Kuznecov_Praktikum
.pdf
2. Методичні вказівки
Лабораторну роботу розраховано на 2 години.
Завдання. Для кількісної ознаки 1 у вибірці А1 (див. роботу № 1) знайти шість наступних характеристик для варіаційного й інтервального варіаційного рядів:
1)вибіркове середнє x;
2)дисперсію σ2 ;
3)середньоквадратичне відхилення σ;
4)моду Мo;
5)медіану Мe;
6)коефіцієнт варіації V.
Зразок виконання завдання
Виконуємо пункти вказаного вище завдання для вибірки А0 (див. лабораторну роботу № 1).
А.Варіаційний ряд (див. табл.1.2)
1.Вибіркове середнє
46 |
|
||||
|
|
|
∑xi ni |
=163 1+165 1+168 2 +169 1+171 2 + ...+ |
|
|
|
= |
i=1 |
||
x |
|||||
|
|
||||
|
|
|
n |
170 |
|
+ 212 1+ 213 1+ 214 2 + 223 1 = 32464 =190,96 ≈191,0. 170 170
Цю ж величину можна дістати за формулою (2.2), взявши С = 193. Тоді
x = ( −30) 1+ ( −28) 1+ ( −25) 2 + ( −24) 1+ ( −22) 2 +...+
|
|
|
|
|
|
170 |
|
||
|
+19 1+20 1+21 2 +30 1+193 = −346 +193 =190,96 ≈191,0. |
||||||||
|
|
|
170 |
170 |
|
||||
|
2. Дисперсію |
|
2 |
підраховуємо за формулою (2.5): |
|||||
σ |
|||||||||
46 |
−C )2 ni |
|
|
|
|
||||
|
|
∑( xi |
|
|
−C )2 = 900 1 |
+ 784 1+ 625 2 + 576 1 +...+ |
|||
|
2 = |
i=1 |
|
|
|
−( |
|
||
σ |
|
|
|
x |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n |
|
|
|
170 |
||
11
+ 361 1+ 400 1+ 441 2 + 900 1−(191−193)2 = 170
= 17964 −4 =105,67 − 4 =101,67. 170
3. Середньоквадратичне відхилення
σ = 
σ 2 = 
101,67 ≈ 10,1.
4.Мода Мo = 193.
5.Медіана Мe = х24 = 192.
6.Коефіцієнт варіації V = σ 100 % = 10,1 100 % = 5,3 %. x 191
Б. Інтервальний варіаційний ряд (див. табл.1.3)
1. Вибіркове середнє обчислюємо за формулою (2.1), в якій за варіанти хі беруть середини інтервалів. Тоді
|
|
|
= 1 |
9 |
|
|
|
|
|
166,5 5 +173,5 13 |
+180,5 17+187,5 38+194,5 60 |
|
|||||
|
|
|
∑xi ni = |
+ |
|||||||||||||
x |
|||||||||||||||||
|
170 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
n i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
+ |
201,5 21+208,5 11+215,5 4 +222,5 1 |
= |
32561 |
=191,5. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
170 |
|
|
170 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2. Дисперсія |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 = 1 |
9 |
|
|
|
|
)2 ni = 625 5 + 324 |
13 +121 17 +16 38+ 9 60 +100 21+ |
|||||||||
σ |
∑( x |
i |
− |
x |
|||||||||||||
|
|
|
n i=1 |
|
|
|
|
170 |
|
|
|
||||||
+ 289 11+ 576 4 + 964 = 19089 =112,27.
170170
3.Середньоквадратичне відхилення
|
σ = |
σ 2 = |
112 ,27 ≈ 10,6. |
|
|
||
4. Моду Мo знаходимо за формулою (2.7) при х0 = 191; h = 7; |
|||||||
ns = 60; ns–1 = 38; ns+1 = 21: |
|
|
|
|
|
||
Mo =191+ 7 |
|
60 |
− 38 |
|
=191+ 7 |
22 |
=193,5. |
(60 − 38) |
|
|
22 + 39 |
||||
|
+ (60 − 21) |
|
|||||
12
5.Медіану Мe визначаємо за формулою (2.9), враховуючи, що
x=191,5 утримується у медіанному інтервалі (191, 198); х0 = 191; h = 7; n = 170; Ts–1 = 5 + 13 + 17 + 38 = 73; ns = 60. Отже,
Me =191+ 7 85 − 73 =191+ 7 22 ≈193,6.
60 |
|
60 |
|
||
6. Коефіцієнт варіації V = |
|
100 % = |
|
10,6 |
100 % = 5,5 %. |
σ |
|||||
|
191,54 |
||||
|
x |
|
|
||
Лабораторна робота ¹ 3
РОЗРАХУНОК ОСНОВНИХ ЧИСЛОВИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВИБІРКИ: ЗАСТОСУВАННЯ УМОВНИХ ВАРІАНТ І МЕТОДУ ДОБУТКІВ
1. Основні теоретичні відомості
Для варіаційного ряду, який містить варіанти, рівно відставлені одна від одної, розрахунок числових характеристик вибірки спрощується, якщо застосовувати умовні варіанти. Ці варіанти визначаються формулою
ui = xi −C , h
де С – "хибний нуль" (значення C звичайно вибирають найближче до середини варіаційного ряду і бажано таке, що має найбільшу частоту); h – крок варіаційного ряду.
Використовуючи значення умовних варіант ui, обчислюють так звані умовні моменти чотирьох порядків за наступними формулами:
M1* = 1 |
k |
M2* = 1 |
k |
∑ui ni ; |
∑ui2 ni ; |
||
n i=1 |
n i=1 |
||
13
|
1 |
k |
|
1 |
k |
|
M3* = |
∑ ui3 ni ; |
M4* = |
∑ ui4 ni |
|||
|
|
|||||
|
n i=1 |
|
n i=1 |
|||
– і потім центральні моменти другого, третього і четвертого порядків за формулами:
m2 = (M2* – (M1*)2)h2;
m3 = (M3* – 3M2*M1* + 2(M1*)3)h3;
m4 = (M4* – 4M3*M1* + 6M2*(M1*)2 – 3(M1*)4)h4.
Користуючись наведеними вище умовними моментами першого і другого порядків, визначають:
1)вибіркове середнє x = M1*h + C;
2)вибіркову дисперсію σ2 = (M2* – (M1*)2)h2 = m2;
3) середньоквадратичне відхилення σ = 
σ 2 .
Крім того, за допомогою центральних моментів третього і четвертого порядків знаходять додаткові характеристики вибіркового
розподілу: |
|
m3 |
|
|
|
|
|
|
||||
4) |
коефіцієнт схилення (асиметрії) a |
= |
і |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
s |
|
σ 3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5) |
коефіцієнт гостровершинності (ексцесу) e |
|
= |
|
m |
4 |
– 3. |
|||||
k |
|
|
4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
||
Слід узяти до уваги, що додатне та від'ємне значення коефіцієнта as визначають схилення кривої розподілу відповідно у правий або лівий бік. Додатне та від'ємне значення коефіцієнта ek свідчать відповідно про гостровершинність або плосковершинність кривої вибіркового розподілу.
2. Методичні вказівки
Лабораторну роботу розраховано на 4 години.
Завдання. Застосовуючи для кількісної ознаки 1 у вибірці А1 і побудованого варіаційного ряду (див. лабораторну роботу № 1) умовні варіанти й метод добутків, обчислити п'ять указаних вище характеристик даного вибіркового розподілу.
Зразок виконання завдання
Виконуємо вказане вище завдання для вибірки А0 (див. лабора-
14
торну роботу № 1), використавши побудований інтервальний варіаційний ряд (див. табл.1.3).
За початкові значення варіант xi візьмемо середини інтервалів, а за "хибний" нуль значення C = 194,5. Для розрахунку умовних моментів складемо таблицю (табл.3.1).
Таблиця 3.1
i |
Ii |
xi |
ni |
ui |
niui |
niui2 |
niui3 |
niui4 |
1 |
163...170 |
166,5 |
5 |
–4 |
–20 |
80 |
–320 |
1280 |
2 |
170...177 |
173,5 |
13 |
–3 |
–39 |
117 |
–351 |
1053 |
3 |
177...184 |
180,5 |
17 |
–2 |
–34 |
68 |
–136 |
272 |
4 |
184...191 |
187,5 |
38 |
–1 |
–38 |
38 |
–38 |
38 |
5 |
191...198 |
194,5 |
60 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
198...205 |
201,5 |
21 |
1 |
21 |
21 |
21 |
21 |
7 |
205...212 |
208,5 |
11 |
2 |
22 |
44 |
88 |
176 |
8 |
212...219 |
215,5 |
4 |
3 |
12 |
36 |
108 |
324 |
9 |
219...226 |
222,5 |
1 |
4 |
4 |
16 |
64 |
256 |
|
Сума |
– |
170 |
– |
–72 |
420 |
–564 |
3420 |
Після заповнення цієї таблиці підрахуємо потрібні суми по відповідних стовпчиках і визначимо умовні й центральні моменти, враховуючи при цьому, що крок варіаційного ряду h = 7:
M* = |
|
|
1 |
|
( −72 ) = −0,42; |
||
|
|
|
|||||
1 |
170 |
|
|
||||
|
|
|
|||||
M* = |
|
1 |
|
420 = 2,47; |
|||
|
|
|
|||||
2 |
170 |
|
|
||||
|
|
|
|||||
M * = |
|
1 |
|
(−564 ) = −3,32; |
|||
|
|
||||||
3 |
170 |
|
|
||||
|
|
|
|||||
M * = |
|
1 |
|
3420 = 20,12; |
|||
|
|
||||||
4 |
170 |
|
|
||||
|
|
|
|||||
m2 = (2,47 – (–0,42)2) 72 = 112,27;
m3 = (–3,32 – 3 2,47 (–0,42) + 2 (–0,42)3) 73 = –113,36;
m4 = (20,12 – 4 (–3,32) (–0,42) + 6 2,47 (–0,42)2 – 3 (–0,42)4) 74 = = 40960,19.
Обчислимо необхідні вибіркові характеристики:
x = M1* h + C = –0,42 7 + 194,5 = 191,54;
15
|
σ |
2 = m = 112,27; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= 112,27 = 10,60; |
||||
|
σ = |
|
|
|
σ |
||||||||
a |
= |
m3 |
= |
−113,36 |
= −0,095; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
s |
|
|
σ3 |
|
10,63 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
e |
= |
m |
4 |
|
– 3 = |
40960,19 |
−3 = 0,250. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
k |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
10,64 |
|
||
|
|
|
σ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Аналіз одержаних статистичних характеристик свідчить про те, що даний вибірковий розподіл є майже симетричним, незначно від'ємно (у лівий бік) схиленим і трохи гостровершинним.
Лабораторна робота ¹ 4
ІНТЕРВАЛЬНА ОЦІНКА ПАРАМЕТРІВ ГЕНЕРАЛЬНОЇ СУКУПНОСТІ. ПОБУДОВА ДОВІРЧИХ ІНТЕРВАЛІВ
1. Основні теоретичні відомості
Основні характеристики вибіркового розподілу ( x , σ2 , σ ) є точковими оцінками відповідних параметрів генеральної сукупності – генеральних середнього, дисперсії й середньоквадратичного відхилення. Для вибірок невеликого об'єму точкові оцінки можуть значно відрізнятися від оцінюваного параметра. Тому у випадку малих вибірок застосовують інтервальні оцінки. Інтервальну оцінку даного параметра знаходять, враховуючи задану надійність, або довірчу ймовірність, тобто ймовірність, з якою шуканий інтервал покриває дійсне значення оцінюваного параметра. Одержаний за такою умовою інтервал називають довірчим інтервалом для оцінюваного параметра.
Нехай задано вибірку об'єму n із деякої генеральної сукупності, основні параметри якої невідомі. Побудову довірчих інтервалів для
16
цих параметрів починають з визначення їх точкових оцінок:
|
|
= |
1 |
n |
|
2 = |
1 |
n |
− |
|
2 . |
|
x |
∑xi ; |
σ |
∑xi2 |
x |
||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n i=1 |
|
|
n i=1 |
|
|
|
||
Оскільки вибіркова дисперсія є зміщеною оцінкою генеральної дисперсії, доцільно скористатися так званою виправленою дисперсією
s 2 = n σ 2 і відповідним середньоквадратичним відхиленням n −1
s = 
s 2 .
Довірчий інтервал для математичного сподівання xг досліджуваної кількісної ознаки генеральної сукупності створюється за до-
помогою величини δ = t |
γ |
s , |
де t треба вибрати з таблиці кри- |
|
n |
γ |
|
|
|
|
тичних точок t-розподілу Стьюдента (дод.3) для заданої надійності (γ) і кількості ступенів вільності (n – 1). Шуканий довірчий інтервал
( x – δ, x + δ) задовольняє співвідношення p( x – δ < xг < x + δ) = γ. Межі довірчих інтервалів для генеральної дисперсії й генераль-
ного середньоквадратичного відхилення знаходять після розрахун-
ку допоміжних величин |
p |
= |
|
1− γ |
, p |
|
=1− p , r = n – 1 і вибору відпо- |
|
2 |
||||||
|
1 |
|
2 |
|
1 |
||
відних значень χ2 = f (p, r) |
|
|
|
|
|||
з таблиці критичних точок χ2-розподілу |
|||||||
(дод.4). Ці межі обчислюються за формулами D = |
|
2 |
n −1 |
; |
|||||||||||||
s |
|||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
χ2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
D2 = s 2 |
; |
σ = |
D ; |
σ = |
|
D . Шукані довірчі інтервали за да- |
|||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
χ22 |
1 |
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ним рівнем надійності γ |
набувають вигляду |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p(D |
< |
|
2 |
< D ) = γ; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
г |
2 |
|
|
|
|
|
p(s1 < σ г < s2) = γ.
2. Методичні вказівки
Лабораторну роботу розраховано на 2 години.
Завдання. Використовуючи вибірку А2, створену з перших n пар значень вибірки А1, визначити з надійністю γ (див. таблицю в
17
пояснювальній записці) довірчі інтервали для генерального середнього, генеральної дисперсії й генерального середньоквадратичного відхилення кількісних ознак 1 і 2.
Зразок виконання завдання
Виконуємо вказане вище завдання для вибірки В0, яку створюють перші 24 значення вибірки А0 (див. табл.1.1); при цьому довірчу ймовірність візьмемо рівною γ = 0,9.
Розрахуємо основні вибіркові характеристики для наведеної нижче вибірки В0 об'єму n = 24.
|
187 |
|
193 |
|
199 |
197 |
196 |
|
184 |
|
200 |
193 |
|
198 |
|
191 |
|
193 |
188 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
193 |
|
195 |
|
197 |
199 |
202 |
|
193 |
|
190 |
197 |
|
195 |
|
182 |
|
201 |
202 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 ∑xi = |
1 |
(187+193+199+197+...+ |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n i=1 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+182 +201+202) = 4665 =194,38; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
24 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x2 |
∑xi2 |
= |
(1872 |
+1932 +1992 |
+1972 + ...+1822 |
+ 2012 |
+ 2022 ) = |
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
i=1 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 907427 = 37809,46; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 = x 2 − ( |
|
)2 |
= 37809,46 −194,382 |
= 27,82; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
σ |
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||
σ = 
σ2 = 
27,82 ≈5,27.
Оскільки об'єм вибірки В0 невеликий, потрібне виправлення знайденої дисперсії й відповідного середньоквадратичного відхилення:
|
|
|
n |
|
σ2 = 24 |
|
|
|
|
|
|
|
s 2 |
= |
|
27,82 = 29,0 |
i |
|
= s2 |
= 29,0 ≈5,39. |
|||
|
|
s |
|||||||||
|
n −1 |
||||||||||
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
||
З таблиці дод.3 для γ = 0,9 і |
n – 1 = 23 |
визначимо критичне |
|||||||||
18
значення t = 1,714. Тоді δ = t |
s |
=1,714 5,39 =1,88 і довірчий інтер- |
γ |
γ |
24 |
|
n |
вал для генерального середнього набуває вигляду 194,38 – 1,88 < xг < < 194,38 + 1,88, або xг = 194,38 ± 1,88.
Отже, з довірчою ймовірністю γ = 0,9 можна стверджувати, що середнє значення розглядуваної ознаки в генеральній сукупності знаходиться в інтервалі 192,49...196,26:
p(192,49 < xг < 196,26) = 0,9.
Для побудови інших довірчих інтервалів розрахуємо наступні значення:
|
1− γ |
1− 0,9 |
|||
p1 = |
|
= |
|
= 0,05; p2 =1− p1 =1− 0,05 = 0,95; r = n −1 = 23. |
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
|||
У таблиці дод.4 знайдемо відповідні критичні точки χ2-розпо- ділу:
χ12 = f ( p1 , r ) = f ( 0,05; 23 ) = 35,2; χ 22 = f ( p2 , r ) = f ( 0,95; 23 ) =13,09.
Після цього визначаємо межі довірчих інтервалів для генеральної дисперсії й генерального середньоквадратичного відхилення:
|
= |
|
|
n −1 |
|
= 29,0 |
23 |
=18,97; |
|
|
|
|
n −1 |
= 29,0 23 = 51,0; |
||
D |
s 2 |
D |
2 |
= s 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
χ2 |
35,2 |
|
|
|
|
χ |
2 |
13,09 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
σ1 = |
D1 = 18,97 = 4,36; |
σ2 = |
D2 |
= |
51,0 = 7,14. |
||||||||||
Таким чином, отриманий довірчий інтервал для генеральної дисперсії
p(18,97 < σ г2 < 51,0) = 0,9
і для генерального середньоквадратичного відхилення
p( 4,36 < σ г < 7,14 ) = 0,9.
Інакше кажучи, з імовірністю γ = 0,9 можна стверджувати, що в досліджуваній генеральній сукупності дисперсія ознаки X знаходиться в інтервалі 18,97...51,0, а її середньоквадратичне відхилення належить інтервалу 4,36...7,14.
19
Лабораторна робота ¹ 5
ПЕРЕВІРКА ГІПОТЕЗИ ПРО НОРМАЛЬНИЙ РОЗПОДІЛ ГЕНЕРАЛЬНОЇ СУКУПНОСТІ
1. Основні теоретичні відомості
Якщо закон розподілу генеральної сукупності невідомий, але є підстава припустити, що він має певний вид А, то перевіряють нульову гіпотезу: генеральна сукупність розподілена за законом А. Перевірка цієї гіпотези здійснюється за допомогою спеціально підібраної величини – критерію узгодження.
Є декілька критеріїв узгодження: Пірcона, Колмогорова, Смірнова та ін.
Для перевірки гіпотези про нормальний розподіл використовується критерій узгодження Пірcона. Головна думка полягає в тому, щоб порівняти емпіричні (спостережені) і теоретичні (обчислені за припущенням наявності нормального розподілу) частоти.
Як критерій перевірки нульової гіпотези H0 (генеральна сукупність розподілена за нормальним законом) береться випадкова величина
|
k |
( ni |
~ |
) |
2 |
|
|
χ2 |
= ∑ |
− ni |
|
, |
(5.1) |
||
|
~ |
|
|
||||
|
i=1 |
|
ni |
|
|
|
|
~ |
– теоретичні частоти нормального роз- |
||||||
де ni – емпіричні частоти; ni |
|||||||
поділу; k – кількість інтервалів варіаційного ряду, побудованого за даними вибірки.
Чим менше розрізняються емпіричні й теоретичні частоти, тим менша величина χ2. Таким чином, критерій характеризує близькість теоретичного й емпіричного розподілів.
Критичне значення (межу правобічної критичної області) χ2крит(α, r) знаходять за таблицею критичних точок розподілу χ2 (див. дод.4) з використанням двох параметрів: заданого рівня значимості α і числа ступенів вільності r = k – 3 (k – кількість інтервалів варіаційного ряду).
У випадку, якщо спостережене значення критерію χ2спост, визначене за співвідношенням (5.1), виявиться меншим, ніж χ2крит, то не-
20