Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MatAn_thory

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

			выполняются все записанные выше неравен-
значим её S (a) . Для	x S (a)		выполняются все записанные выше неравен-
ства. Поэтому справедлива следующая цепочка неравенств
	b f1(x) g(x) f2(x) b .

Тогда b g(x) b	или	g(x) b		для произвольного 0	и для x S (a).

Это и означает, что lim g(x) b.

x a

Теорема 3.7 (о пределе суммы, произведения, частного).

Пусть существуют конечные пределы lim f (x) и lim g(x). Тогда

x a x a

1)	lim [ f (x) g(x)] lim		f (x) lim g(x) ,	2)	lim [ f (x) g(x)] lim				f (x) lim g(x) ,
	x a	x a	x a		x a		x a		x a
						f (x)	lim f (x)
3)	lim [k g(x)] k lim g(x),			4)	lim		x a	,	если lim g(x) 0.
							lim g(x)
	x a	x a			x a g(x)				x a

x a

Доказательство проведем для одного из утверждений, например для первого.

Пусть lim f (x) b,

lim g(x) c,

причем эти пределы конечны.

x a

Требуется доказать, что lim [ f (x) g(x)] b c.

x a

Воспользуемся определением предела функции:

lim f (x) b для 0, а значит,

и для

f (x) b

для x S

(a);

x a

(a).

lim g(x) c для 0, а значит,

и для

g(x) c

для x S

x a

Два неравенства

f (x) b

g(x) c

выполняются одновременно в общей

части двух окрестностей S (a) S 1(a) S 2(a). Поэтому для

x S (a) следует:

( f (x) g(x)) (b c)

f (x) b

g(x) c

Это и означает, что lim [ f (x) g(x)] b c.

x a

Замечание. Утверждения 1 и 2 теоремы 3.7 верны также для любого конечного числа функций.

Для формулировки теоремы о пределе элементарной функции отметим, что элементарная функция получается из основных элементарных функций (степенной, показательной, логарифмической, тригонометрической, обратных тригонометрических) с помощью арифметических операций и суперпозиции.

Теорема 3.9 (о пределе элементарной функции).

Пусть элементарная функция f (x) определена в точке x0 и ee

окрестности. Тогда	lim f (x) f (x0).
	x x
	0
	11

Доказательствоэтой теоремынеприводим.

Пример 3.2. Вычислить предел функции g(x)			x4 x3 lgx sin x 5			при x 1.

Решение: Функция g(x)				x2 2x 2
	является элементарной и определена при x 1. Поэтому
lim g(x) g(1)	или lim	x4 x3 lgx sin x 5			1 lg1 sin 5	6.
		x2 2x 2			1 2 2
x 1	x 1

4.Бесконечно малые функции

4.1.Определение и основные свойства

Функция f (x) называется бесконечно малой при x a, если lim f (x) 0.

x a

Рассмотрим ряд свойств бесконечно малых функций.

Теорема 4.1 (о связи функции с ее конечным пределом).

lim f (x) b	(b конечное) тогда и только тогда, когда
x a

f (x) b (x), где (x) бесконечно малая функция при x a.

Доказательство. 1). Пусть lim f (x) b. Рассмотрим функцию (x) f (x) b. Тогда

x a

f x b x		и lim (x) lim[ f (x) b] lim			f (x) b b b 0,
		x a	x a	x a
то есть (x) есть бесконечно малая при				x a.
2). Пусть	f (x) b (x), где		(x) бесконечно малая при			x a, т.е.
lim (x) 0. Тогда	lim f (x) lim[b (x)] b lim (x) b 0 b.
x a	x a	x a		x a

Теорема 4.2 (о произведении бесконечно малой функции на ограниченную).

Пусть функция (x) − бесконечно малая при x a, а функция f (x) − ограничена

внекоторой выколотой окрестности точки a. Тогда произведение этих функций

(x) f (x) является бесконечно малой функцией при x a.

Доказательство. Функция f (x) ограничена в некоторой окрестности S 1(a), т.е.

f (x)

для

x S 1(a). Кроме того, функция (x) бесконечно малая при

x a, т.е.

lim (x) 0. Поэтому для 0, а значит,

и для

найдется 2 0

x a

такое, что

(x)

для x S 2 (a). Оба неравенства

f (x)

M и

(x)

выполняются в окрестности S (a) S 1(a) S 2(a). Поэтому


(x) f (x)	(x)	f (x)		M	для x S (a),
			M

т.е. lim [ f (x) (x)] 0 и функция (x) f (x) является бесконечно малой при x a.

x a

Пример 4.1. Будет ли бесконечно малой при x 0 функция	f (x) x sin	1	?
Пример 4.1. Будет ли бесконечно малой при x 0 функция	f (x) x sin	x	?	1
		x
Решение. Функция x является бесконечно малой при x 0 , а функция sin					–
				x	–
				x

ограниченной в выколотой окрестности точки x 0. Поэтому по теореме 4.2

функция f (x) x sin	1	является бесконечно малой при x 0.
	x

Теорема 4.3 (о сумме, разности, произведении бесконечно малых).

Сумма, разность, произведение конечного числа бесконечно малых функций при x a есть функция бесконечно малая при x a.

Доказательство. Ограничимся случаем двух бесконечно малых функций. Пусть

(x) и (x) бесконечно малые функции при x a,			т.е. lim (x) 0 и	lim (x) 0.
			x a	x a
Тогда lim[ (x) (x)] lim (x) lim (x) 0 0 0,
x a	x a	x a
lim [ (x) (x)] lim (x) lim (x) 0 0 0.
x a	x a	x a
Это и означает, что функции		(x) (x) и (x) (x)	являются бесконечно малы-
ми функциями приx a.

4.2.Отношение бесконечно малых. Неопределенность 0

Вотличие от суммы и произведения, отношение бесконечно малых функций может иметь любой предел или даже его не иметь. Например, для функций

(x) x,

(x) x2, 3x ,

являющихся бесконечно малыми при x 0, имеем:

lim

(x)

lim

(x)

lim x 0,

lim

(x)

x 0 (x)

x 0 x

x 0 (x)

x 0

x 0 (x)

Поэтому отношение бесконечно малых функций называют неопределенностью

вида	0	. Отыскание предела в случае неопределенности называют раскрытием

0
неопределенности.			x3 4x 3
Пример 4.2. Найти lim				.

		x 1	x2 6x 5

Решение. Числитель и знаменатель дроби при x 1 обращаются в ноль, поэтому

имеем неопределенность вида 0 . Для ее раскрытия числитель и знаменатель

разложим на множители, причем один из множителей уже известен – это (x 1). Поделив на него многочлен, стоящий в числителе, получим и другой множитель.

Итак,

x3 4x 3

(x 1) (x2 x 3)

x 3

1 1

lim

6x 5

(x 1)(x 5)

x 5

x 1 x

x 1

Пример 4.3. Найти lim	1 x 1
		.

x 0	x

Решение. Имеем неопределенность вида 0 . Для ее раскрытия умножим числи-

тель и знаменатель на (1 x 1) :

=lim

1 x

lim

1 x

=lim

x) 1

lim

x 0

1 x 1

x 0 x

1 x 1

x 0

1 x 1 2

4.3. Первый замечательный предел

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические


функции, часто используется lim	sin x		. Он является неопределенностью					0	.
функции, часто используется lim			. Он является неопределенностью						.
x 0		x					0
Покажем, что		lim		sin x	1	.			(4.1)
Покажем, что		lim			1	.			(4.1)
		x 0 x

Это равенство называют первым замечательным пределом.

Докажем равенство (4.1). Рассмотрим функцию f (x) sin x . Так как f ( x) f (x),

то функция

f (x) является четной,

поэтому достаточно рассмотреть ее при x 0.

Так как x 0, то достаточно взять x /2 .

Построим круг радиусом R с центром в точке O (рис.10),

угол BOA, рав-

ный x радиан, треугольники OAB,

OAC

и сектор OAB. Очевидно, что

S OAB Sсект.OAB S OCA , или

R2 sin x

R2 x

R R tg x, или

sin x x tg x.

Поделив на sin x (sin x 0, так как x 0) , получим:

или

cosx

sin x

cosx

sin x

Так как

lim cosx 1,

lim1 1,

то по теореме 3.6 о пределе промежу-

x 0

sin x

точной функции имеем:

lim

x 0

Рис.10

Следствие:

lim

tgx

1, lim

arcsin x

lim

arctgx

x 0 x

x 0

Доказательство.

lim

tg x

lim

sin x

lim

sin x

lim

1 1 1.

cosx x

x 0

x 0 cosx

arcsinx

arcsinx y

lim

x 0 y 0

sin y

x 0

y 0 sin y

y 0

arctgx

arctgx y

lim

x 0 y 0

tg y

x 0

y 0 tg y

y 0

4.4. Сравнение бесконечно малых

Бесконечно малые функции часто сравнивают между собой по «быстроте»

стремления к нулю. Так, например, из двух функций

(x) x

(x) x10 − бес-

конечно малых при

x 0, функция

x10

стремится к нулю «быстрее»,

чем x.

Уточним, какой смысл вкладывается в слово «быстрее».

Пусть

(x) и (x) бесконечно малые функции при x a.

1). Если lim

(x)

конечен и отличен от нуля, то (x) и (x)называют беско-

x a (x)

нечно малыми одного порядка и обозначают так: (x) O( (x))

при x a.

В частности, если lim

(x)

то (x)

и (x)называют эквивалентными бес-

x a

(x)

конечно малыми и обозначают так: (x) (x) при x a.

2). Если lim

(x)

то (x)

называют бесконечно малой более высокого

x a

(x)

порядка, чем x и обозначают так: (x) о ( (x)) при x a.

3). Если lim

(x)

то

lim

(x)

и (x) будет бесконечно малой более

x a (x)

высокого порядка, чем

(x)

при x a.

4). Если lim

(x)

не существует, то (x) и (x)называют несравнимыми

(x)

x a

бесконечно малыми при x a.

Пример 4.4. Функции x,

sin x,

tg x,

arcsin x,

arctg x

являются эквивалентными

бесконечно малыми при x 0, т.е.

sin x x,

tg x x,

arcsin x x,

arctg x x

при x 0.

Это вытекает

из первого замечательного предела и его следствия.

Пример 4.5. Сравнить при x 0

бесконечно малые

(x) 1 cos6x и (x) x2 .

Решение.

lim

1 cos 6x

lim

2sin2 3x

lim

sin3x

18.

x 0

x 0 (3x)2 /9

x 0 3x

Следовательно,

функции 1 cos6x и x2

являются бесконечно малыми одного по-

рядка при x 0.

Для нахождения пределов важна следующая теорема.

Теорема 4.4 (об эквивалентных бесконечно малых).

1(x)

Пусть (x) ~ 1(x),

(x) ~ 1(x) при

x a. Тогда

(x)

lim

x a (x)

x a 1(x)

Доказательство. Из условия теоремы следует, что lim

(x)

lim

(x)

x a 1(x)

(x)

1(x)

Запишем равенство

и перейдем в нем к пределу:

(x)

1(x)

(x)

lim

(x)

lim

(x)

lim

1(x)

lim

1(x)

lim

1(x)

x a (x)

x a

(x)

x a (x)

Пример 4.6. Найти а)

lim

arctg5x

б) lim

tg(5x x3) (1 cos2x)

x 0 sin3x

x 0

arcsin3(2x)

Решение. Имеем неопределенности вида

. Для их раскрытия заменим беско-

нечно малые функции на эквивалентные:

arctg5x

а). Так как arctg5x 5x ,

sin 3x 3x

при

x 0 , то

lim

x 0 sin3x

x 0

б) Так как tg (5x x3) ~ 5x x3, 1 cos2x 2sin2 x ~ 2 x2, arcsin3 2x ~ (2x)3 , то

tg 5x x3 1 cos2x

x 5 x2 2x2

5 x

lim

arcsin

x 0

5. Бесконечно большие функции

5.1. Определение и основные свойства

Функция f x

называется бесконечно большой при x a, если lim

f (x) .

x a

Различаютслучаибесконечнобольшихфункций,когда

lim f x или lim

f x .

x a

Рассмотрим некоторые свойства бесконечно больших функций.

Теорема 5.1 (о связи с бесконечно малой).
Если функция f (x) бесконечно большая при x a, то функция			1	беско-
Если функция f (x) бесконечно большая при x a, то функция			f (x)	беско-
			f (x)
нечно малая при x a.
Если функция (x) бесконечно малая при x a и x 0 в выколотой
окрестности точки a, то функция	1	бесконечно большая при x a.
окрестности точки a, то функция		бесконечно большая при x a.
(x)
Доказательство. Функция f (x) бесконечно большая при x a, то есть

lim f (x) . Тогда из определения предела следует, что для 0, в частности,

x a

для

f (x)

для x S (a). Поэтому

для

f x

x S (a). Это и означает, что

lim

0 , то есть функция

является бес-

f (x)

x a f (x)

конечно малой при x a. Аналогично доказывается второе утверждение.

Теорема 5.2 (об арифметических операциях).

1). Произведение двух бесконечно больших при x a есть бесконечно большая при x a.

2). Произведение бесконечно большой при x a на функцию, имеющую нену-

левой предел при x a, есть бесконечно большая приx a.

3). Отношение бесконечно большой при x a к бесконечно малой (отличной от нуля) при x a есть бесконечно большая при x a.

4). Сумма двух бесконечно больших одного знака при x a есть бесконечно большая того же знака при x a.

Доказательство проведем для утверждений 1) и 3).

1). Пусть f (x) и g(x) бесконечно большие при

x a. Тогда

есть

f (x) g(x)

бесконечно малые при x a.

Поэтому и их произведение

является

f (x) g(x)

бесконечно малой

при

x a

. Тогда

из теоремы 5.1

следует,

что

функция

f (x) g(x) является бесконечно большой приx a .

3). Пусть функция

f (x)

бесконечно большая при x a , (x) бесконечно ма-

лая при x a . Тогда

бесконечно большая и произведение двух бесконеч-

(x)

но больших функций f (x) и

есть бесконечно большая приx a .

(x)

Пример 5.1. Вычислить пределы: a) lim

б)

lim (a xn a xn 1 a

0).

x 1 x 1

x 0

Решение. а). При x 1

функция x 1 является бесконечно малой, а функция

− бесконечно большой. Произведение бесконечно большой функции

x 1

на функцию x, имеющую ненулевой предел при x 1,

есть бесконечно большая

функция. Значит, lim

x 1 x 1

xn a

б). Функция P (x) a xn a xn 1 a

при

x есть произ-

ведение бесконечно большой xn

и функции a0

, имеющей приx

ненулевой предел a0 . Поэтому функция Pn(x)

естьбесконечнобольшая при x .

5.2. Неопределенности

0 ,

Рассмотрим функции

f (x) x, f

(x) x2,

(x) kx,

(x) x k.

Эти функции

являются бесконечно большими при x , а функция (x)

являются бес-

f1(x)

конечно малой при

x .

1). Так как lim

(x)

lim

(x)

lim x ,

lim

(x)

k , то предел

x f

(x) x x

x f (x)

отношения двух бесконечно больших функций может быть любым; его называ-

ют неопределенностью вида
						.
						.
2). Так как							lim f3(x) (x) k, то предел произведения
2). Так как	lim	f2(x) (x) lim			x ,		lim f3(x) (x) k, то предел произведения
	x		x				x
бесконечно большой функции на бесконечно малую может быть любым; его
называют неопределенностью вида							0 .
3). Так как	lim	[ f	(x) f (x)] lim k 1 x k 1 , lim					[ f	4	(x) f (x)] k , то пре-
	x	3	1	x			x		4	1

дел разности двух бесконечно больших функций может быть любым; его называют неопределенностью вида .

Рассмотрим примеры на раскрытие таких неопределенностей.

Пример 5.2. Найти предел отношения двух многочленов при x .

Решение. В примере 5.1 было установлено, что многочлены являются бесконечно большими функциями при x , значит, предел их отношения есть неопре-

деленность . Для раскрытия неопределенности сделаем преобразования:

(x)

a xn

)

a xn 1

b xk

b xk 1

(x)

)

Функция

имеет ненулевой предел

. Функция

есть беско-

нечно большая при n k , бесконечно малая при n k

и равна единице при n k .

		a xn	a xn 1	a		,	n k,
Поэтому
	lim	0	1	n		0,	n k,
			b xk 1	b
	x b xk				a /b , n k,
	0		1	k
						0	0

lim a0xn

x b0xk

,				n k,
		0,		n k,

a			/b , n k.
	0			0

		a	0	xn	a xn 1	a	n		a xn
Следовательно,	lim		0		1		n	lim	0	.	(5.1)
Следовательно,	lim				b xk 1	b		lim		.	(5.1)
	x b xk				b xk 1	b		x b xk
			0		1	k		0

Аналогично, при отыскании предела отношения иррациональных функций младшие степени можно отбросить (пример 5.5).

Пример 5.3.

lim

2x100 x63 75

lim

2x100

lim

120

100

120

x 7x

Пример 5.4.

(2n 1)4 (n 3)4

(2n)4 n4

15n4

lim

(n 5)

n (2n 1)

n (2n)

n 17n

2x 1 x

Пример 5.5.

x 2x 1

lim

2x 1

lim

x 2x 1 x

(x2 2x 1) x2

lim

x2 2x 1 x

x2 x

Пример 5.6.

x2 2x 1 x

lim

( x) есть бесконечно большие одного знака и их

Здесь функции x2 2x 1 и

сумма является бесконечно большой.

5.3. Второй замечательный предел. Неопределенность 1

В математике большую роль играют следующие пределы:

		1	x		1/ y
	lim 1			e,	lim 1 y	e.	(5.2)
		x
	x				y 0
Здесь e иррациональное число,				e 2,7182. Более точное вычисление числа e

будет приведено далее, при рассмотрении формулы Тейлора. Число е известно как основание натурального логарифма ln x loge x и основание функции ex . Равенства (5.2) называют вторым замечательным пределом. Второе из этих

равенств получается из первого при замене						1	на y . Вывод равенств (5.2)опустим.
равенств получается из первого при замене						x	на y . Вывод равенств (5.2)опустим.
		lim 1 x 1/ x ,				x
Пример 5.7. Найти: а)		lim 1 x 1/ x ,		б) lim 1 2x 1/ x .
		x 0		x 0
Решение. а) Обозначим y x. Тогда
	lim 1 x 1/ x	lim 1 y 1/ y		lim	1 y 1/ y 1			e 1	,
	x 0	y 0		y 0
б)	lim 1 2x 1 x lim		1 2x 1 2x 2 e2 .
	x 0	x 0
Замечания.	1). У функций f x 1 x 1/ x ,					g x 1 2x 1/ x			основания стремятся

к единице при x 0, а показатели степени – к бесконечности. Но пределы этих


функций различны, поэтому их называют неопределенностью вида 1																	.
2). Для раскрытия неопределенности вида												удобно применять второй заме-
2). Для раскрытия неопределенности вида										1		удобно применять второй заме-
чательный предел.						x2
		2x	2	1		x2
			2
Пример 5.8. Найти lim					.
Пример 5.8. Найти lim			2		.
			2	5
x 2x				5
Решение. Tак как lim	2x2	1					2x	2	1, то имеем неопределенность вида											.
				lim															1
				lim															1
x 2x2 5				x 2x				2					2x2 5 4
Преобразуем дробь, выделив единицу:											2x2	1	2x2 5 4		4			.
														1
											2x2	5		1	2x2
									19		2x2	5	2x2 5		2x2	5
									19

2x2 5 4x2

Тогда

lim

4 2x2 5 e 2 .

Здесь мы воспользовались вторым замечательным пределом

lim 1 y 1/ y e,

y 0

где y

и тем, что

lim

4x2

lim

4x2

2x2 5

x 2x2 5

x 2x2

loga 1 x

1/ x

Пример 5.9.

lim

loga 1 x lim loga 1 x

loga e .

x 0

В частности, при a e имеем

lim

ln 1 x

1. Поэтому

ln 1 x x при x 0.

x 0

6.Непрерывные функции

6.1.Функции, непрерывные в точке

Пусть функция f x определена в конечной точке x0 и её окрестности.

Функция f x	называется непрерывной в точке x0	, если lim	f (x) f (x0 ).
		x x	0

Рассмотрим свойства функций, непрерывных в точке.

Теорема 6.1 (о приращении непрерывной функции).

Функция f x непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда

бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции в точке x0 .

Доказательство. Равенство lim			f (x) f (x0 ),	определяющее	непрерывную в
		x x 0		lim f (x) f (x0) 0 . Разность
точке	x0	функцию, эквивалентно	равенству	lim f (x) f (x0) 0 . Разность
				x x0 0
x x0	есть приращение аргумента		x, а разность f (x) f (x0) есть приращение
функции		f (x0 ). Следовательно, равенство lim		f (x) f (x0) эквивалентно равен-
			x x0
ству	lim	f (x0) 0, которое означает, что бесконечно малому приращению аргу-
x 0
мента	x соответствует бесконечно малое приращение функции				f (x0 ).

Теорема 6.2 (о непрерывности суммы, произведения, частного).

Сумма, разность, произведение, суперпозиция конечного числа непрерывных в точке функций есть функция непрерывная в этой точке.

Частное непрерывных в точке функций есть функция, непрерывная в этой точке, если знаменатель в этой точке отличен от нуля.

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025445 Кб1mat_logika_ekф.docx
#
23.02.2015633 Кб15mat_obr_rez.pdf
#
23.02.20152 Мб28Matan__teoria.pdf
#
23.04.20191 Мб10matan_AAAAAA.doc
#
23.02.20151 Мб24MatAn_practice.pdf
#
23.02.20152 Мб21MatAn_thory.pdf
#
22.02.2015945 Кб57matan.doc
#
23.02.20151 Мб16Matan.pdf
#
13.03.2016495 Кб33matem_statistika[1].docx
#
01.07.20251 Мб2Matematicheskaya_logika_i_teoria_algoritmov.docx
#
23.02.2015698 Кб17Matematika_2_semestr_RTF_1_.pdf