матан

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский Национальный Университет им. В. Н. Каразина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ln F(α, β) =−

+ln c F(α, β) =ce

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

48. Интегралы с параметром

Условия.

Найти интеграл, зависящий от параметра

	∞ ln(1+αx2 )
№ 48.1.	∫	x2		dx,	(α >0)
	0
№ 48.2.	∫∞ e−αx −x e−β x			dx,	(α, β >0)
	0
	∞ arctg αx2		−arctg β x2
№ 48.3.	∫		x		dx,(α, β>0)
	0
№ 48.4.	∫∞ (e−αx −x e−β x )2				dx, (α, β >0)
	0
№ 48.5.	∫∞	e−αx −e−β x		sin γ xdx, (α, β >0)
№ 48.5.	∫∞	x		sin γ xdx, (α, β >0)
	0

	∞ ln(1+α		2 x)
№ 48.1.	∫	x3		dx
	0
	∞ arctg αx−arctg β x					dx, (α, β>0)
№ 48.2.	∫		x			dx, (α, β>0)
	0
№ 48.3.	∫∞ e−αx2 −x e−β x2				dx,	(α, β >0)
	0

∫∞ (arctg αx−arctg β x )2 (α β> )

№48.4. dx, , 0 x

∞

№ 48.5. ∫e−αx −x e−β x cosγ xdx, (α, β >0)

Теория.

Дифференцирование или интегрирование под знаком интеграла несобственных интегралов, зависящих от параметра

						F( y) =∞∫ f (x, y)dx,		y [c, d]
						a
d			∞	∞			d	d ∞	∞ d
d		d			∂
	F( y) =		∫f (x, y)dx =∫			f (x, y)dx,	∫F( y)dy =∫ ∫f (x, y)dx dy =∫ ∫
dy	F( y) =	dy	∫f (x, y)dx =∫		∂y	f (x, y)dx,	∫F( y)dy =∫ ∫f (x, y)dx dy =∫ ∫
			a	a			c	c a	a c

f (x, y)dy dx,

аналогично дифференцированию или интегрированию почленно функционального ряда

∞

S( y) =∑ fn ( y

n=0

d		d	∞	∞	d
	S( y) =		∑ fn ( y) =∑			fn ( y),
dy		dy			dy
			n=0	n=0

и связано с равномерной сходимостью интегралов

Теорема. (Признак Вейерштрасса). Пусть:

)

d	d ∞	∞	d
∫S( y)dy =∫∑ fn ( y)dy =∑			∫ fn ( y)dy	,
c	c n=0	n=0 c		,

(рядов).

1)		f (x, y)	≤g(x)	(	fn ( y)	≤gn )	y [c, d],
1)		f (x, y)	≤g(x)	(	fn ( y)	≤gn )	y [c, d],
			∞			∞
2)	интеграл ∫g(x)dx <+∞ (ряд ∑gn <+∞) сходится,
			a			n=0

			∞				∞
1)	интеграл ∫ f (x, y)dx <+∞ (ряд						∑ fn ( y) <+∞ ) сходится, причем абсолютно,
			a				n=0

причем равномерно на интервале y [c, d ] .

Решения.

№ 48.1.
∞ ln(1+αx2 )
F (α) =∫	x2	dx	(α >0).
0

Найдем функцию F(α) дифференцированием под знаком интеграла по параметруα :

∞ ln(1+αx2 )

∞

∂

ln(1+αx2 )

∞

F (α) =

∫

dx =∫

dx =

dα

∂α

x2 (1+αx2 )

∞

1 π

=∫

dx =

∫

α x =

arctg

α x

(1+αx

)

0 (1

α x)

)

−12

π α 2

F (α) =∫

F (α)dα =∫

dα

∫α

dα =

+c =π α +c.

dα

Замечая, что

F (0) =∫∞ ln(1+0x2 ) dx =0 , x2

найдем константу c

0 =π 0 +c c =0 .

Итак,

F (α) =π α .

Замечание. Полученный интеграл можно найти непосредственно:

∞ ln(1+αx2 )

∞

F (α) =∫

dx =−∫ln(1+αx

∞

=−

)

−

2αx

ln(1+αx

−∫x d ln(1+αx

) =−

∫x 1+αx2

∞

=2α∫

dx =2α

∫

α x =2 α arctg

α x

∞

=2 α

=π α.

(

α x)

0 1+αx

№ 48.2.

F (α, β) =∫∞

e−αx −e−β x

dx (α, β >0).

дифференцированием под знаком интеграла по параметруα .

Найдем функцию F(α, β)

∂

∂ ∞ e−αx −e−β x

∞

∂ e−αx −e−β x

∞ e−αx (−x)

∞

−αx

F (α, β) =

∫

dx =∫

dx =

∫

=−∫e

dx =

∂α

∞

∫e

−αx

d (−αx) =

−αx

0 =−

F(α, β) =∫∂∂α F(α, β)dα =−∫α1 dα =−lnα +c.

Замечая, что

∞

F (α, β) α=β =F (β, β) =∫e−β x −x e−β x dx =0 ,

найдем константу c :

0 =−ln β +c c =ln β .

Итак,

F (α, β) =ln β −lnα =ln αβ .

Замечание. Учитывая, что

e−αx −e−β x	= e−yx	y=β	β

			=∫e−yx dy ,
x	−x	y=α	α

рассмотрим интеграл:
G( y) =∞∫e−xy dx = e−xy			x=∞ = 0 −1	=	1	.


0	−y		x=0 −y		y

Проинтегрируем функцию G( y)

под знаком интеграла по параметру y :

∞

∞ β

∞

−αx

−β x

∫

−

∫

−

G( y)dy =

∫

yxdx dy =

yxdy dx =

−e

dx =F(α, β) .

0 α

С другой стороны

∫G( y)dy =∫

dy =ln y

αβ =ln β −lnα =ln

αα

№ 48.3.

∞ arctg αx2 −arctg β x2

F (α, β) =∫

(α, β >0).

дифференцированием под знаком интеграла по параметруα :

Найдем функцию F(α, β)

∂

∞ arctg αx2 −arctg β x2

∞

∂ arctg α x2 −arctg β x2

F (α, β) =

∫

dx =∫

dx =

∂α

∞

=∫

dx =∫

∫

d (αx

1 π π

dx =

arctg

α x

2 =

(1+α2 x4 )x

(1+α2 x4 )

2α

(

2 )2 )

2α

4α

0 1

+ αx

F(α, β) =∫

∂

F(α, β)dα =∫

dα =π4 lnα +c.

∂α

4α

Замечая, что

∞ arctg β x2 −arctg β x2

F (α, β)

α=β =F(β, β) =∫

dx =0 ,

найдем константу c :

0 =π ln β +c c =−π ln β

Итак,

F (α, β) =π4 lnα −π4 ln β =π4 ln αβ .

№ 48.4.

F (α, β) =∫∞ (e−αx −x e−β x )2 dx (α, β >0).

Найдем функцию F(α, β) дифференцированием под знаком интеграла по параметруα :

∂∂α F (α, β) = ∂∂α ∫∞ (e−αx −x e−β x )2 dx =∫∞ ∂∂α (e−αx −x e−β x )2 dx =

0 0

=∫∞ 2 (e−αx −x e−β x )e−αxx(−x) dx =−2∫∞ (e−αx −x e−β x )e−αx dx =G(α, β).

0 0

Функцию G(α, β) найдем дифференцированием под знаком интеграла по параметруβ :

∂∂β G(α, β)=−2 ∂∂β ∫∞ (e−αx −xe−β x )e−αxdx=−2∫∞ ∂∂β (e−α x −xe−β x )e−α xdx=−2∫∞ −ex−β x (−x)e−αxdx=

∞

−(α+β )x

∞

=−2∫e

−

+β

(

)

dx=−2

=−2

−(α+β)

(α

+β)

G(α, β) =

∂

G(α, β)d β =−2

d β =−2 ln(α + β) +c .

∫∂β

∫(α + β)

Замечая, что

G(α, β)

β =α =G(α,α) =−2∫∞ (

e−αx −e−αx

)e−αx dx =0 ,

найдем константу c1 :

0 =−2ln(α +α) +c1

c1 =2ln 2α .

Значит,

G(α, β) = −2ln(α + β) + 2ln 2α .

∂

F(α, β) =∫

F(α, β)dα =∫G(α, β)dα =∫(−2 ln(α +β) +2 ln 2α)dα =

∂α

=(−2 ln(α + β) +2 ln 2α)α −∫αd (−2 ln(α + β) +2 ln 2α)=

−2

=(−2 ln(α

+ β) +2 ln 2α)α −∫α

dα =

α + β

2α

=(−2 ln(α

+ β) +2 ln 2α)α −2∫

−α

=(−2 ln(α + β) +2 ln 2α)α −2∫

+1 dα

dα =

α + β

=(−2 ln(α + β) +2 ln 2α)α −2β ln(α + β) +c2 =−2(α + β) ln(α + β) +2α ln 2α +c2 .

Замечая, что

F (α, β)

α=β =F (β, β) =∫∞ (

e−β x −e−β x

)2 dx =0 ,

найдем константу c2 :

0 =−2(β + β) ln(β + β) +2β ln 2β +c2

c2 =2β ln 2β.

Итак,

(2α)2α (2β )2β

F(α, β) =−2(α + β) ln(α + β) +2α ln 2α +2β ln 2β =ln

(α + β)2(α+β )

№ 48.5.

∞

F (α, β) =∫e−αx −x e−β x sin γ xdx (α, β >0).

Найдем функцию F(α, β) дифференцированием под знаком интеграла по параметруα :

∂

∞ e−αx −e−β x

∞ ∂ e−αx −e−β x

∞ e−αx (−x)

F (α, β)

∫

sin γ xdx =∫

sin γ xdx =

∂α

=−∫∞ e−αx sin γ xdx =−Im∫∞

e−αx (cosγ x +i sin γ x)dx =−Im∫∞

e−αx eiγ x dx =−Im∫∞

e(−α+iγ )x dx =

=−Im

e(−α+iγ )x

∞

=Im

−α −iγ

−γ

(−α +iγ )

α2 +γ 2

−γ

F(α, β) =∫

∂

F(α, β)dα =∫

dα =−∫

=−arctg

+c.

∂α

α2 +γ

α 2

Замечая, что

F (α, β)

α=β =F(β, β) =∫∞

e−β x −e−β x

sin γ xdx =0 ,

найдем константу c :

c =arctg

0 =−arctg

Итак,

F (α, β) =arctg

−arctg

α .

49. Интеграл Эйлера-Пуассона

Условия.

Пользуясь интегралом Эйлера-Пуассона, найти интегралы, зависящие от параметра.

	∞ e−αx2			−e−β x2
№ 49.1.	∫					dx	(α, β >0)	№ 49.1.
№ 49.1.	∫		x2			dx	(α, β >0)	№ 49.1.
	0
	∞ − x2 +α2
	∫e			x2				№ 49.2.
№ 49.2.				x2	dx


	0
	∞
№ 49.3.	∫e	−αx2		cos β xdx			(α >0)	№ 49.3.
№ 49.3.	∫e			cos β xdx			(α >0)
	0
	∞ cos β x							№ 49.4.

№ 49.4.	∫ 1+ x2 dx
№ 49.4.	∫ 1+ x2 dx
	0

∞ e−αx −e−β x				dx	(α, β >0)
∫	x3
0
∫∞ e−(x+ax )		1	dx (a ≥0)
∫∞ e−(x+ax )		x	dx (a ≥0)
0
∫∞ xe−αx2 sin β xdx					(α >0)
0

∞

∫x1sin+ xβ2 x dx

Теория.

Интеграл Эйлера-Пуассона равен:

∞			π
∫e−x	2	dx =	π
∫e−x		dx =	2
0

Решения.

№ 49.1.

∞ e−αx2	−e−β x2
F (α, β) =∫		dx (α, β >0).
F (α, β) =∫	x2	dx (α, β >0).
0

Найдем функцию

∞

∂∂α F (α, β) = ∂∂α ∫

=− 1α ∫∞ e−( α x)2 d (

F (α, β) дифференцированием под знаком интеграла по параметруα .

e−αx2 −e−β x2

∞ ∂ e−αx2 −e−β x2

∞ e−αx2 (−x2 )

∞

−αx2

dx =

∫

dx =∫

dx =−∫e

dx =

∂α

∞

α x) =−

∫e−y

dy =−

2 α

F(α, β) =∫∂∂α F(α, β)dα =−∫2 πα dα =− π α +c.

Замечая, что

∞ e−β x2

−e−β x2

F (α, β)

α=β =F (β, β) =∫

dx =0 ,

найдем константу c :

0 =− π β +c c = π β .

Итак,

∞ e−αx2

−e−βx2

(

∫

dx = π

β −

№ 49.2.

∞	− x2	+α2
		x2
F (α) = ∫e			dx.

Найдем функцию F (α) дифференцированием под знаком интеграла по параметруα . Заметим, что функция F (α) четная, так что достаточно рассмотреть случай α ≥ 0 :

∂

∞

− x2+α2

∞

∂

− x2+α2

∞

− x2

+α2

2α

F (α) =

∫e

dx =∫

dx =∫e

(− x2

)dx =

∂α

∞ − x2+α2

0 − α2

+y2

∞ − y2+α2

=2∫e

d (α )= y = x

x = y

=2∫e

dy =−2∫e

dy =−

0 →∞ ∞ →0

∞

∂

F (α)

∂

F (α) =−2F (α)

∂α

=−2

∂

ln F (α) =−2 ln F (α) =−2α +ln c

∂α

F(α)

Замечая, что

∞

−x2

F (α)

α=0 =F (0) = ∫e

dx =

2F (α)

F (α) =ce−2α .

найдем константу c :

=ce−2 0

c =

∞

α2

− x

∫e

−2

Итак,

dx =

№ 49.3.

F (α, β) =∞∫e−αx2 cos β xdx.

Найдем функцию F (α, β) дифференцированием под знаком интеграла по параметруβ :

∂

∂ ∞

−αx2

∞

∂

−αx2

∞

−αx2

F(α, β) =

∫e

cos

β xdx =∫

cos β xdx =−∫e

sin β x x dx =

∂β

=− 12

∞∫e−αx2 sin β x dx2 =

∞∫e−αx2 sin β x d (−αx2 )=

∞∫sin β x de−αx2 =

2α

∞

sin β x e−αx

−

∫

e−αx

d sin β x

2α

β ∞

=−

∫e−αx

cosβ x dx =−

F(α, β).

2α

∂

F(α, β)

∂

F(α, β) =−

F(α, β)

∂β

2α

F(α, β)

1		∞	e−αx	2
1	0 −	∫			cosβ x β	dx	=
	0 −				cosβ x β	dx	=
2α
		0

=−	β	∂	ln F(α, β) =−	β
	2α	∂β		2α

Замечая, что

F (α, β)

β =0 = F (α,0) =∞∫e−αx2 dx =

∞∫e−αx2 d

α x =

∞∫e−y2 dy =

найдем константу c :

=ce0

c =

2 α

Итак,

β2

∞

e−

∫e−αx2 cos β xdx =

4α

2 α

Замечание. По существу найдено Cos - преобразование функции

f (x) =e−

+∞

e−

cos yxdx =e−

F ( y) =

∫

f (x) cos yxdx =

∫

как видно совпадающее с самой функцией.

№ 49.4.

∞

F (β) =∫cos1+ xβ2x dx

Заметим, что функция F (β)

четная, так что

достаточно

рассмотреть

случай

β ≥ 0 .

Найдем функцию F (β) “интегрированием по параметру”. Воспользуемся

представлением:

=∫∞ e−α(1+x2 ) dα.

1+ x2

Тогда:

∞

cos β x

∞

−α(1+x2 )

∞ ∞

−α(1+x2 )

F(β) =∫

1+ x2 dx =∫cos β x

dx =∫cos β x

∫e

dα dx =∫

∫cos β xe

dα

1+ x2

∞

β2

∫cos β xe

−α−αx2

−α

∫cos β xe

−αx2

−α

−

4α

=∫

dα =∫e

dα = [см. № 49.3.] =∫e

2 α e

dα =

	π	∞		β2			∞		β2
=		∫e	−α−		1	dα=	π ∫e	−α−		d
			−α−	4α	1			−α−	4α
	2				α
		0					0

Итак,

Сравнить с № 47.5.

∞

β2

− x2

−2

−β

α =

π ∫e

dx=[см. № 49.2.] = π

2 e

∞

∫cos1+ xβ2x dx =π2 e− β .

50. Эйлеровы интегралы

Условия.

С помощью Эйлеровых интегралов найти следующие интегралы.

№ 50.1.

∞∫e−x5

x13 dx

№ 50.1.

∞∫e−x3

x13 dx

№ 50.2.

∫1

1− x2 7 dx

№ 50.2.

∫1

x13 3 1− x3 4 dx

№ 50.3.

∫1

6 x

3 1− x 11dx

№ 50.3.

∫1

4 x5

1− x 3dx

№ 50.4.

∞∫

4 x7

№ 50.4.

∞∫

6 x11

(1+x)

∞

x11

∞

x13

№ 50.5.

∫0

№ 50.5.

∫0

(1+x3 )6

(1+x2 )6

№ 50.6.

∫2

sin8 x cos6 x dx

№ 50.6.

∫2 sin10 x cos4 x dx

№ 50.7.

∫2

sin11 x cos9 x dx

№ 50.7.

∫2

sin7 x cos13 x dx

Теория.

Гамма-функция

Γ(α) =∞∫e−x xα−1dx (α >0).

Основное свойство

Γ(α +1) =αΓ(α).

Учитывая, что

Γ(1) =∞∫e−xdx =1,

из основного свойства вытекает:

Γ(n +1) =n! (n =1, 2, 3,...).

Отметим:

∞	1		∞	1		∞	1	∞
			=∫e−x x−					=2∫e−y2 dy = π .
Γ(12 )=∫e−x x2		−1dx		2 dx	=2∫e−xdx2
0			0		0			0
Имеет место формула дополнения:				π
	Γ(α)Γ(1−α) =						(0 <α <1).

sinαπ

Бета-функция

B(α, β) =∫1 xα−1 (1− x)β −1 dx (α, β >0)

связана с гамма-функцией формулой

B(α, β) = Γ(α) Γ(β) .

Γ(α +β)

Решения.

№ 50.1.

∞

e−x5 x13 dx

= y x = y

−5

∞

e−y y

∫

= 5 y

∫

e−y (y5 )

2 1 y

−

5 dy = 1

∫

2 dy =

0 →∞ 0

→∞

∞

3 −1

(23 )= 15 Γ(12 +1)= 15 12 Γ(12 )= 15 12

= 15 ∫e−y y 2

dy = 15 Γ

π =

№ 50.2.

1− x2 7 dx =

−1

1− y 7 1 y−12 dy =

∫

= y x = y 2

dx = 2 y

2 dy

∫

0 →1

1 Γ(

Γ(

5 −1

−1

2 )

∫y2 (1− y)2

2 ∫y

(1− y)

dy =

2 B

( 52 , 92 )= 2

Γ(

5 9

+ 2 )

1 Γ(52 )Γ(72 +1)

Γ(52 )72 Γ(72 )

1 Γ(52 )

72 Γ(52 +1)

1 Γ(52 )

52 Γ(52 )

(

)

(

)

= 12 72 52

(Γ(52 ))2 = 12 72 52

(Γ(23 +1))2 = 12 72 52

(23 Γ(23 ))2 =

= 12 72 52

(23 Γ(12 +1))2 = 12 72 52

(23 12 Γ(12 ))2 = 12 72 52

(23 12 π )2 = 2711π .

№ 50.3.

6 x

3 1−

x = y x = y2 dx =2 ydy

∫

dx =

∫

y 3 1− y

2 ydy =

0 →1 0 →1

Γ(73 )Γ(143 )

−1

=2B( 73 , 143 )

=2∫y3 (1− y)

=2∫y3

(1− y)3

Γ(

3 )

Γ(34 +1)Γ(113 +1)

34 Γ(34 )113 Γ(

113 )

34 Γ(13 +1)113 Γ(

83 +1)

34 13 Γ(13)113

83 Γ(

83)

Γ(6 +1)

53 +1)

53 )

34 13 Γ(13)113 83 Γ(

34 13 Γ(13)113 83 53 Γ(

34 13 Γ(13)113 83 53 Γ(32 +1)

1 Γ(1 )

Γ(

2 )

Γ(

)Γ(

3 3 3 3

3 3 3

4 11 8

11 2

6! sin 1 π

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.2019366 Кб18маркетинг услугТ 1-4.doc
#
23.02.201540 Кб8Маркетинг.docx
#
01.05.2019276 Кб6Маркетингова географія Л.1.doc
#
01.07.2025382 Кб3Маркетинговая ценовая политика Методичка.doc
#
23.02.2015173 Кб21мат.методы.docx
#
23.02.20151 Мб85матан.pdf
#
23.02.20153 Мб93Матем. анализ. Методичка(1 семестр).doc
#
13.03.2016106 Кб6материаловедение Лекция 1.doc
#
25.08.201938 Кб8Материалы 3_1.docx
#
10.11.2019242 Кб2материалы для лекции 1.doc
#
01.05.202569 Кб1Материалы для студентов РНЖ.doc