Высшая математика Часть 2

ϕ = arccos

1

= π .

2

3

Найдите уравнения прямой, проходящей через точку

M (3,2,−1)

и пересекающей ось ox под прямым углом.

РЕШЕНИЕ:

Уравнение искомой прямой можно записать в виде

уравнения прямой, проходящей через две точки

M1 (x1 , y1 , z1 ) и M 2 (x2 , y2 , z2 ) :

16

x − x1

=

y − y1

=

z −z1

. По условию M1 (3,2,−1).

x −3

=

y −2

=

z +1

0

−2

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

1

Вторую точку находим из условия, что прямая пер-

пендикулярна оси ox и пересекает ее, то есть

M 2 (3,0,0), и уравнение искомой прямой принимает

вид:

x −3

=

y − 2

=

z +1

.

− 2

0

1

Составьте параметрические уравнения прямой L, про-

ходящей через точку M 0 (2,0,−3) параллельно прямой

L :

x −1

=

y + 2

=

z +1

.

1

5

2

−1

РЕШЕНИЕ:

В качестве направляющего вектора искомой прямой L

x

= 5t +2,

можно взять направляющий вектор прямой L1 :

17

y = 2t,

a = a1 ={5,2,−1}, так как прямые L иL1 параллельны по

z

= −t −3.

условию; канонические уравнения прямой

L :

x − 2

=

y

=

z + 3

могут быть приведены к параметри-

2

5

−1

ческому виду, если приравнять входящие в них отно-

шения значению параметра t:

x = 5t + 2,

y = 2t,

z = −t −3.

Напишите канонические уравнения прямой L, прохо-

дящей через точку M 0 (2,0,−3) параллельно прямой

L1 :

3x − y + 2z −7 = 0,

−3 = 0.

x +3y − 2z

РЕШЕНИЕ:

x −2

y

z +3

18

Прямая L, параллельная прямой L1 , будет перпенди-

=

=

кулярна нормальным векторам

−4

8

10

n1 ={3,−1,2}

и

n2 ={1,3,−2} плоскостей, образующих

прямую L1 , то есть

a = [n1 ×n2 ]=

i

j

k

3

−1

2

={−4,8,10}, и канонические

1

3

− 2

шим систему l − 2m + n = 0

для определения

2l + m + 4n = 0

l, m и n. Выражая l и m через n , найдем

l − 2m = −n,

l − n + 2m,

при m = −

2

9

n, та-

n, l = −

5

2l + m = −4n,

5m = −2n,

5

ким образом, l : m : n = 9 : 2 : (−5)

и уравнение искомой

прямой L имеет вид:

x −1

=

y −1

=

z −1

.

2

9

−5

даёт систему:

1+αt

=

1+ βt

=

1+γt

,t ≠ 0, или

1

3

2

2 +2αt =1+ βt =1−

2(α +2γ )t

. Из системы следует

3 +3αt =1+γt

α = −

9

, β = −

2

,γ =

5

. Таким образом, в качестве

16t

16t

16t

направляющего вектора можно взять вектор

{−9,−2,5}.

L:

x −1

=

y −1

=

z −1

.

2

9

−5

3. Прямая и плоскость

Найдите точку пересечения прямой L :

x −1

=

y +1

=

z

и

1

− 2

плоскости P : 2x + 3y + z −1 = 0.

6

РЕШЕНИЕ:

Для определения координат точки пересечения запи-

21

шем уравнения прямой L в параметрическом виде:

(2,-3,6)

x −1 = t, y +1 = −2t,

z

= 6t . Подставляя эти выражения в

уравнение плоскости Р, получим уравнение для опре-

деления значения параметра t, соответствующего точ-

ке их пересечения:

2(t +1) +3(−2t −1) + 6t −1 = 0 t =1, следовательно, коор-

динаты искомой точки x = 2,

y = −3,

z = 6.

22

Составьте уравнение плоскости Р, проходящей через

4x +6 y +5z =1

данную прямую L и точку

M 0 (2,−2,1) , если прямая

−3(x −1) = 2( y − 2)

3x

+ 2 y −7

= 0

L :

2(x

−1) = 2(z

+3)

− z − 4 = 0.

x

Уравнение пучка плоскостей через прямую L имеет

вид:

(x − z −4) +λ(3x +2 y −7) = 0 (1+3λ)x + 2λy − z −(4 +7λ) = 0.

Так как плоскость проходит через точку M 0 , подста-

вим ее координаты в уравнение пучка плоскостей и

найдем значение λ , определяющее искомую плос-

кость 2 +6λ −4λ −1−4

−7λ = 0 λ = − 3 , и уравнение

5

плоскости Р будет иметь вид: 4x + 6 y + 5z −1 = 0.

РЕШЕНИЕ 2:

x = 2t +1,

Найдем на прямой L : y = −3t + 2,

две точки, например,

z = 2t −3

t1 = 0

и t2 = 0 , откуда M1 (1, 2, −3) L и M2 (3, −1, −1) L .

Из уравнения плоскости, проходящей через три точки

M0 , M1 , M2 , получаем

P :

x −2

y +2

z −1

= 0 4x +6 y +5z −1 = 0.

−1

4

−4

1

1

−2

Составьте уравнение плоскости, проходящей через

прямую

L1

3x + 2 y +5z + 6 = 0,

параллельно прямой

23

:

+3z + 4 = 0,

2x +3y + 4z = −5

x + 4 y

L2 :

x −1

=

y −5

=

z +1

.

−3

3

2

РЕШЕНИЕ 1:

a2

={3, 2, −3};

i

j

k

a1 =

3

2

5

={−14, −4,10} {7, 2, −5} ;

1

4

3

i

j

k

n =

3

2

−3

={−4, −6, −8} {2,3, 4}.

7

2

−5

Найдем произвольную точку на

L1

3x

+2 y +5z +6 = 0,

:

x +4 y +3z + 4 = 0.

Положим

x = 0 , из 2 y +5z = −6,

найдем

4 y +3z = −4,

Составьте уравнение плоскости Р, проходящей через

прямую L :

x −1

=

y

=

z +1

перпендикулярно к плоско-

0

2

24

сти

1

3x − y + 2z −1

= 0

Уравнение прямой L в проекциях:

2x − 2 =

0,

= 0.

y − 2z − 2

щим от параметра λ .

Условие перпендикулярности искомой плоскости и

плоскости P1 с n1 ={1,1,−1} имеет вид:

(n n1 ) = 2 +λ + 2λ = 0 и дает значение λ = − 2 , при кото-

3

ром получается уравнение плоскости Р в виде

3x − y + 2z −1 = 0.

Найдите уравнения проекции прямой L :

x −1

=

y +1

=

z

2

1

3