Метода термодинамика(практика)

10

Для функции двух переменных:

1.6. Вычисление интеграла Ферми

Интегралом Ферми называется интеграл вида:

∞

I = ∫g(ε) f ((ε −µ)kT )dε,

0

g(ε) − монотонно возрастающая функция, равная нулю при ε = 0 , а µkT >>1. Функция f (z) , где z = (ε −µ)kT , при заданных условиях близка к единице, если ε < µ, и стремится к нулю ( ~ e−z ) при z →∞. Ее производная ∂f ∂ε– симметричная функция z с резким максимумом в точке ε = µ, а при других значениях ε близка к нулю. После вычисления интеграла по частям и

11

Так как при больших отрицательных значениях z подынтегральная функция близка к нулю, а µkT >>1, то с высокой степенью точности нижний предел

т.е. слагаемые с нечетным значением m исчезают, а интеграл I преобразуется к виду:

13

14

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

2.1.Определения и понятия теории вероятностей (ТВ)

ТВ изучает количественную характеристику массовых явлений. Испытанием в ТВ принято называть реализацию точно установленных предписаний и условий, которые принципиально могут воспроизводиться неограниченное число раз. Результат испытания называется событием.

то последнее называется вероятностью события. Вероятность некоторого k -го состояния системы может быть определена по формуле

Следует отметить, что характер приближения к вероятности при увеличении числа испытаний отличается от “стремления к пределу” в математическом смысле слова. При возрастании числа испытаний частота приближается к вероятности, но не с полной достоверностью, а с большой вероятностью, которая при большом числе опытов может рассматриваться как практическая достоверность. (Строгое определение вероятности см. в соответствующих учебниках).

Если случайная величина (СВ) x имеет непрерывный спектр значений, то вероятность того, что она будет находиться в интервале от x до x + dx равна

15

где f (x) − функция статистического распределения (функция распределения).

Ее еще называют плотностью вероятности, так как она имеет смысл вероятности отнесенной к единичному интервалу изменения СВ.

Два события A и B называются несовместимыми (несовместными), если при испытании они не могут произойти одновременно. Суммой или объединением двух событий

C = A B

называется наступление одного из двух событий. Знак означает “или − или”.

Эта теорема, следующая из (2.2), распространяется на случай любого числа несовместных событий, как с дискретным, так и непрерывным спектром значений.

Вероятность того, что СВ принимает значение, меньшее некоторого заданного числа x , равна

W (xi < x) = Φ(x) = ∑W (xi ) .

xi <x

Если СВ имеет непрерывный спектр значений из ограниченного или бесконечного интервала, то

16

Совокупность всех событий, которые могут произойти при одном испытании, называется полной системой. Вероятность реализации хотя бы одного события из полной системы есть достоверное событие (условие нормировки):

k =1

Здесь суммирование (интегрирование) ведется по всем возможным событиям (значениям).

Если полная система состоит из двух событий A и A, A− противоположное событие, заключающееся в том, что событие A не происходит, то этот факт можно представить формулой

A A =U ,

где U − достоверное событие. В этом случае

Два события называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность реализации другого. Сложное событие C , состоящее в одновременной или последовательной реализациях двух независимых A и B , называется пересечением (или произведением) составляющих его событий

C = A ∩B .

Знак ∩ имеет смысл “как − так и”.

Для двух независимых событий выполняется теорема умножения вероятностей

Эта теорема обобщается на произвольное число независимых событий.

Если событие A изменяет условия испытания и тем самым вероятность

17

2.3. Основные характеристики случайной величины

В качестве важных параметров распределения в теории вероятностей рассматривают среднее значение СВ:

ее среднеквадратичное отклонение (флуктуацию)

и дисперсию −D = σ2 . Последняя характеризует разброс СВ относительно ее среднего значения. Относительной флуктуацией называется величина

Наряду со средними значениями СВ используют понятие среднего значения функций СВ:

среднее значение произведения независимых СВ равно произведению их средних значений

Здесь под xi понимается совокупность произвольных СВ.

18

2.4. Функции распределения

Если в каждом из N независимых испытаниях вероятность наступления события A равна w , то вероятность, что это событие реализуется в точности k раз, не учитывая порядка событий, определяется биномиальным законом распределения (или распределением Бернулли):

Если их вероятности соответственно равныwi ( A i ) , то вероятность, что в N

испытаниях точно ki раз произойдет событие A i ( N = ∑ki ), равна

i

WN (k1,k2 ,...) = N ! (w1k1 w2k2 w3k3 ...) (k1 ! k2 ! k3 !...) = N!∏(wiki ki !). (2.18)

i

Вероятность, что событие A осуществляется в N опытах по крайней мере k раз, есть сумма N − k +1 первых членов разложения бинома(w + q)N :

k =0

При биномиальном распределении среднее число реализаций случайного события равно произведению числа испытаний и его вероятности при одном испытании

k =0

Дисперсия такого случайного события равна произведению трех сомножителей

(∆k)2 = k2 − k 2 = Nw(1− w) .

Асимптотическими выражениями распределения Бернулли является нормальное гауссовское (см. раздел 1) и распределение Пуассона, когда при

19

большом числе испытаний ( N >> k ) вероятность w события – малая величина

Оно является математической моделью радиоактивного распада, количества экстремальных ситуаций, дробового эффекта и других “редких событий”. Среднее значение и дисперсия случайного события, распределенного по этому закону, совпадают и равны

Р е ш е н и е . 1. Событие нахождения n частиц в состоянии P − сложное, состоящее из двух независимых: 1) n − частиц находятся в состоянии P и 2) остальные N − n не находятся в этом состоянии. Поэтому вероятность нахождения n конкретных (“номерованных”) частиц в состоянии P определяется теоремой умножения:

pn (1 − p)N − n .

2. Для тождественных частиц искомая вероятность описывается биномиальным распределением: