение, обязательно.

Определение 3.19 Будем говорить "®(x) есть о большое относитель-

но ¯(x) при x ! a" и писать ®(x) = O(¯(x)) (x ! a), если суще-

±

ствуют постоянная M и окрестность U± (a) такие, что для любого

В этом случае говорят также, что в окрестности точки a функция ® убывает не медленнее, чем функция ¯, если она бесконечно малая, или возрастает не быстрее, чем функция ¯, если она бесконечно большая.

Пример.

Пусть ®(x) = x sin(1=x) (x =6 0), ¯(x) = x. Так как

то, по определению, x sin(1=x) = O(x) (x ! 0).

Определение 3.20 Будем говорить "®(x) слабо эквивалентна ¯(x) при x ! a" и писать ®(x) ³ ¯(x) (x ! a), если одновременно ®(x) =

O(¯(x)) (x ! a) и ¯(x) = O(®(x)) (x ! a).

Если функции ® и ¯ слабо эквивалентны при x ! a, то говорят, что они имеют при x ! a одинаковый порядок убывания (возрастания).

Предложение 3.1 ®(x) ³ ¯(x) (x ! a) тогда и только тогда, когда

Доказательство. Если ®(x) ³ ¯(x) (x ! a), то, согласно определению, в некоторой проколотой окрестности точки a выполняются оба неравенства: j®(x)j · M1j¯(x)j и j¯(x)j · M2j®(x)j. Так как M1; M2 > 0 (во всяком случае, их всегда можно увеличить), то, полагая M = M1 и m = M12 , получаем (3.36).

Обратное очевидно.

Пример. Пусть ®(x) = x + sin x, ¯(x) = x.

Замечание 3.8 В доказываемой теореме неважно, существуют рассматриваемые пределы или нет. Если предел справа существует, то мы доказываем, что существует и предел слева. Если же предел справа не существует, то не может существовать и предел слева, потому что в противном случае, поменяв левую и правую части местами и повторив доказательство, придём к противоречию.

Замечание 3.9 Нельзя(!) при вычислении предела заменять эквивалентными величинами слагаемые. Это может привести к неправильному результату.

Неправильное решение (замена в числителе sin x, tg x эквивалентны-

Символы "o", "O", "³", "»"называют символами Ландау. Они обладают многочисленными свойствами, перечисленными в конце главы в

разделе "Задачи". Советуем читателям ознакомиться с ними. В дальнейшем свойства символов Ландау будут использоваться при необходимости как известные.

В заключение отметим, что бывают величины, не сравнимые с помощью какого либо из символов Ландау.

Пример. Пусть ®(x) = sinx x, ¯(x) = cosx x. Обе они бесконечно малые при x ! 1.

Предлагаем читателям самостоятельно убедиться в том, что их нельзя сравнить с помощью символов Ландау.

3.3Непрерывные функции

Пусть X числовое множество, a предельная точка множества

X, принадлежащая (!) множеству, функция f определена на множестве

X.

Определение 3.22 Назовём функцию f непрерывной в точке a множества X, если выполняется следующее условие:

x!a

Так как a можно записать в виде a = lim x, то формулу (3.37) можно

x!a

переписать в виде

x!a x!a

Таким образом, если функция f непрерывна в точке a, то знак предела можно занести под знак функции, или, другими словами, можно поменять местами операции предельного перехода и вычисления значения функции.

Если воспользоваться определением предела функции в точке по Коши, то определение непрерывной в точке функции приобретёт следующий вид.

Определение 3.23 Будем называть функцию f непрерывной в точке a множества X, если для любого " > 0 можно указать такое ± > 0,

Следует отметить, что, в отличие от определения предела функции в точке, в определении непрерывности функции нет необходимости исключать саму точку a, так как неравенство (3.39) в точке a, очевидно, тоже выполняется.

Если же использовать определение предела функции в точке по Гейне, то определение непрерывности функции в точке будет выглядеть так.

Определение 3.24 Назовём функцию f непрерывной в точке a множества X, если для любой последовательности (xn) ½ X такой, что xn ! a, xn =6 a (n 2 N) последовательность

f(xn) ! f(a): (3.40)

И в этом определении нет необходимости исключать точку a, поскольку если некоторые члены последовательности (xn) будут равны a, то соответствующие члены последовательности (f(xn)) будут равны f(a), что отнюдь не помешает сходимости последовательности (f(xn)) к f(a). В дальнейшем, поэтому, употребляя определение непрерывности функции в точке по Коши или по Гейне, соответствующих оговорок относительно точки a делать не будем.

Отметим ещё, что определения непрерывности функции в точке по Коши и по Гейне формально выполняются и в том случае, когда a

изолированная точка множества X. Действительно, если a изолированная точка, то существует её ±-окрестность, в которой других точек множества X нет. Поэтому, если jx ¡ aj < ±, то x = a и jf(x) ¡ f(a)j = jf(a)¡f(a)j = 0 < ". Если же xn ! a, то, начиная с некоторого номера n0 jxn ¡ aj < ±, то есть, xn = a, f(xn) = f(a), следовательно, f(xn) ! f(a).