Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

zaicevVM_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 162 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Для неопределённого интеграла используется обозначение: ∫ f ( x )dx .

Здесь ∫ – знак интеграла, f (x) – подынтегральная функция, f (x)dx –

подынтегральное выражение. Итак,

∫ f ( x )dx = F (x) + C , где F ′(x) = f (x).

(7.1)

Операция нахождения неопределённого интеграла от функции называется

интегрированием этой функции.

Пример 7.1. Показать, что ∫ 1x dx = ln x + C на любом интервале, не содер-

жащем x = 0.

Решение. Так как (ln x)′ = 1x , то функция ln x является первообразной для

функции

f (x) =

. Однако ln x имеет смысл только при x > 0. Для отрицатель-

′

ных x получим (ln( −x ))

( −1 ) =

, поэтому при x < 0 первообразной для

−x

ln x,

x > 0

является функция ln(−x) . Так как ln

= ln(−x),

x < 0 , то

x ≠ 0

(ln

)′

, значит ∫

dx = ln

+C .

Из определения неопределённого интеграла и дифференциала следует, что

(∫ f ( x )dx)′ = (F (x)+C )′ = f ( x ) ,

d (∫ f (x)dx) = (∫ f (x)dx)′dx = f (x)dx ,

∫dF (x) = ∫F ′( x )dx = F ( x ) +C .

Интегрирование, как и дифференцирование, является линейной операцией, т. е. интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от каждой функции, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

∫( f1 ( x ) ± f2 ( x ))dx = ∫ f1 ( x )dx ± ∫ f2 ( x )dx,

∫α f ( x )dx =α∫ f ( x )dx.

2. Таблица интегралов

Каждая формула дифференциального исчисления F ′(x) = f (x) равносильна формуле интегрального исчисления ∫ f ( x )dx = F (x) + C .

Для производных основных элементарных функций была составлена таблица производных. Теперь составим таблицу наиболее важных, основных интегралов, которой будем пользоваться при решении задач.

1) ∫xa dx =	xa+1	+ C ( a R, a ≠ −1 );	2) ∫	1	dx = ln	x	+ C;

	a + 1
				x

3) ∫a x dx =

a x

+ C ( a > 0, a

lna

∫sin xdx = −cos x + C ;

∫

dx = tgx + C ;

cos

∫

arctg

+ C ;

+ a

10)

∫

= arcsin

+ C ;

− x

≠ 1 ) , в частности, ∫exdx = ex + C ;

∫cos xdx = sin x + C ;

∫

dx = −ctgx + C ;

sin

9) ∫

x −a

dx =

+ C ;

x + a

−a

11) ∫

= ln

x +

x2 + A

+ C .

Каждую из формул таблицы можно проверить (доказать) с помощью дифференцирования.

Используя таблицу интегралов и свойство линейности, можно вычислять простейшие интегралы.

	∫	2		1
Пример 7.2. Вычислить			+		− 3	x + 1	dx .
		2 + x2		3 x

Решение. Пользуемся линейностью интеграла и таблицей интегралов:

− 3

x +1 dx = 2

−

x3dx+

dx =

∫

2 + x2

∫(

2)2 + x2

∫

arctg

−

+ x +C.

3. Интегрирование методом замены переменной

Рассматриваемый метод имеет два варианта (теоретически они отличаются мало).

3.1. Подведение под знак дифференциала.

Этот подход основан на теореме (инвариантность формулы интегрирования).

Пусть ∫ f ( x )dx = F( x ) + C , u = u(x) – дифференцируемая функция. Тогда

∫ f ( u )du = F ( u ) + C ,

т. е. любая формула интегрирования остаётся справедливой, если независимую

переменную x заменить на произвольную дифференцируемую функцию.

Например,

∫sin(5 x)d (5 x) = −cos(5 x) +C ,

∫

(x2 −1)

= ln

x2 −1

+C .

−1

При подведении под знак дифференциала функции

f (x) полезно использо-

вать свойство неопределённого интеграла:

f ( x )dx = d (∫ f (x)dx) .

x2dx = d

(

∫

x2dx

)

(

x3 + C

)

Например:

= d

+ C =

;

∫

−

= d (2 x ) = 2d ( x ) ;

= d

= d ∫x

∫

(tgx)

= d

и т. д.

cos

Пример 7.3. Вычислить интегралы, используя подведение под знак дифференциала:

а) ∫(5 x − 3)9dx ;

б) ∫

arctgx

dx ; в) ∫tg x dx .

1 + x

Решение. а)

∫(5 x − 3)9dx =

∫(5 x − 3)9 d (5 x − 3) =

u = 5 x − 3

u10

+C = (5 x − 3)10

∫u9du =

+C .

5 10

arctg x

(arctg x)2

б)

∫

dx = ∫(arctg x)

d (arctg x) =

+C .

1 + x

d (cos x)

в)

∫tg x dx

= ∫

sin x

dx = −∫

= −ln

cos x

+C .

cos x

3.2. Подстановка или замена переменной.

Пусть требуется найти интеграл ∫ f ( x )dx . Произведём в подынтегральном выражении замену переменной интегрирования x, положив x =ϕ (t ) , где ϕ (t ) –

дифференцируемая функция, которая имеет обратную функцию t =ϕ−1 (x). Тогда

∫ f ( x )dx = ∫ f (ϕ (t ))d (ϕ (t )) = ∫ f ( ϕ( t ))ϕ′( t )dt .

Если замена x =ϕ (t ) выбрана удачно, то интеграл в правой части последне-

го равенства проще исходного или совпадает с табличным.

Наиболее целесообразная для данного интеграла замена переменной, т. е. выбор функции x =ϕ (t ) , не всегда очевидна. Укажем некоторые подстановки.

Интеграл

Подстановка

∫

ax + b

R x, n

= t

cx + d

∫R(x,

− x2 )dx

x = a sin t

∫R(x,

+ x

)dx

x = a tgt

	∫R(x, x2 −a2 )dx	x =			a
				sin t

	∫R(sin x, cos x)dx	tg	x		= t
			2
Здесь R(u1 ,u2 ) – рациональное выражение от величин u1, u2, т. е. любое

выражение, которое можно получить из u1, u2 и действительных чисел с помощью арифметических действий.

Пример 7.4. Вычислить интеграл J = ∫ a2 − x2 dx с помощью подстановки

x = a sin t.

Решение. Так как x = a sin t, то

dx = d(a sin t) = a cost dt.

Подставляя эти соотношения в подынтегральное выражение, получим

J = ∫

a2 − a2 sin2 t a cos tdt = a2 ∫cos2 tdt = a2 ∫

1 + cos 2t

dt =

sin 2t

[t + sint cos t]+ C .

∫dt +

∫cos( 2t )d( 2t )

+ C =

Нужно вернуться к переменной x. Так как x = a sin t, то

= sin t. Отсюда

t = arcsin

, cos t =

1 −

− x2

. Подставляя эти соотноше-

x a2

− x2

ния в результат интегрирования, найдём J =

arcsin

+ C .

Пример 7.5. Вычислить интеграл ∫

+ 3 sin x +

4 cos x

Решение. Применим универсальную тригонометрическую подстановку

= t.

Через новую переменную t можем выразить sin x, cos x,

dx:

2tg

1 − tg

1 − t 2

sin x =

, cos x =

2 x

t 2 + 1

dx = d ( 2arctgt ) =

dt .

t 2 +

2dt

Поэтому ∫

= ∫

t 2 + 1

= 2∫

+ 3 sin x

+ 4 cos x

1 − t

+ 6t

+ 9

+ 3

t 2

t 2 + 1

= 2∫

= 2∫(t + 3)−2

d (t + 3) = −

+ C = −

+ C .

(t + 3)

t + 3

+ 3

4. Интегрирование по частям

Пусть u = u(x) и v = v (x) – заданные дифференцируемые функции, а du и dv – их дифференциалы. Тогда справедлива формула интегрирования по частям:

∫udv = uv − ∫vdu .	(7.2)
Общее правило применения метода интегрирования по частям к интегралу
∫ f ( x )dx состоит в том, что нужно разбить выражение	f ( x )dx на два сомно-

жителя u и dv. Ясно, что такое разбиение можно сделать множеством способов. При выборе подходящего разбиения необходимо учитывать следующее: а) величина dx должна быть частью dv;

б) нужно уметь интегрировать величину dv, взяв за v одну из первообразных; в) ∫vdu должен быть проще, чем ∫udv .

Полезно применять этот метод для вычисления следующих интегралов:

1.	∫Pn ( x ) ex dx ;	5.	∫Pn ( x ) arcsin x dx ;
2.	∫Pn ( x ) sin x dx ;	6.	∫Pn ( x ) arccos x dx ;
3.	∫Pn ( x ) cos x dx ;	7.	∫Pn ( x ) arctg x dx ;
4.	∫Pn ( x ) ln x dx ;	8.	∫Pn ( x ) arcctg x dx .

где Pn(x) = anxn + an–1xn–1 + … + a1x + a0 – многочлен n-ой степени.

Для интегралов 1 – 3 принимают за u множитель Pn(x), всё остальное – за dv, а для интегралов 4 – 8 наоборот: за dv принимают множитель Pn(x)dx, а остальное – за u.

Пример 7.6. Вычислить ∫x2 ln xdx . 16

Решение. Под интегралом логарифмическая функция ln x умножается на степенную функцию x2 . Следуя рекомендации, рассмотрим разбиение подынтегрального выражения: u = ln x, dv = x2dx . Интеграл принимает вид ∫udv .

Чтобы применить формулу интегрирования по частям, нужно ещё знать du и

v. Вычисляем дифференциал du = d (ln x)

= (ln x)′ dx =

dx и, если dv = x2dx ,

то v = ∫dv = ∫x2dx =

(из множества первообразных выбрали одну, положив,

например, С = 0 ).

Кратко вычисления записываем так:

∫x2 ln xdx =

u = ln x , dv = x2dx

ln x −∫

dx =

ln x −

+ C .

du = x dx , v = 3

Пример 7.7. Вычислить интеграл J = ∫e2 x cos xdx.

Решение. Применим интегрирование по частям. Положим u = cos x, dv = e2xdx,

тогда du = – sin xdx, v = ∫e2 x dx =					1	∫e2 x d( 2x ) =				1	e2 x .	Имеем
					2				2
	1		1				1						1
J = cos x		e2 x −		∫e2 x ( −sin x )dx =				e2 x	cos x +					∫e2 x sin xdx.
	2		2				2					2

Интеграл в правой части отличается от данного интеграла только тем, что функция cos x заменилась на sin x. Попробуем ещё раз аналогично применить интегриро-

вание по частям: u = sin x,

dv = e

du = cos xdx, v =

;

2 x

∫e

2 x

J =

cos x +

sin x −

cos xdx

+ C .

Итак, в результате двух применений формулы интегрирования по частям мы пришли снова в правой части к первоначальному интегралу J.

Казалось бы, что от этого вычисление интеграла вперёд не продвинулось. Однако, на самом деле получается уравнение, из которого и находится искомый инте-

грал J: J = 21 e2xcos x + 41 e2xsin x – 41 J + C J = 51 e2x(2cos x + sin x) + C.

5. Интегрирование рациональных дробей

Дробно–рациональной функцией или рациональной дробью называется функция вида

R( x ) =

P ( x )

xn + a

n−1

xn−1

+ ...+ a

x + a

( x )

xm + b

xm−

1 + ...+ b x + b

m−1

где Pn(x), Qm(x) – многочлены степени n и m соответственно, причём m ≠ 0 . Рациональная дробь называется правильной, если n < m , и неправильной, ес-

ли n ≥ m .

2 x − 1

Например, рациональные дроби

являются правильными, а

x2 + 1

4 x + 5

рациональные дроби

− x

3 x2 + 2 x − 1

– неправильные.

+ 4

Всякую неправильную дробь

Pn ( x )

можно путём деления числителя на зна-

( x )

менатель представить в виде суммы многочлена h(x) и правильной рациональной

дроби

rk ( x )

k < m , т. е.

Pn ( x )

= h( x ) +

rk ( x )

Q ( x )

Пример 7.8. Преобразовать неправильную дробь

3 x4 + 2 x − 1

, выделив це-

x2 − x + 1

лую часть.

Решение.

3x4 + 2 x −1

−3x4 + 2 x − 1

x2 − x + 1

= 3x2 + 3x

−x − 1

x2 − x + 1

3x2 + 3x

x2 − x + 1

3x4 − 3x3 + 3x2

14243

−3x3 − 3x2 + 2 x − 1

целая часть

3x3 − 3x2 + 3x

−x − 1

123

остаток

Интегрирование многочлена не представляет затруднений. Поэтому рассмотрим интегрирование правильных рациональных дробей.

Пусть Pn ( x ) – правильная рациональная дробь. Из алгебры известно, что

Qm ( x )

многочлен Qm(x) может быть разложен на линейные и квадратичные множители следующим образом :

Qm ( x )=a( x −c1 )k1 K ( x −cr )kr ( x2 + p1 x +q1 )t1 K ( x2 + ps x +qs )ts . ( ) 18

Здесь с1, ... , сr – действительные корни, k1, ... , kr – их кратности; каждый квадратный трёхчлен имеет отрицательный дискриминант.

В алгебре доказывается, что любая правильная дробь Pn ( x ) может быть раз-

Qm ( x )

ложена на сумму дробей более простого устройства – «простейших» дробей, вид которых зависит от типов множителей, входящих в разложение многочлена знаменателя.

1) Множителю типа x – c в ( ) соответствует в этой сумме дробь x −c , где

А– некоторый коэффициент.

2)Множителю типа (x – c)k в ( ) соответствует сумма простейших дробей, имеющая вид

+L+

, где А1, …, Ак – некоторые коэффициенты.

x −c

( x −c )

( x − c )

3) Множителю типа x2 + px

+ q соответствует простейшая дробь ви-

да

с некоторыми коэффициентами M, N.

x +px+q

да

4) Множителю типа (x2+ px + q)t соответствуетсумма простейших дробей ви-

x + N

+ N

x + N

+L+

( x

+ px + q ( x

+ px + q )

Коэффициенты разложения можно определить методом приравнивания ко-

эффициентов. Идея метода:

а) обе части разложения умножим на Qm (x), в результате получим тождест-

во Pn (x) ≡T (x) , где T (x) – многочлен с неопределёнными коэффициентами.

б) приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях полученного тождества, получим систему линейных уравнений, из которой и определяются коэффициенты разложения.

Также применяется метод отдельных значений переменной x: после получе-

ния тождества переменной x придают конкретные значения столько раз, сколько имеется коэффициентов разложения (в первую очередь полагают вместо x значения действительных корней многочлена Qm (x)).

Пример 7.9. Разложить в сумму простейших дробей рациональную дробь

x3 −6x2 +2x +1 x4 − x3 −x2 + x .

Решение. Дробь правильная (степень числителя 3, степень знаменателя 4). Разложим знаменатель на простые множители:

x4 − x3 − x2 + x = x(x3 − x2 − x + 1) = x x2 (x −1) −(x −1) = x(x −1)2 (x + 1),

а затем пользуемся правилом разложения дроби. Множители x и (x + 1) входят в 1-ой степени, поэтому им соответствуют по одной простейшей дроби, множитель (x – 1) входит во 2-й степени, поэтому ему соответствует сумма двух простейших дробей. Итак,

x3 − 6 x2 + 2x + 1

x (x − 1)2 (x + 1)

x −

(x − 1)2

x +

Найдём числа A, B1, B2, D. Для этого избавимся в полученном выражении от знаменателей, умножая обе части равенства на x(x – 1)2(x + 1):

x3 −6x2 +2x +1 = A(x −1)2 (x +1)+B1x(x −1)(x +1)+B2 x(x +1)+ Dx(x −1)2 .

Нам требуется найти такие числа A, B1, B2, D, чтобы это равенство было тождеством, т. е. выполнялось при любом x.

Рассмотрим в данном примере оба метода отыскания этих чисел. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим четыре

уравнения для определения A, B1, B2, D:

x3		1	= A + B + D,
x3		1	= A + B + D,
			1
x	2
x		−6 = −A + B2 − 2D,
x		2 = −A − B1 + B2 + D,
x0		1	= A.

Решая, получим результат: A = 1, B1 = –2,

В2 = –1, D = 2.

Другой способ: подставляя наиболее удобные значения x, получим также сис-

тему четырёх уравнений для определения A, B1, B2, D:

x = 0

1 = A,

x = 1

−2 = 2B2

x = −1

−8 = −4D,

x = 2

−11 = 3A

+ 6B1 + 6B2 + 2D.

Отсюда находим те же значения: A = 1, B1 = –2, В2 = –1, D = 2.

Следовательно,

x3 − 6 x2

+ 2 x + 1

−

x (x − 1)2 (x + 1)

x −

(x −

1)2

x + 1

Рассмотрим интегрирование простейших дробей. 20

<<< < Предыдущая 12 / 162 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.202534 Кб3ZADAChI_2.docx
#
14.02.2015134 Кб69ZADAChI_V.doc
#
01.07.2025265 Кб2Zadanie_2016.doc
#
14.02.2015867 Кб206zadat-fkh.pdf
#
14.02.201515 Мб34zaginajlov-kvl.pdf
#
14.02.20151 Мб43zaicevVM_2.pdf
#
14.02.20151 Мб33zajcevVM.pdf
#
01.07.2025170 Кб3Zapiska.docx
#
14.02.20155 Мб62zarn_met_kp.pdf
#
14.02.2015528 Кб25zarn_met_lab.pdf
#
12.03.2016346 Кб32zarnitsina-e-g-mapp-549003aae0d37.pdf