ПП_16_Неопр_инт_2

Вычислите ∫

x6

+2x4 +2x

2 −1

dx

x

x2 +1 2

(

)

2

+1

2

4

2

+1

5

3

x x

=x x

+2x

=x

+2x

+x,

(

)

(

)

6

4

2

5

3

_ x +2x +2x −1

x +2x +x

=

=

6

4

2

x +2x +x

x

2

x −1.

2

2

(

2

x

−1

x

x

−1

∫

∫

)

=

x +

dx

=

+

dx

(

2

2

2

x

2

+1

x

2

+1

)

(

)

Разложим подынтегральную рациональную

дробь на простейшие:

x2 −1

=

A

+

Bx +C

+

Dx +E

.

x

2

+1

2

x

x2 +1

(

2

+1

2

x

x

ПП 16 №10

(

)

)

Приводим правую часть равенства к обще-

му знаменателю и приравниваем числители

левой и правой частей:

(

x2 −1 = A

x2 +1

2 +

(Bx +C)x

x2

+1 +

)

(

)

(

)

+(Dx +E)x

Приравниваем коэффициенты при одинако-

вых степенях x

в правой и левой частях этого равенства:

4

0 = A +B,

A =−1,

x

:

3

0 =C,

B =1,

x

:

2

C =0,

x

: 1=2A +B +D,

1

D =2,

x

: 0 =C +E,

0

−1= A

E =0.

x

:

(

2

2

x

−1

x

dx

∫

)

dx =

−

∫

+

2

x

x

2

+1

2

x

(

)

+∫

xdx

+∫

2xdx

=

x2 +1

(

2

2

x

+1

)

+

1

ln

x2 +1

−

2

x2