Примеры решений задач ТВиМС

Пример 7.6

Процесс гибели и размножения представлен графом (рис.7.8). Найти предельные вероятности состояний. Решение По формуле (7.20) найдем , по (7.21) , , т.е. в установившемся стационарном режиме в среднем 70,6% времени система будет находится в состоянии S₀, 17,6% - в состоянии S₁ и 11,8% - в состоянии S₂. Пример 7.7 Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью Я, равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону t_o6 – 2 мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера. Решения Имеем λ = 90 (1/ч), t_об = 2 мин. Интенсивность потока обслуживаний μ = 1/ t_об = 1/2 = 0,5 (1/мин) = 30 (1/ч). По (7.24) относительная пропускная способность СМО Q = 30/(90+30) = 0,25, т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит P_ОТК=0,75 (см. (7.25)). Абсолютная пропускная способность СМО по (7.26)A=90*0,25=22,5, т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок. Пример 7.8 В условиях примера 7.7 определить оптимальное число телефонных номеров в телевизионном ателье, если условием оптимальности считать удовлетворение из каждых 100 заявок на переговоры в среднем не менее 90 заявок. Решение Интенсивность нагрузки канала по формуле (7.28) р=90/30=3, т.е. за время среднего (по продолжительности) телефонного разговора tоб = 2 мин поступает в среднем 3 заявки на переговоры. Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) п = 2, 3, 4,... и определим по формулам (7.29), (7.32), (7.33) для получаемой n-канальной СМО характеристики обслуживания. Например, при п = 2   p_o=(1 + 3 + 3²/2!)^-1 = 0,118 ≈ 0,12; Q = 1-(3²/2!)*0,118 ≈ 0,471; А = 90*0,471 = 42,4. Значение характеристик СМО сведем в табл. 7.1. Таблица 7.1

Характеристика обслуживания	Обозначение	Число каналов (телефонных номеров)
		1	2	3	4	5	6
Относительная пропускная способность	Q	0,25	0,47	0,65	0,79	0,90	0,95
Абсолютная пропускная способность	A	22,5	42,4	58,8	71,5	80,1	85,3

По условию оптимальности Q ≥ 0,9, следовательно, в телевизионном ателье необходимо установить 5 телефонных номеров (в этом случае Q = 0,90 – см. табл. 7.1). При этом в час будут обслуживаться в среднем 80 заявок (А = 80,1), а среднее число занятых телефонных номеров (каналов) по формуле (7.34)  = 80, 1/30 = 2,67. Пример 7.9 В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 1/ч. Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра. Решение По условию п=3, λ=0,25 (1/ч), t_o6 =3 (ч). Интенсивность потока обслуживаний μ=1/ t_o6 =1/3=0,33. Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (7.28) р=0,25/0,33=0,75. Найдем предельные вероятности состояний: по формуле (7.29): p₀=(1+0,75+0,75²/2!+0,75³/3!)^-1=0,476; по формуле (7.30): p₁ = 0,75*0,476 = 0,357; p₂ = (0,75²/2!)*0,476 = 0,134; p₃ = (0,75³/3!)*0,476 = 0,033, т.е. в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% – имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% – две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени – три заявки (заняты три ЭВМ). Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом, Р_0ТК = р₃ = 0,033. Согласно формуле (7.32) относительная пропускная способность центра Q = 1 – 0,033 = 0,967, т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок. По формуле (7.33) абсолютная пропускная способность центра А = 0,250,967 = 0,242, т.е. в один час в среднем обслуживается 0,242 заявки. Согласно формуле (7.34) среднее число занятых ЭВМ к = = 0,242/0,33 = 0,725, т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на 72,5/3 = 24,2%. При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, здесь высокая пропускная способность СМО, а с другой – значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение. Задания 7.1.      Случайный процесс определяется формулой X(t)= Хе(- t) ( t > 0), где X – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами а и а². Найти математическое ожидание, дисперсию, корреляционную и нормированную корреляционную функции случайного процесса. 7.2.      Построить граф состояний следующего случайного процесса: система состоит из двух автоматов по продаже газированной воды, каждый из которых в случайный момент времени может быть либо занятым, либо свободным. 7.3.      Построить граф состояний системы S, представляющей собой электрическую лампочку, которая в случайный момент времени может быть либо включена, либо выключена, либо выведена из строя. 7.4.      Среднее число заказов на такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно 3. Найти вероятность того, что за две минуты поступит: а) 4 вызова; б) хотя бы один; в) ни одного вызова. (Поток заявок простейший.) 7.5.      Найти предельные вероятности для систем S, граф которых изображен на рис. 7.11 и 7.12. 7.6.      Рассматривается круглосуточная работа пункта проведения профилактического осмотра автомашин с одним каналом (одной группой проведения осмотра). На осмотр и выявление дефектов каждой машины затрачивается в среднем 0,5 ч. На осмотр поступает в среднем 36 машин в сутки. Потоки заявок и обслуживаний – простейшие. Если машина, прибывшая в пункт осмотра, не застает ни одного канала свободным, она покидает пункт осмотра необслуженной. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания профилактического пункта осмотра. 7.7.      Решить задачу 7.15 для случая п = 4 канала (групп проведения осмотра). Найти минимальное число каналов, при котором относительная пропускная способность пункта осмотра будет не менее 0,9. 7.8.      Одноканальная СМО с отказами представляет собой одну телефонную линию, на вход которой поступает простейший поток вызовов с интенсивностью 0,4 вызовов/мин. Средняя продолжительность разговора 3 мин.; время разговора имеет показательное распределение. Найти предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания СМО. Сравнить пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если разговор длился в точности 3 мин., а заявки шли одна за другой регулярно, без перерывов. 7.9.      Имеется двухканальная простейшая СМО с отказами. На ее вход поступает поток заявок с интенсивностью 4 заявки/ч. Среднее время обслуживания одной заявки 0,8 ч. Каждая обслуженная заявка приносит доход 4 ден. ед. Содержание каждого канала обходится 2 ден. ед./ч. Выяснить, выгодно или невыгодно в экономическом отношении увеличить число каналов до трех. Задания по вариантам

Варианты	Главы
	1	2	3	4	5	6	7
1	1	15	28	8.2	25	3	9
2	3	11	18	9	16	14	2
3	6	19.a	30	2	12	2.a	4.a
4	10	22.a	6	14	4	9	7
5	14	24	1	18	11	13	6
6	19	9	13	3.ав	23	5	8
7	21	5	17	17	3	2.б	5
8	2	18	9	10	30	12	3
9	9	17	29	6.1	28	1	2
10	16	23	3	16.б	13	7	4.в
11	23	1	12	14	5	11.а	1
12	7	14	25	3.бв	24	13	9
13	4	21	14	20	2	2.б	8
14	11	15	21	4	17	6	3
15	20	8	19	6.2	9	13	4.б
16	8	22.б	7	19	10	3	5
17	12	20	26	1	20	8	2
18	5	16	8	15	6	14	7
19	15	13.б	24	5.ав	21	9	1
20	18	2	11	20	1	14	4.а
21	26	5	15	2	29	4	5
22	22	10	20	7	14	11.б	9
23	13	19.б	23	11	22	10	1
24	17	23	2	16.а	26	7	3
25	24	6	27	12	18	2.а	8
26	28	3	10	5.бв	15	4	4.а
27	25	12	4	19	8	1	6
28	30	4	16	13	27	2.б	7
29	29	7	22	8.1	19	11.а	4.а
30	27	13.а	5	15	7	3	9