Saprikina_Analit_geometr

Мішані задачі на площину і пряму в просторі

41

Задача 2. Відомі вершини трикутника A(1; −1; 3),

B (3; − 4; 9)

=

y − y0

=

z − z0

, Ax + By + Cz + D = 0, то

m

p

sin α =

Al + Bm + Cp

A2 +B2 + C2

l2 + m2 + p2 .

(4.1)

Умова паралельності прямої та площини:

Al + Bm + Cp = 0.

(4.2)

a

n

Умова перпендикулярності:

||

A

=

B

=

C

.

(4.3)

a

n

m

l

p

x + 2

y − 3

z

= 0

ординатній формі

3

−1

2

x − 3y − 3z +11 = 0 – шукане

0

1

−1

рівнянняплощини.

a

M

Задача2. Скластипараметричнірівнян-

M1

ня

прямої,

яка проходить через точ-

l

M0

ку

A(2; 3;1)паралельноплощині x − y −1 = 0

Рис. 4.1

і перетинаєвісьОу.

(0; y0 ; 0) – точ-

Розв'язання. Нехай M0

ричнірівнянняпрямої: x = 2 + 2t , y = 3 + 2t ,

z = 1 + t .

Задача3. Знайтипроекціюточки M (3; − 4; − 2) наплощину, якапро-

ходить через дві паралельні прямі L :

x − 5

=

y − 6

=

z + 3

та L :

x − 2

=

1

13

1

− 4

2

13

=

y − 3

=

z + 3

.

1

− 4

44

Аналітичнагеометрія

i

j

k

= (0; 5; −1).

Отже,

=

1

1

5

Напрямний

вектор

прямої

n

1

0

0

i

2x + y + z + 3 = 0,

j

k

= (− 2; 1; 3). За

: a =

1

−1

1

формулою

(4.1)

x − y + z −1 = 0

2 1 1

шуканий кут між прямою і площиною sin α =

2

=

1

26 14

91

α = arcsin 1 .

91

РІВЕНЬ Б

Задача 1. Знайти точку Q, симетричну точці P (2; − 5; 7) відносно

прямої, що проходить через точки M1 (5; 4; 6) та M 2 (− 2; −17; − 8).

Розв'язання

1. Рівняння прямої L,

що проходить через точки M1 (5; 4; 6) та

M 2 (− 2; −17; − 8):

x = 5 + 7t, y = 4 + 21t, z = 6 + 14t.

x = 5 + 7t,

y = 4 + 21t,

M 0

(3; − 2; 2).

z = 6 + 14t,

x + 3y + 2z − 1 = 0

Мішані задачі на площину і пряму в просторі

45

4. Оскільки точка M

0

є серединою відрізка PQ,

то 3 =

2 + xQ

;

2

− 2 =

− 5 + yQ

; 2 =

7 + zQ

Q(4;1; − 3) (рис. 4.3).

2

2

x − 3y − z + 4 = 0,

− 4 y + 3z − 2 =0

Задача2. ЗнайтиортогональнупроекціюпрямоїL: 2x

наплощину 3x + 2 y + z − 7 = 0.

Розв'язання. Шукана проекція

P

визначається перетином двох пло-

щин: заданої 3x + 2 y + z − 7 = 0 (π 1)

іплощиниπ

2, щоперпендикулярнадо

l M1

M0

M2

неї та містить задану пряму. Із за-

гальнихрівняньпрямоїL знаходимо

її напрямний вектор:

=

×

=

a

n1

n2

Q

i

π

j

k

=

1

− 3

−1

= −13i − 5

+ 2

. Одну

j

k

Рис. 4.3

2

− 4

3

з

точок

прямої

M0 (x0 ; y0 ; z0 )

знаходимо поклавши

y0 = 0:

x0 − z0 + 4 = 0,

x0 = − 2, z0 = 2

. Отже, M0 (− 2; 0; 2). На площині,

2x0

+ 3z0

− 2 = 0

Оскільки вектори

= (x + 2; y; z − 2),

= (−13; − 5; 2)

і

= (3; 2;1)

M0M

a

n

компланарні, то

×

= 0 . Перейдемо до

координат:

M0M

a

n

Мішані задачі на площину і пряму в просторі

47

x

y

z − 3

= 0, або 3y + z − 3 = 0. Об'єм піраміди V

= 1

H ×

0

1

− 3

SABC

1

0

0

3

няття№3) законрухумаєвигляд x = 11 − λ t, y = − 21+ 2λ t,

z = 20 − 2λ t .

Оскільки швидкість v = 12, то (− λ )2 + (2λ )2 + (− 2λ )2

= 12 λ = 4

Мішані задачі на площину і пряму в просторі

49

=

z − z1

та

x − x2

=

y − y2

=

z − z2

можнаобчислитизаформулою d =

n

l

2

m

n

1

2

2

×

, де

= (l ; m ; n ),

=

a1

a2

M1M 2

=

(l

; m ; n

) і

= (x

− x ;

a

a

M

M

a1 × a2

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

2

1

y2 − y1; z2 − z1 ).

2. Знайти відстань між діагоналлю куба і діагоналлю грані, що не

перетинаєїї, якщореброкубадорівнює1.

Розв'язання

задачі випливає, що потрібно знайти

z

відстань між мимобіжними прямими ОВ

O1

C1

та А1С. Напрямний вектор прямої ОВ:

a1 = (1;1; 0). Напрямний вектор пря-

А1 (1; 0;1)

B1

моїА1С: a2 = (−1;1; −1). Крімтого A1B =

O

С (0; 1; 0)

= (0; 1; −1)

– вектор,

що з'єднує точки,

y

які належать

цим

прямим. Отже,

A

В(1; 1; 0)

d = a1 × a2 A1B1

x

= 1 .

Рис. 4.7

a ×

a

2

6

1

Завдання для самостійного розв'язання

РІВЕНЬ А

Задача 1. При якому значенні λ прямі

x + 2

=

y

= z −1

і

x − 3

=

2

− 3

4

λ

50

Аналітичнагеометрія

Задача2. ЗнайтиточкуQ, якасиметричнаточці P (3; − 4; − 6) віднос-

но площини, що проходить через точки M1 (− 6; 1; − 5),

M 2 (7; − 2; −1)

і M3 (10; − 7;1).

Задача 3. Скласти рівняння прямої, яка лежить у площині x + z = 0

і перетинаєпряму

x − 2

=

y − 8

=

z − 3

, аленемаєспільнихточокзпря-

3

11

2

мою x = 1 + t, y = 3 + 4t,

z = −1− t.

Задача 4. При яких значеннях l, В і С пряма

x − 5

=

y − 7

=

z +1

l

− 3

4

ку A(1; 1;1) та перетинає дві прямі:

x +1

=

y −1

=

z

x − 2

=

y + 2

=

z

і

.

2

1

3

3

2

1

Задача 2. Скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через

точку M0

(3; − 2; − 4) паралельноплощині 3x − 2 y − 3z − 7 = 0 таперети-

нає пряму

x − 2

=

y + 4

=

z −1

.

3

− 2

2

дитьчерезпряму

x −1

=

y − 5

=

z −1

паралельноосіOy. Скластирівнян-

2

− 5

2

x + 7

=

y − 4

=

z − 4

(L ) і

x −1

=

y + 8

=

z +12

(L

).

3

− 2

3

1

1

2

−1

2