Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matan__teoria

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

2). Для вычисления интеграла ∫ a d r по плоской линии BC с
	BC
уравнением y = y(x), x [b,c] следует:
а) записать интеграл в координатной форме ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy ,
	BC
б) заменить y	в функциях P, Q на y(x),
в) заменить dy	′
	на y (x)dx,
г) вычислить получившийся определенный интеграл по отрезку [b, c].

3). В случае центрального поля a = f (r) r следует учесть, что r 2 = r 2 ;

дифференцируя это равенство, получим 2r d r = 2r d r									и

							rC
	∫ a d r = ∫ f (r) r d r = ∫ f (r) r d r ,
	BC	BC					rB
т.е. линейный интеграл поля сведен к определенному интегралу.
						= {x2, − yz, z}
Пример 11.1. Вычислить работу силы F						= {x2, − yz, z}			по прямолинейному пере(
мещению из точки B(1, 2, −1) в точку C (3, 3, 2) .
Решение. Работа A силы F вычисляется по формуле
	A= ∫			= ∫ x2dx− yz dy +z dz .
	A= ∫	F d r		= ∫ x2dx− yz dy +z dz .
	BC				BC
Для вычисления этого интеграла составим уравнение прямой BC :
		x −1	=		y − 2	=	z +1	= t .
		3 −1	=		3− 2	=		= t .
		3 −1			3− 2	2 +1
Отсюда x = 2t +1, y = t + 2, z = 3t −1;				dx = 2dt, dy = dt, dz = 3dt .

Найдем значение параметра t , соответствующее точке B . Для этого подставим

абсциссу x = 1 точки B в формулу x = 2t +1. Получим				tB = 0 . Аналогично найдем
tC =1 . Заменяя в интеграле x, y,		z, dx, dy, dz их выражениями, получим
A = ∫	1		2
	2

	x dx − yz dz + z dz = ∫	(2t +1) 2 − (t + 2)(3t −		1) + (3t −1) 3 dt = 26 3.
BC	0

Пример 11.2. Найти циркуляцию поля a = yi + 2 x j вдоль линии

─ дуга параболы y 2 = x, OAB ─ ломаная (рис. 67).										y
Решение. Циркуляцию поля a вычислим по формуле
C(a) = a d r		∫	a d r		+	∫	a d r +	∫	a d r .
∫		∫				∫		∫
OABO	[OA]				[AB]		BO
На отрезке OA имеем y = 0, dy = 0. Поэтому
I1 = ∫	a d r =			∫	ydx + 2 xdy = 0 .
[OA]				[OA]						0
На отрезке AB имеем x =1,				dx = 0,			0 ≤ y ≤1. Поэтому
									1
				I2 =	∫ ydx + 2 xdy = ∫2dy = 2 .
					[AB]				0

OABO , где OB

B(1,1)

Рис. 67

На дуге BO имеем x = y2,

y = y

(y − параметр),

dx = 2y dy,

=1,

y = 0 . Поэтому

I3 = ∫ y dx + 2xdy = ∫0 (y 2y + 2y

2)dy = ∫0 4y2dy = −4 .

Окончательно, C(a) = I + I

+ I

= 0+ 2 − 4 = 2 .

Пример 11.3. Вычислить циркуляцию поля a

−

по окружности (L)

+ y2

радиусом R с центром в начале координат, ориентированной против часовой стрелки.

Решение. Циркуляция поля a вычисляется по формуле

C(a) =		a d r =		−	y	dx+	x	dy .
C(a) =		a d r =		−	x2 + y2	dx+	x2 + y2	dy .
	∫		∫		x2 + y2		x2 + y2
	(L)		(L)

Для вычисления этого интеграла запишем параметриче(

ские уравнения окружности (L): x = Rcost,	y = Rsint .
Тогда dx = −Rsint dt , dy = Rcost dt ; угол t	при движении

против часовой стрелки меняется от 0 до 2π (рис. 68). По(

	2π −Rsint (−Rsint)+ Rcost Rcost										2π
этому C(a) =	∫	R	2	cos	2	t + R	2	sin	2	t	dt = ∫ dt = 2π .
	0	R		cos		t + R		sin		t	0
	0										0

(L)

РисРис. .6868

11.4. Формулы Грина и Стокса. Ротор поля

Циркуляцию, как линейный интеграл поля по замкнутому контуру, можно вы( числять способами, изложенными в п. 11.3. Однако часто удобно вычислять цир( куляцию плоского поля по формуле Грина, а циркуляцию пространственного поля ─ по формуле Стокса.

Если при обходе замкнутого контура ограниченная область остается слева, то направление обхода называют положительным. Обход в противопо( ложном направлении называют отрицательным.

Теорема 11.1. Пусть функции P(x, y), Q(x, y) и их частные производные непрерывны в области (D) с положительно ориентированной границей (L). То( гда имеет место следующая формула Грина:

	∫			∫∫
		P dx+Qdy =			∂Q −∂P dxdy		.	(11.5)
					(D) ∂x	∂y
	(L)				(D) ∂x	∂y
Доказательство проведем для			области		(D),	описываемой		неравенствами

ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x), a ≤ x ≤ b (рис. 69). Сначала проверим равенство

∫		∫∫	∂y	(11.6)
	Pdx=−		∂P dxdy .	(11.6)

(L)		(D)	∫
			∫
Сведем криволинейный интеграл P(x, y)dx				к опреде(
			L
ленному интегралу, подставляя			y = ϕ1(x) на линии AKB
и y = ϕ 2(x) на линии BMA:

y	y = ϕ2	(x)
	M	B
	M

Ky = ϕ1(x)

0	a	b	x
		b

Рис. 69

P(x, y), Q(x, y)

∫		∫		∫		b		a
∫	P(x, y)dx =	∫	P(x, y)dx +	∫	P(x, y)dx =	∫	P(x, ϕ1(x))dx+	∫
	P(x, y)dx =		P(x, y)dx +		P(x, y)dx =		P(x, ϕ1(x))dx+		P(x, ϕ2	(x))dx,
(L)		AKB		BMA		a		b

∫ P(x, y)dx = ∫[P(x, ϕ1(x))−P(x, ϕ2(x))]dx.

(L) a

Теперь преобразуем двойной интеграл, сведя его сначала к повторному, а затем к определенному интегралу:

	b	ϕ2(x)	b	y = ϕ2	(x)	b

− ∫∫	∂P dxdy = −∫dx	∫	∂P dy = −∫dx[P(x, y)]			= ∫ P(x,ϕ1(x))− P(x,ϕ2	(x)) dx .
				y = ϕ1	(x)
(D)	∂y	ϕ1(x)	∂y
	a		a			a

И криволинейный, и двойной интегралы из формулы (11.6) равны одному и то( му же определенному интегралу и, следовательно, равны между собой. Анало( гично проверяется равенство

∫		∫∫ ∂x
	Qdy =		∂Q	dxdy .	(11.7)
	Qdy =			dxdy .	(11.7)

(L)		(D)

Складывая равенства (11.6) и (11.7), получим формулу Грина.

Замечание. Нарушение условий теоремы Грина может привести к неверным

результатам. Например, для поля a = −

нетрудно проверить, что

+ y2

∂Q

∂P

∂

−y

1 (x2 + y2)− x 2x 1 (x2 + y2)− y 2y

−

= 0 ,

(x2 + y2)

(x2

+ y2)

∂x

∂y

∂x x

+ y

∂y x

+ y

но циркуляция поля по окружности (L)

с центром в начале координат отлич(

наот нуля, C (a, L) = 2π

(пример 11.3). В этом примере нарушены условия тео(

ремы Грина, т.к. внутри контура (L) содержится точка (0, 0), в которой функции не определены.

Пример 11.4. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию поля a = yi + 2 x j вдоль линии OABO (рис. 67).

Решение. Вычислим циркуляцию C =				∫	ydx+2 xdy		, используя формулу Грина
Решение. Вычислим циркуляцию C =					ydx+2 xdy		, используя формулу Грина
				OABO
		∂Q			1	1	1
для P = y, Q = 2x :	C = ∫∫	∂Q					dx = ∫(1− y	2	)dy = 1	− 1	= 2 .
для P = y, Q = 2x :	C = ∫∫		− ∂P dxdy = ∫∫ dxdy = ∫dy ∫				dx = ∫(1− y		)dy = 1	− 1	= 2 .
	(D)	∂x	∂y	(D)	0	y2	0			3	3
	(D)			(D)	0	y2	0

Сравните это решение с решением примера 11.2, где циркуляция этого поля была вычислена без формулы Грина.

Для обобщения формулы Грина на пространственный случай введем по( нятие ротора векторного поля a .

Ротором векторного поля a = {P, Q, R} называется вектор

∂

rot a

= × a

(11.8)

∂x

∂y

∂z

При вычислении rot a

следует разложить определитель по элементам первой

строки. Учитывая, что

∂

P =

∂P

∂

Q =

∂Q

∂

R =

∂R

и т. д., получим

∂x

∂y

∂R

−

∂Q

− (∂R −

∂P )

∂Q

rot a

∂x

− ∂P k .

∂y

∂z

∂x

∂z

∂y

Понятие ротора позволяет удобно вычислять циркуляцию векторного поля, опираясь на следующую теорему (доказательство теоремы опустим).

Теорема 11.2. Пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) и их частные производные непрерывны на ориентированной поверхности (σ ), натянутой на контур (L), причем ориентации контура (L) и поверхности (σ ) согласованы. Тогда имеет место следующая формула Стокса:

a d r =

∫

rot a dσ

(11.9)

∫

(L)

(σ)

В этой формуле ориентации контура (L)

и поверхности (σ )

согласованы, т. е., глядя с конца выбранных нормальных векто(

ров поверхности (σ ), обход контура (L)

виден против часовой

(σ)

стрелки (рис. 70).

Итак, по формуле Стокса циркуляция поля a

по контуру

(L)

(L) равна потоку ротора поля a

через поверхность (σ ), натя(

нутую на контур (L).

Рис. 70

a = (20x4

Пример 11.5. Для поля

+1)z i − 5y

+ 4x5 k

найти его

циркуляцию по окружности

x2 + z2 = 9 , лежащей в плоскости

y = 4 и ориентированной против часовой стрелки, если смотреть

с конца оси OY (рис. 71).

Решение.

Циркуляция

поля

вычисляется

по

формуле

∫

C = a d r . Непосредственное вычисление этого интеграла до(

статочно трудоемко. Посмотрим, облегчит ли вычисление цирку(

Рис. 71

ляции применение формулы Стокса. Для этого вычислим ротор

∂

rot a =

= i

(0 −

− j

(20x4 −

20x4 −1)+ k

− 0) =

∂x

∂y

∂z

(20x4 +1) z −5y

4x5

∫

rot a d

σ =

(rot a,n)dσ.

По формуле Стокса имеем: C = a d r =

(L)

(σ)

В качестве поверхности (σ ), натянутой на окружность, возьмем круг, ограни(

ченный этой окружностью. Нормальный вектор к этой поверхности направлен

вдоль оси

;

OY , т.е. n

= j ; скалярное произведение rot a

n =

j =

C = ∫∫(rot a,n)dσ = ∫∫ dσ = S = π R2 = 9π .

(σ )

Остановимся более подробно на свойствах ротора.

Физический смысл ротора

Пусть твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью ω . Найдем по( ле линейных скоростей точек тела и ротор этого поля.

Рассмотрим систему координат, направив ось Oz по оси вращения (рис. 72).

Как известно из кинематики, линейная скорость v точки							z
M равна векторному произведению v = ω × r , где r ─ ра(							z
M равна векторному произведению v = ω × r , где r ─ ра(
диус(вектор точки M , r = {x, y, z} , ω					─ вектор угловой
скорости, направленный по оси вращения с длиной, рав(							M
скорости, направленный по оси вращения с длиной, рав(
ной величине угловой скорости ω , т. е.					ω = ω k = {0, 0, ω} .		ω
Найдем поле линейных скоростей:							ω
Найдем поле линейных скоростей:


v = ω × r =	i	j	k				0
	0 0 ω
	0 0 ω			= −ω y i		+ω x j .
	x	y	z			x	Рис. 72
	x	y	z

Ротор этого поля вычислим по формуле (11.8):



			i		j	k
	=		∂		∂	∂
rot v
rot v			∂x		∂y	∂z
			∂x		∂y	∂z
		−ω y		ωx		0

	∂		∂
= i		0 −		(ωx)
= i	∂y	0 −	∂z	(ωx)
	∂y		∂z

∂

− j

(

0 −

(−ω y))+ k

(ω x) −

(−ω y)

= 2ωk

= 2ω.

∂x

∂z

∂x

∂y

Таким образом, ротор поля линейных скоростей в любой точке равен удвоен( ному вектору угловой скорости.

В произвольном поле его ротор, вычисленный в точке M , также характе% ризует вращательную способность поля в этой точке.

Инвариантное определение ротора

Рассмотрим некоторую поверхность (σ ), содержащую точку M ,

и единичный нормальный вектор n этой поверхности (рис. 73). Вычислим по формуле Стокса циркуляцию поля a по произвольному контуру (L), лежащему на поверхности (σ ):

			∫		∫
C (a , L) = ∫	a d r	=	∫	rot a dσ =	∫	(rot a,n)dσ .
(L)			(σ)		(σ)

•M

(σ)

(L)

Рис. 73

Воспользуемся теоремой о среднем для поверхностного интеграла 1(го рода:

C (a, L) =	∫	(rot a,n)dσ = (rot a,n) σ = (прn rot a) σ
		M	M

(σ)

(прn rot a) =	C (a , L)	.

M	σ

Переходя в последнем равенстве к пределу при стягивании поверхности (σ ) в

точку M , получим:

(прn rot a)		=	lim	C (a, L)	.	(11.10)
(прn rot a)		=	lim	σ	.	(11.10)
	M		(σ ) → M	σ
			(σ ) n

Эту величину называют плотностью циркуляции поля a в точке M в направле( нии вектора n . Плотность циркуляции, как проекция прn rot a , принимает

наибольшее значение, равное rot a , когда векторы rot a и n сонаправлены. По(

этому получаем следующее инвариантное ( не зависящее от системы коорди( нат) определение ротора.

Ротор поля a в точке M есть вектор, удовлетворяющий условиям:

а) в направлении этого вектора плотность циркуляции поля a в точке M принимает наибольшее значение,

б) по величине он равен наибольшей плотности циркуляции поля a в точке M.

Дифференциальные свойства ротора

1)	rot c = 0,			= 0,		− постоянный вектор),
1)	rot c = 0,	или × c		= 0,	( c	− постоянный вектор),
2)	rot r = 0,			= 0,		− радиус(вектор),
2)	rot r = 0,	или × r		= 0,	( r	− радиус(вектор),

3)	rot(a + b)= rot a + rotb , или × (a						+ b)= × a + × b ,
	rot( f a)							a) = f
4)	rot( f a)	= f rot a + (grad f )× a , или × ( f						a) = f	( × a)+( f )×a,
( f	− скалярное поле, a − векторное поле),
5)								( c− константа),
5)	rot(c a)	= c rota,	или × (c a) = c ×a,					( c− константа),
	rot( f c)							)×c , (c − постоянный вектор),
6)	rot( f c)	=(grad f )× c , или ×( f					c) =( f	)×c , (c − постоянный вектор),
					( f (r) r )= 0 .
7)	rot( f (r) r )= 0 или ×				( f (r) r )= 0 .

Проверим эти свойства:

свойства 1) ─ 3) проверяются непосредственным вычислением,

4) rot( f a) =

∂

= f

∂

∂f

= f rot a + (grad f )× a ,

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z

∂x ∂y ∂z

f P f Q f R

P Q R

свойство 5) есть следствие свойства 4) при f = c , свойство 6) есть следствие свойства 4) при a = c ,

7) по свойству 4) ротора rot f (r) r = f (r) rot r + (grad f (r))× r , а по свойствам гра(

диента grad f (r) = f ′(r) grad r = f	′(r)	r	. Учитывая, что rot r = 0, r × r = 0, получим
диента grad f (r) = f ′(r) grad r = f	′(r)	r	. Учитывая, что rot r = 0, r × r = 0, получим
		r			r
					r
rot f (r) r	= f (r) rot r			+ f ′(r)		× r	= 0 .
rot f (r) r	= f (r) rot r			+ f ′(r)		× r	= 0 .
					r

11.5.Условия независимости линейного интеграла от формы пути

Вразличных приложениях важно знать, зависит ли линейный интеграл поля

∫a d r от формы кривой интегрирования или он зависит только от начальной и

конечной точек этой кривой (с физической точки зрения – зависит ли работа си( лы от формы пути). Рассмотрим три условия независимости линейного интегра(

ла поля от формы пути интегрирования. Как и раньше, будем предполагать, что вектор(функция a(M ) = {P(M ), Q(M ), R(M )} дифференцируема.

Теорема 11.3 (о равенстве нулю циркуляции). Для того чтобы линейный ин( теграл поля не зависел от формы пути интегрирования, необходимо и доста( точно, чтобы циркуляция поля по любой замкнутой кривой равнялась нулю.

Доказательство. Вычислим циркуляцию поля a							по произвольной замкнутой
кривой ABCDA (рис. 74)
C (a) = a d r	=	∫	a d r	+	∫	a d r =	∫	a d r −	∫	a d r.
∫		∫			∫		∫		∫
ABCDA		ABC			CDA		ABC		ADC
Из этого равенства следует: циркуляция C(a) равна нулю тогда
и только тогда, когда ∫	a d r =		∫	a d r , т. е. интеграл ∫ a d r						D	C
ABC			ADC

по двум произвольным линиям с общим началом и общим кон( цом принимает одно и то же значение и, значит, не зависит от формы пути интегрирования.

Теорема 11.3 дает критерий независимости линейного инте( грала поля от формы пути интегрирования, однако этот крите( рий трудно проверить.

Рис..74

Для формулировки следующего более эффективного критерия введем новое понятие. Область назовем односвязной, если на любой ее замкнутый контур можно натянуть поверхность, целиком лежащую в этой области.

Например, односвязными областями будут круг, шар, куб; к неодносвязным областям относятся кольцо, тор (“бублик”) (рис. 75).

0	y
	x
x	Рис.75
x

Теорема 11.4 (о равенстве нулю ротора). Для того чтобы линейный инте( грал поля не зависел от формы пути интегрирования, необходимо, а для одно( связного поля и достаточно, чтобы ротор поля в каждой точке равнялся нулю.

Необходимость. Пусть линейный интеграл поля a не зависит от формы пути интегрирования и, значит, циркуляция C (a , L) по любому замкнутому контуру равна нулю. Тогда по формуле (11.10)

(прn rot a)		=	lim	C (a , L)	= 0 ,
(прn rot a)	M	=	lim	σ	= 0 ,
	M		(σ ) → M	σ
			(σ ) n

т.е. проекция ротора на любой вектор n в любой точке M равна нулю. Поэтому rot a = 0 в любой точке поля.

Достаточность. Пусть rot a = 0 в односвязной области (D). Возьмем любой замкнутый контур (L) в (D). В силу односвязности области (D) на контур (L) можно натянуть поверхность (σ ), целиком лежащую в области (D). Вычислим циркуляцию поля a по контуру (L), используя формулу Стокса и условие rot a = 0 :

C (a, L) =

a d r = (rot a,n)dσ =0 .

∫

(L)

(σ)

Так как циркуляция поля a по любому замкнутому контуру (L)

равна нулю, то

по теореме 11.3 интеграл

∫a d r не зависит от формы пути. Теорема доказана.

(L)

Теорема 11.5 (о подынтегральном выражении). Для того чтобы ли(

нейный интеграл поля

∫a d r

не зависел от формы пути интегрирования,

(L)

необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выражение a d r бы(

ло полным дифференциалом некоторой функции U .

Необходимость. Пусть

∫a d r не зависит от формы пути. Покажем, что функция

(L)

U (M ) = ∫ a d r

есть искомая функция (M0 ─ фиксированная точка), т.е. a d r = dU .

(M0M)

Для этого вычислим частное приращение

xU = U (x + x, y, z) −U (x, y, z) = U (M1)−U (M ) = ∫ a d r − ∫ a d r.

(M0 M 1)

(M0 M)

M M1

Так как интеграл ∫a d r не зависит от формы пути, то кривую

(L)

M0 M выберем произвольно, а в качестве кривой M0 M1

возьмем

0 x x + x x

кривую M0 M и отрезок прямой MM1

(рис. 76). Тогда по свойству

Рис. 76

аддитивности интеграла

a d r −

a d r +

a d r

a d r.

U =

∫

a d r =

∫

a d r −

∫

(M0 M 1)

(M0 M)

(M M 1)

(M0 M)

(M M 1)

Запишем интеграл в координатной форме и учтем, что на отрезке MM1

меняется

только x , а y, z − постоянны, значит, dy = 0,

dz = 0 и

x+ x

xU = ∫ a d r = ∫ Pdx + Q dy + Rdz = ∫ P(x, y, z)dx.

(M M 1)

(M M1)

К получившемуся определенному интегралу применим теорему о среднем:

x+ x	P(x, y, z)dx = P(x, y, z) x ;
xU = ∫	P(x, y, z)dx = P(x, y, z) x ;
	ɶ

здесь x− некоторая промежуточная точка между x и x + x . Тогда
ɶ		xU		P(x, y, z) x
′					ɶ
Ux =	lim		= lim	ɶ	= lim P(x, y, z) = P(x, y, z).
		x		x
	x→0		x→0		x→0

Итак, U′x = P(x, y, z) . Аналогично можно показать, что U′y = Q(x, y, z), U′z = R(x, y, z). Тогда a d r = Pdx + Qdy + Rdz =U′x dx +U′y dy +U′z dz = dU .

Достаточность. Пусть существует функция U(x, y, z) такая, что a d r = dU . Рассмотрим произвольную дугу AB с параметрическими уравнениями

	x = x(t), y = y(t), z = z(t); t [tA; tB ].
Сведем интеграл	∫ a d r	по этой дуге к определенному интегралу и применим
	AB
формулу Ньютона(Лейбница
		t
∫ a d r	= ∫ dU(x, y, z) = ∫B dU (x(t), y(t), z(t)) = U (x(t), y (t), z (t))		ttBA=


AB	AB	tA
	= U (xB , yB , zB) −U (xA , yA , zA) = U(B) −U(A).

Таким образом, значение интеграла ∫ a d r зависит только от точек A, B и не

зависит от формы линии AB .

Попутно мы получили важную формулу, являющуюся аналогом формулы

Ньютона(Лейбница для криволинейных интегралов:

	∫ dU = U (B) −U (A).	(11.11)
	AB

Теоремы 11.3, 11.4, 11.5 иногда объединяют в одну:

Если область (D) является односвязной, то четыре условия равносильны: 1) линейный интеграл ∫a d r не зависит от формы пути интегрирования;

(L)

2)линейный интеграл ∫a d r по любому замкнутому контуру в (D) равен нулю;

(L)

3)rot a = 0 во всех точках области (D);

4)выражение a d r является полным дифференциалом некоторой функции U .

12.Некоторые классы векторных полей

12.1. Потенциальное поле

Как и раньше, предполагаем, что координаты вектора поля a ─ функции P , Q, R непрерывны и имеют частные производные.

Векторное поле a называется потенциальным, если оно является полем градиента некоторой скалярной функции U , т.е. a = gradU ; при этом функцию U называют скалярным потенциалом векторного поля.

Напомним, что gradU = U′x i +U′y j +U′z k . Так как grad(U +C) = gradU , то U + C также является потенциалом.

Свойства потенциального поля

1). Поле a является потенциальным с потенциалом U тогда и только тогда, когда a d r = dU .

2). Односвязное поле a потенциально тогда и только тогда, когда в каждой точке поля rot a = 0 .

3). В потенциальном поле линейный интеграл ∫a d r не зависит от формы пути.

(L)

4). В потенциальном поле циркуляция по любому контуру, не охватываю( щему особых точек поля, равна нулю.

5). В потенциальном поле циркуляции по контурам, охватывающим все особые точки поля, равны между собой.

6). В потенциальном поле линейный интеграл по дуге равен разности по( тенциалов конца и начала дуги.

Проверим эти свойства.

1). Поле a ─ потенциально, т.е. a = gradU = {U′x, U′y , U′z} тогда и только тогда, когда a d r = {U′x, U′y, U′z} {dx, dy, dz} = U′x dx +U′y dy +U′z dz = dU .

2). Это свойство следует из свойства 1) и теорем 11.5, 11.4. 3). Это свойство следует из свойства 1) и теоремы 11.5.

4). Это свойство является следствием свойства 2) и теоремы 11.4, так как поле внутри контура, не охватывающего особых точек, является односвязным.

5). Пусть (L), (l ) ─ контуры, окружающие все особые точки P1,..., Pn поля (рис. 77); ориентируем контуры так, чтобы при обходе ограниченная ими область (σ )

оставалась слева, т.е. (L)− против часовой стрелки, (l)− по часовой стрелке; контуры с такой ориентацией обозначим соответственно (L+ ), (l − ). На поверх(

ности (σ )

с границей (γ ) = (L+) (l −)

поле потенциально, и потому rot a = 0 по

свойству 3) и теореме 11.4. Тогда по формуле Стокса

∫

=0 .

(L+ )

a d r

rot a dσ

∫

(σ)

(γ)

(σ)

(l −)

С другой стороны,

•P1

−

•Pn

a d r

∫

(γ)

)

−

)

и, следовательно,

∫

a d r =

∫

a d r .

Рис. 77

(L + )

(l + )

6). Если поле a потенциально и U ─ его потенциал, то a d r = dU и по формуле (11.11)

∫ a d r = ∫ dU =U (B) −U (A) .

AB AB

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.202578 Кб1master thesis(1).doc
#
01.03.2025307 Кб2mat_1_1__metody(1).doc
#
22.02.2015381 Кб19mat_an.docx
#
01.05.2025445 Кб1mat_logika_ekф.docx
#
23.02.2015633 Кб15mat_obr_rez.pdf
#
23.02.20152 Мб28Matan__teoria.pdf
#
23.04.20191 Мб10matan_AAAAAA.doc
#
23.02.20151 Мб24MatAn_practice.pdf
#
23.02.20152 Мб21MatAn_thory.pdf
#
22.02.2015945 Кб57matan.doc
#
23.02.20151 Мб16Matan.pdf