matan_belaev_1.1

На иллюстрациях приведены эскизы первых трех функций. Вверху справа – для функции 1, внизу справа – для функции 2, внизу – две иллюстрации к функции 3, но в разных масштабах. Слева для 0.05 x 0.05 , справа для 0.01 x 0.01. Они показывают динамику изменения функции при x 0 . Для функции 4 исследование следует провести самостоятельно.

§ ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ РАСКРЫТИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ.

Т . Если функции f (x) и g(x) дифференцируемы в проколотой окрестности некоторой точки x0 на расширенной числовой прямой, где производная второй из них отлична от

этого знака существует и конечен, то существует, конечен и равен ему и предел стоящий слева от знака.

Ограничимся доказательством в случае

Отсюда следует утверждение теоремы. При х замена t = 1/x позволяет свести доказательство к только что проведенному. ▲

§. ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛА С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА.

При вычислении предела воспользуемся разложением числителя и знаменателя в ряд Тейлора:

(x a) , выясняем, что:

Def. Точками перегиба графика функции называются точки, разделяющие смежные промежутки с противоположными направлениями выпуклости.

*. Дуги с разнонаправленной выпуклостью, разделяемые точкой перегиба, лежат по разные стороны от касательной в точке перегиба т.к. в точке перегиба дуга графика пересекает касательную.

§ НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

1 . Неравенство Иенсена.

Для функции выпуклой на промежутке I , по определению, выполняется неравенство:

f 1x1 2 x2 1 f x1 2 f x2 , если 1, 2 0 , 1 2 1.

Оказывается, для выпуклой функции верно и более общее неравенство: f 1x1 2 x2 ... n xn 1 f x1 2 f x2 ... n f xn ,

∆. При n = 2 неравенство для выпуклой функции справедливо (по определению). Допустив, что неравенство справедливо при n, рассмотрим:

т.е. неравенство доказано с помощью метода математической индукции. ▲

Если поставить цель снять требование i 1, то неравенство Иенсена можно записать в

В случае вогнутой функции знак неравенства изменится на противоположный. Физическая интерпретация – центр масс системы материальных точек, лежащих на выпуклой вверх дуге лежат не |выше точки кривой с той же абсциссой.

Неравенство меняется на противоположное, если pq < 0.

5 . Неравенство Коши – Буняковского – Шварца.

Из неравенства Гѐльдера следует, что

6 . Неравенство Минковского.

§ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ

ИПОСТРОЕНИЮ ИХ ГРАФИКОВ. ОБЩАЯ СХЕМА.

1.совпадение или подобие с графиками известных функций.

1 . Область определения функции, четность, нечетность, периодичность.

Def. Множество значений аргумента, для которых определено значение функции называется областью определения функции и обозначается D( f ) .

Def. Функция y f (x) называется четной, если x D( f ) f (x) f (x) .

График четной функции симметричен относительно оси абсцисс.

Def. Функция y f (x) называется нечетной, если x D( f ) f (x) f (x) . График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Def. Функция y f (x) называется периодической, если существует T 0 , такое что

x D( f ) f (x T ) f (x) f (x T ) .

2 . Поведение функции на границах области определения. Асимптоты. Исследование включает в себя определение характера точек разрыва функции и ее поведения на бесконечности. Для этого находятся соответствующие пределы.

Правило 1. Если при x a (т.е. к конечному значению) функция f (x) , то

функция имеет вертикальную асимптоту ( x a ).

Правило 2. Если при x функция f (x) b (т.е. к конечному значению), то функция имеет горизонтальную асимптоту ( y b ).

Правило 3. Если при x функция f (x) , то возможно, что функция имеет наклонную асимптоту ( y kx b ).

∆ Для получения необходимых и достаточных условий существования наклонных асимптот рассмотрим следующий предел, который для асимптоты y kx b , по определению, равен нулю.

Итак, для того, чтобы функция y f (x) имела наклонную асимптоту вида y kx b , необходимо и достаточно чтобы существовали и были конечны следующие два предела:

Аналогично: необходимым и достаточным условием существования асимптот вида

Не составляет большого труда получить необходимые и достаточные условия существования асимптот более сложного вида, скажем вида y ax b ln x c или

y aex bx c ln x d и др. ▲.

3 . Пересечение графика функции с осями координат, промежутки знакопостоянства функции.

Вычислив значение функции в точке x 0 получим координаты точки пересечения графика функции с осью ординат.

Решая уравнение f (x) 0 найдем координаты точек пересечения графика функции с

осью абсцисс. Зная эти точки и точки, которые не входят в область определения функции, с помощью метода интервалов, находим промежутки знакопостоянства функции.

4 . Построение первого эскиза графика.

5 . Нахождение производной y f (x) функции.

6 . Нахождение критических точек функции, т.е. точек в которых производная функции не существует или равна нулю. Эти точки являются точками «подозрительными» на экстремум, если, конечно, они принадлежат области определения.

7 . Зная критические точки функции, с помощью метода интервалов, устанавливаем промежутки монотонности функции. Функция возрастает на промежутках, на которых f (x) 0 и убывает на промежутках, на которых f (x) 0 .

8 . Для критических точек проверяем достаточные условия экстремума функции.

Если при возрастании аргумента производная функции меняет знак с «+» на «–», то в данной точке функция имеет максимум, если же при возрастании аргумента производная функции меняет знак с «–» на «+», то в данной точке функция имеет минимум. Если исследование поведения знака производной в окрестности точки вызывает значительные технические трудности, проверка достаточных условий экстремума функции может быть отложено до нахождения второй производной.

9 . Нахождение второй производной y f (x) функции.

10 . Проверка достаточных условий экстремума функции. Если в критической точке вторая производная функции положительна то функция в этой точке имеет минимум. Если в критической точке вторая производная функции отрицательна то функция в этой точке имеет максимум.

11 . Если на промежутке вторая производная функции положительна то функция вогнута (выпукла вниз). Если на промежутке вторая производная функции отрицательна то функция выпукла (выпукла вверх).

12 . Если в некоторой точке вторая производная функции равна нулю или не существует, а в окрестности этой точки меняет знак, то в этой точке функция имеет точку перегиба.

13 . Контрольные точки графика и окончательный эскиз графика функции.

NB: Схема – не догма! Схема – руководство к действию!

§ Примеры построения графиков функций.