финансов.матем
.pdf
Основы финансовых вычислений
процентов, то никакие зачеты в сумме долга не делаются. Та- кое поступление приплюсовывается к следующему платежу.
Для случая, показанного на рис. 5 б), получим сле- дующие расчетные формулы для определения остатка за- долженности:
K1=D0(1+t1i)-R1; |
K2=K1(1+t2i)-R2; |
K2(1+t3i)-R3=0, |
где периоды времени t1, t2, t3 – заданы в годах, а процентная ставка i – годовая.
Правило торговца
Правило торговца является другим подходом к расчету частичных платежей. Здесь возможны две ситуации.
1)Если срок ссуды не превышает, сумма долга с начис- ленными за весь срок процентами остается неизменной до полного погашения. Одновременно идет накопление частич- ных платежей с начисленными на них до конца срока про- центами.
2)В случае, когда срок превышает год, указанные выше расчеты, делаются для годового периода задолженности. В конце года из суммы задолженности вычитается наращенная сумма накопленных частичных платежей. Остаток погашается
вследующем году.
При общем сроке ссуды T≤1 алгоритм можно записать следующим образом
m
S = D − K = P(1+Ti) −∑R j (1+t j i),
j=1
где S – остаток долга на конец срока,
D – наращенная сумма долга,
K – наращенная сумма платежей, Rj – сумма частичного платежа,
tj – интервал времени от момента платежа до конца срока, m – число частичных (промежуточных) платежей.
51
Финансовая математика
Переменная сумма счета и расчет процентов
Рассмотрим ситуацию, когда в банке открыт сберега- тельный счет, и сумма счета в течение срока хранения изме- няется: денежные средства снимаются, делаются дополни- тельные взносы. Тогда в банковской практике при расчете процентов часто используют методику расчета с вычислением так называемых процентных чисел. Каждый раз, когда сумма на счете изменяется, вычисляется процентное число Cj за про- шедший период j, в течение которого сумма на счете остава- лась неизменной, по формуле
C j = 100Pj t j ,
где tj – длительность j-го периода в днях.
Для определения суммы процентов, начисленной за весь срок, все процентные числа складываются и их сумма делится на постоянный делитель D:
D = Ki ,
где K – временная база (число дней в году, т.е. 360 либо 365 или 366), i – годовая ставка простых процентов (в %).
При закрытии счета владелец получит сумму равную последнему значению суммы на счете плюс сумму процентов.
Пример 14.
Пусть 20 февраля был открыт счет до востребования в размере P1=3000 руб., процентная ставка по вкладу равнялась i=20% годовых. Дополнительный взнос на счет составил R1=2000 руб. и был сделан 15 августа. Снятие со счета в разме- ре R2=-4000 руб. зафиксировано 1 октября, а 21 ноября счет был закрыт. Требуется определить сумму процентов и общую сумму, полученную вкладчиком при закрытии счета.
Решение.
Расчет будем вести по схеме (360/360). Здесь имеются три периода, в течение которых сумма на счете оставалась неиз- менной: с 20 февраля по 15 августа
(P1 = 3000, t1 = 10 + 5*30 + 15 = 175),
52
Основы финансовых вычислений
с 15 августа по 1 октября
(P2 = P1 + R1 = 3000 + 2000 = 5000 руб., t2 = 15 + 30 + 1 = 46),
с 1 октября по 21 ноября
(P3 = P2 + R2 = 5000 – 4000 = 1000 руб., t3 = 29 + 21 = 50).
Найдем процентные числа
C1 = P1001 *t1 = 3000100*175 = 5250 , C2 = P1002 *t2 = 5000100*46 = 2300, C3 = P1003 *t3 = 1000100*50 = 500.
Постоянный делитель
D=K/i=360/20=18.
Сумма процентов равна
I = (C1 +C2 +C3 )/ D = 5250 + 2300 +500 = 447 руб. 22 коп. 18
Сумма, выплачиваемая при закрытии счета, равна
P3 + I = 1000 + 447.22 = 1447 руб. 22 коп.
Теперь покажем связь этой методики с формулой про- стых процентов. Рассмотрим в алгебраическом виде представ- ленный выше пример.
Cумму, выплачиваемую при закрытии счета, найдем следующим образом
P |
+ I = |
P |
+ R |
|
+ R |
2 |
+ |
P1t1 +(P1 + R1 )t2 +(P1 + R1 + R2 )t3 |
|
i |
|
= |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
P |
|
+ |
t |
+t |
2 |
+t |
3 |
|
|
i |
|
+ |
R |
|
+ |
t |
2 |
+t |
3 |
|
i |
|
+ R |
|
+ |
t |
3 |
|
|
|
i |
|
|||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
K |
|
|
100 |
|
|
K |
|
100 |
K 100 |
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
Таким образом, мы получили выражение, из которого следует, что на каждую сумму, добавляемую или снимаемую
53
Финансовая математика
со счета, начисляются проценты с момента совершения соот- ветствующей операции до закрытия счета. Эта схема соответ- ствует правилу торговца, рассмотренному в разделе 6.2.
Изменение условий контракта
В практике часто возникает необходимость в изменении условий контракта: например, должник может попросить об отсрочке срока погашения долга или, напротив, изъявить же- лание погасить его досрочно, в ряде случаев может возник- нуть потребность объединить (консолидировать) несколько долговых обязательств в одно и т.д. Во всех этих случаях при- меняется принцип финансовой эквивалентности старых (за- меняемых) и новых (заменяющих) обязательств. Для решения задач по изменению условий контракта разрабатывается так называемое уравнение эквивалентности, в котором сумма заме- няемых платежей, приведенных к какому-либо одному мо- менту времени, приравнивается сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Для краткосроч- ных контрактов применяются простые процентные ставки, а для средне- и долгосрочных – сложные ставки.
54
Анализ финансовых потоков
ЧАСТЬ II.
АНАЛИЗ ФИНАНСОВЫХ ПОТОКОВ
Введение
Многие финансовые, кредитные и коммерческие опера- ции предполагают выплату одной из сторон регулярных пе- риодических платежей, которые образуют поток платежей. Такие потоки характеризуются рядом параметров, совокуп- ность которых существенно влияет на доходность операции. К таким параметрам относятся: сумма платежа (размер регу- лярных инвестиций, взносов, выплат и т.п.), периодичность поступлений или выплат, способы начисления процентов, срок операции и т.д. Важнейшей задачей при этом является расчет конечных финансовых результатов, определение их чувствительности к значениям параметров, разработка усло- вий соглашений, эквивалентное изменение условий контрак- тов и т.д.
В данном курсе рассматриваются методы количествен- ного анализа последовательности (потоков) платежей, в част- ности, финансовых рент (аннуитетов). Такие методы имеют важное значение в практике финансовых расчетов при разра- ботке планов выполнения ряда операций. Например, в анали- зе долгосрочных кредитных операций, сопоставлении инве- стиционного потока платежей и потока возврата, в разработке планов формирования фонда или погашения долга, в оценке и сравнении эффективности инвестиционных проектов, рас- чете лизинга, ипотеки, страховых операций и т.д.
Настоящее пособие представляет собой вторую часть курса, состоящего из двух дисциплин: «Основы финансовых расчетов» и «Анализ финансовых потоков». В первой части
55
Финансовая математика
были рассмотрены основные понятия, которыми оперируют в финансовых вычислениях, такие как процент, ставка процен- та, учетная ставка, современная (текущая) стоимость платежа и т.д., методы наращения и дисконтирования платежей, принципы, лежащие в основе финансовых вычислений, со- временная практика расчетов.
Данное пособие предполагает, что систематизированное изложение основных понятий и методов финансовых вычис- лений, данное нами в первой части, в курсе «Основы финан- совых расчетов», читателю уже известно.
В «Анализе финансовых потоков» будут даны основы количественного анализа последовательности (потоков) пла- тежей, в частности, – финансовых рент (аннуитетов). Потоки денежных платежей часто встречаются в практике. Например, регулярные взносы для формирования какого-либо фонда (инвестиционного, страхового, пенсионного, для погашения долга), периодическая уплата процентов, доходы по облига- циям или ценным бумагам, выплата пенсий, поступление до- ходов от коммерческой или предпринимательской деятельно- сти, налоговые платежи и т.д. Полнее с методами расчетов, разработанными для анализа различных видов финансовых рент (в том числе с переменными размерами платежей), мож- но познакомиться в специальной литературе и, в частности, в книге Е.М.Четыркина, указанной в разделе «Литература». Такие методы имеют важное значение в практике финансовых расчетов и позволяют определить как обобщающие характе- ристики рент (наращенную сумму, текущую стоимость), так и отдельные их параметры.
Материал пособия имеет общий характер и может быть применен в расчетах часто встречающихся на практике фи- нансовых операций: расчете кредитных и коммерческих опе- раций, эффективности инвестиционной и предприниматель- ской деятельности.
Учебное пособие предназначено для студентов, изу- чающих принципы и методы финансового анализа потоков платежей, и специалистов-практиков, желающих расширить свои знания и повысить квалификацию.
56
Анализ финансовых потоков
Анализ финансовых потоков
Программа дисциплины
|
|
|
|
|
Аудиторные |
|
|
Наименование |
|
занятия |
|
|
|
Всего часов |
(лекции |
||
|
|
разделов и тем |
|||
|
|
|
и практиче- |
||
|
|
|
|
|
ские) |
Раздел I. Потоки платежей |
|
|
|||
Тема 1. Финансовые ренты (аннуитеты) |
12 |
9+3 |
|||
Раздел II. Кредитные операции |
|
|
|||
Тема 2. Анализ кредитных операций |
5 |
4+1 |
|||
Тема3. Форфейтнаякредитнаяоперация |
2 |
2 |
|||
Тема 4. Ипотечные ссуды |
1 |
1 |
|||
Тема 5. Льготные займы и кредиты |
1 |
1 |
|||
Раздел III. Потоки платежей в произ- |
|
|
|||
водственной деятельности |
|
|
|||
Тема |
6. |
Определение |
оптимального |
2 |
|
уровня денежных средств |
1+1 |
||||
Тема |
7. |
Показатели |
эффективности |
4 |
|
производственных инвестиций. |
2+2 |
||||
Тема 8. Аренда оборудования (лизинг) |
1 |
1 |
|||
Раздел IV. Потоки платежей в усло- |
|
|
|||
виях риска и неопределенности |
|
|
|||
Тема |
9. |
Неопределенность размеров |
2 |
|
|
платежа |
|
|
2 |
||
Тема 10. Риск невозврата |
1 |
1 |
|||
ВСЕГО: |
|
|
32 |
32 |
|
57
Финансовая математика
Содержание тем:
Раздел I. Потоки платежей
Тема 1. Финансовые ренты (аннуитеты)
Потоки платежей. Определение финансовой ренты и ее параметров. Виды ренты, различные принципы классифика- ции. Вывод формул для расчета наращенной (будущей) и со- временной (текущей) стоимости обычной ренты постнуме- рандо. Вывод формул для различного числа платежей в году и для различной частоты начисления процентов. Определение других параметров ренты (размера платежа, срока, процент- ной ставки). Два метода расчета процентной ставки ренты: метод линейной интерполяции, метод Ньютона-Рафсона. Другие виды ренты: пренумерандо, отсроченная рента, веч- ная рента. Расчет ренты при переменной ставке процентов.
Приложения:
Расчетные задачи по определению параметров ренты. Конверсия аннуитетов. Изменение условий контрактов. Рас- чет кривой доходности, форвардных (наведенных) ставок.
Раздел II. Кредитные операции
Тема 2. Анализ кредитных операций
Долгосрочные кредиты. Расходы по обслуживанию долго- срочных кредитов. Планирование погасительного фонда. По- гашение кредита в рассрочку. Льготные займы и кредиты. Грант-элемент. Реструктурирование займа. Полная доходность кредитной операции. Баланс финансово-кредитной операции. Доходность ссудных и учетных операций с удержанием комис- сионных. Доходность купли-продажи финансовых инструмен- тов. Доходность потребительского кредита. Коммерческий кре- дит, сравнение коммерческих контрактов и условий кредита. Рейтинг контрактов. Определение предельных значений пара- метров контракта, обеспечивающих конкурентоспособность.
Приложения:
Методы погашения долга. Создание на определенную дату погасительного фонда с помощью потока регулярных
58
Анализ финансовых потоков
платежей. Погашение текущего долга равномерными плате- жами в течение оговоренного срока. Расчет действительной доходности кредитора по потребительскому кредиту.
Тема 3. Форфейтная кредитная операция
Сущность операции а форфэ. Анализ позиции продав- ца, покупателя и банка.
Тема 4. Ипотечные ссуды
Виды ипотечных ссуд. Стандартная ипотека. Нестан- дартные ипотеки. План (график) погашения долга. Расчетные примеры.
Тема 5. Льготные займы и кредиты
Абсолютный грант-элемент. Относительный грант- элемент.
Раздел III. Потоки платежей в производственной деятельности
Тема 6. Определение оптимального уровня денежных средств
Модель Баумоля. Модель Миллера-Орра. Анализ дина- мики распределения кассовых остатков с помощью адаптив- ной гистограммы. Проблема оптимальности. Примеры.
Тема 7. Показатели эффективности производственных ин- вестиций
Чистый приведенный доход. Срок окупаемости. Внут- ренняя норма доходности. Рентабельность. Достоинства и не- достатки этих критериев. Расчетные примеры.
Тема 8. Аренда оборудования (лизинг)
Виды лизинга. Расчет платежей по лизингу.
Раздел IV. Потоки платежей в условиях риска и неопределенности
Тема 9. Неопределенность размеров платежа
Учет неопределенности в расчетах параметров рент. Примеры.
Тема 10. Риск невозврата
Учет риска в потоках платежей при заключении сделок. Примеры.
59
Финансовая математика
Раздел I.
Потоки платежей
Очень часто в контрактах финансового характера преду- сматриваются не отдельные разовые платежи, а серию плате- жей, распределенных во времени. Примерами могут быть ре- гулярные выплаты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными на него процентами, периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некото- рый фонд различного назначения (инвестиционный, пенси- онный, страховой, резервный, накопительный и т.д.), диви- денды, выплачиваемые по ценным бумагам, выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр. Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей. Выплаты пред- ставляются отрицательными величинами, а поступления – положительными.
Обобщающими характеристиками потока платежей яв- ляются наращенная сумма и современная величина. Каждая из этих характеристик является числом.
Наращенная сумма потока платежей это сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.
Под современной величиной потока платежей пони-
мают сумму всех его членов, дисконтированных (приведен- ных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.
Конкретный смысл этих обобщающих характеристик определяется природой потока платежей, причиной, его по- рождающей. Например, наращенная сумма может представ- лять собой итоговый размер формируемого инвестиционного или какого-либо другого фонда, общую сумму задолженно- сти. Современная величина может характеризовать приве- денную прибыль, приведенные издержки.
60