Labaratorni_z_fiziki__vidpovidi_na_kontrolni

Підставивши функцію (2.8.6) і другу похідну від неї за часом у рівняння (2.8.5), переконуємося, що функція (2.8.6) є розв’язком диференціального рівняння (2.8.5).

Із рівняння (2.8.4) для пружинного маятника маємо

Відповідно частота та період вільних коливань дорівнюють

Розглянемо пружинний маятник, який виконує коливальні рухи у середовищі, яке чинить опір його руху, що дає підстави вважати – сила тертя не дорівнює нулю. Сила опору пропорційна швидкості i завжди направлена проти руху маятника:

T

dt

де r – коефіцієнт опору.

Запас енергії коливальної системи буде витрачатися на виконання роботи проти сили тертя, тому амплітуда коливань буде зменшуватися з часом. Такі коливання є затухаючими.

Складемо рівняння руху для такого пружинного маятника.

m

де β – коефіцієнт затухання.

71

Рівняння типу (2.8.15) називають диференційним рівнянням затухаючих коливань. Легко переконатися, що його розв’язком можуть бути функції (рис. 2.8.2):

затухаючих коливань.

Амплітуда затухаючих коливань змінюється за законом

A(t+nT)

t

T nT

Рис.2.8.2

Циклічна частота затухаючих коливань ω системи менша за власну циклічну частоту ω0 :

Швидкість затухання коливальних рухів характеризується декрементом затухання δ . Декрементом затухання називають відношення двох амплітуд, інтервал часу між якими дорівнює періоду коливаньT :

а натуральний логарифм відношення двох сусідніх амплітуд відповідно називають логарифмічним декрементом затухання:

A(n+1) A(t +T )

Визначивши експериментально логарифмічний коефіцієнт затухання λ і період коливань T , можна знайти коефіцієнт затухання коливальної системи

nT

73

Порядок виконання роботи та обробка результатів експерименту

Завдання 1

Визначення коефіцієнта пружності пружини.

1.Підвісити до маятника

1.Зважити робоче тіло (важок) пружинного маятника на лабораторній вазі. Записати значення маси m0 важка у таблицю 2.8.2.

2.Зняти платформу маятника. Підвісити до пружини робоче тіло маятника без платформи. Зафіксувати та записати у

таблицю 2.8.3 величину L 0 положення рівноваги маятника.

3. Відведіть маятник від положення рівноваги та відпустіть його. За допомогою секундоміра визначте час τ , протягом якого маятник виконає N = 15...30 повних коливань. Обчисліть період T = τ / N та циклічну частоту затухаючих коливань ω = 2πν = 2π / T . Дані занесіть у таблицю 2.8.2.

74

4. Відведіть маятник до нижньої мітки шкали L n . Визначте

7. Запишіть кінематичне рівняння затухаючих коливань для досліджуваного пружинного маятника. Для цього параметри A0 , β ,ω у

рівнянні (2.8.17) потрібно замінити числовими значеннями.

8. Збільшіть опір маятника, підвісивши до навантаженої платформи один із наявних демпферів (легкий пінопластовий диск з великою площею поперечного перерізу) та проведіть досліди згідно з пунктами 1-7. Дані занесіть у таблицю 2.8.3 (її форма аналогічна до форми таблиці 2.8.2).

Контрольні питання

1.Гармонічні коливання. Вільні коливання. Основні характеристики вільних коливань. Диференційне рівняння вільних коливань. Пружинний, крутильний, фізичний та математичний маятники (с. 68-72 ).

2.Затухаючі коливання. Основні характеристики затухаючих коливань. Диференційне рівняння вільних коливань та його розв’язок (с. 70-72).

3.Енергія коливальної системи.

4.Закон Гука. Модуль Юнга ([1],с. 73-78).

75

Таблиця 2.8.1 Визначення коефіцієнта пружності маятника

l0 =

№ m0, кг l , м k, Н/м εk , %

Таблиця 2.8.2. Визначення основних характеристик вільних та затухаючих коливань пружинного маятника

Лабораторна робота 1.9 Додавання гармонічних коливань

Мета роботи. Оволодіти методами одержання та спостереження складних коливальних процесів на прикладі фігур Ліссажу, набути навичок вимірювання частоти та різниці фаз.

Прилади і матеріали. 1. Осцилограф. 2. Звукові генератори (2 шт.).

Теоретичні відомості Додавання взаємно перпендикулярних коливань. Нехай

тіло бере одночасно участь у двох взаємно перпендикулярних коливальних рухах

знайдемо їх різницю; потім помножимо перше рівняння на sin ϕ2 , а друге – на sin ϕ1 і знайдемо їх різницю. Дістанемо

Ми одержали рівняння траєкторії результуючого руху тіла, яке одночасно бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях однакових частот. У загальному випадку (2.9.7) є рівнянням еліпса. Проведемо аналіз рівняння (2.9.7):

а) Різниця фаз ϕ2-ϕ1=0. Рівняння траєкторії:

Рис.2.9.1. Складання взаємно перпендикулярних коливань

При додаванні двох взаємно перпендикулярних коливань різних частот результуючі рухи тіла відбуватимуться по складних траєкторіях (їх називають фігурами Ліссажу). Вони вписані у прямокутники з сторонами, що відповідають подвійним значенням амплітуд складових коливань.

78

Фігури Ліссажу можна спостерігати за допомогою осцилографа з синусоїдальною розгорткою, для цього слід вимкнути внутрішню розгортку і подати на входи X та Y осцилографа електричні сигнали синусоїдальної форми від двох генераторів (рис. 2.9.2).

Рис.2.9.2. Експериментальна установка для калібровки генератора методом фігур Ліссажу

Плавно змінюючи еталонну частоту, добиваються нерухомої або малорухомої фігури. Якщо вона має вид прямої, еліпса або кола, то частоти коливань однакові: νx=νy.

Рис. 2.9.3. Принцип побудови осцилограми при складанні взаємно перпендикулярних коливань однакових частот

На рис. 2.9.3 показано принцип побудови фігури Ліссажу на екрані осцилографа при рівних частотах (цей принцип наочно

79

демонструє графічний метод додавання взаємно перпендикулярних коливань). Їх осцилограма являє собою фігуру у вигляді еліпса, форма якого залежить від фазових співвідношень між вхідними напругами i визначається рівняннями (2.9.8-2.9.11).

Якщо осцилограма нерухома, то це свідчить про кратність відношення періодів вхідних сигналів:

повертаються у початкове положення. Для встановлення співвідношення між частотами отриману фігуру потрібно уявно

еталонної і невідомої частот.

Якщо на вхід Y подати еталонну частоту, а на вхід X – невідому, то:

80