Виленкин Рассказы о множествах

Но и среди канторовых линий есть такие, что их свойства совершенно непохожи на свойства обычных линий. Сейчас мы расскажем о некоторых таких линиях.

Всегда ли площадь линии равна нулю?

Конечно, после того, как читатель познакомился с линиями, проходящими через все точки квадрата, он может ожидать чего угодно. Но все же, может ли линия иметь площадь? Ведь еще Евклид говорил, что линия — это длина без ширины. А там, где нет ширины, откуда же взяться площади? Да и в определении канторовой линии сказано, что она не содержит ни одного целого куска плоскости. Откуда же в этом случае взяться площади? Но не торопитесь давать безапелляционный ответ.

Прежде чем исследовать вопрос, надо договориться о точном смысле употребляемых слов. Что значат слова «линия имеет нулевую площадь» или «линия имеет ненулевую площадь»? Возьмем самую обычную линию — прямолинейный отрезок. Так как его ширина равна нулю, то отрезок можно поместить внутрь прямоугольника сколь угодно малой площади, нужно лишь выбрать ширину этого прямоугольника достаточно малой. Точно так же и окружность можно поместить внутрь многоугольника со сколь угодно малой площадью. Для этого достаточно вписать в нее правильный многоугольник с очень большим числом сторон и описать

Рис. 60 аналогичный многоугольник. Область, заключенная между этими двумя многоугольниками, бу-

дет иметь малую площадь (тем меньшую, чем больше сторон у наших многоугольников), а окружность целиком лежит в этой области (рис. 60).

Теперь уже ясно, что означают слова «линия имеет нулевую площадь». Они значат, что, какое бы маленькое положительное число ε

мы ни взяли, найдется многоугольная область, содержащая линию и такая, что площадь области меньше чем ε. А если хоть для одного положительного ε такой области не удастся найти, тогда площадь линии не равна нулю.

Чтобы это определение стало яснее, применим его не к таким простым линиям, как отрезок или окружность, а к более сложным. Одной из таких линий является, конечно, ковер Серпинского. Найдем, чему равна его площадь. Для этого вспомним, что площадь всего квадрата была равна 1. На первом шаге мы выбросили цен-

тральный квадрат, имевший площадь 19 . В результате получилась многоугольная область с площадью 89 . На втором шаге мы выбросили 8 квадратиков, каждый из которых имел площадь 811 . После этого осталась многоугольная область с площадью

89 − 818 = 6481 = 89 2 .

Теперь уже ясно, что после третьего шага останется многоугольная

и большую степень, то в пределе получим нуль: если 0 < q < 1, то

lim qn = 0.

ласть, площадь которой меньше чем ε. А эта область целиком накрывает ковер Серпинского. Выходит, площадь ковра Серпинского равна нулю.

Казалось бы, полный триумф определения Евклида. Даже у такой сложной линии, как ковер Серпинского, площадь равна нулю. Но праздновать победу преждевременно. Ведь никто не заставлял нас выбрасывать такие большие куски. Поступим более экономно и разделим квадрат не на 9, а на 25 равных частей (то есть каждую сторону разделим на 5 частей). Выбросим центральный квадратик,

площадь которого равна, очевидно, 251 . Теперь читателю, вероятно, хочется разделить каждый из оставшихся 24 квадратиков на 25

частей и выбросить центральную часть. Но это было бы опять неэкономно. Вместо этого возьмем отрезки, ограничивающие выброшенный квадратик, и продолжим их до пересечения со сторонами большого квадрата. У нас получатся 4 квадрата (по углам) и 4 прямоугольника. В каждом квадрате и каждом прямоугольнике проведем

кресты с шириной перекладин 251 и выбросим центральные части крестов (рис. 61). Так как площадь каждой центральной части рав-

не удастся. А ведь этот остаток, как и ковер Серпинского, является кривой (в смысле Кантора) — при его построении мы дырявили каждый прямоугольник и ни одного целого прямоугольника не оставили.

Выходит, таким образом, что кривая в смысле Кантора может иметь ненулевую площадь!

Области без площади

Все же разобранный пример еще не слишком убедителен: полученная линия сплошь состоит из точек самопересечения и не ограничивает никакой области. Поэтому возникает вопрос, а может ли «хорошая» кривая, не имеющая точек самопересечения, то есть

замкнутая жорданова кривая без самопересечений, иметь ненулевую площадь? Оказывается, может!

Чтобы построить такую кривую, изменим немного проводившееся построение. Сначала построим множество, в котором не только что целого куска плоскости, а и целого куска линии не найдешь, но площадь которого не равна нулю. Для этого надо выбрасывать не только центральные квадратики, а целые кресты, так, как изображено на рис. 62. При этом размеры крестов подберем так, чтобы

выбрасывали целые кресты, безжалостно кромсая квадрат. Никакие две точки этого остатка нельзя соединить линией, даже линией в смысле Кантора; всякая связь между его точками отсутствует. Как говорят математики, остаток является вполне несвязным множеством. А площадь этого множества, не содержащего ни целого

Теперь уже легко построить пример несамопересекающейся замкнутой кривой, имеющей ненулевую площадь. Для этого нужно соединить полученные точки точно так же, как мы проводили кривую через все точки квадрата. Из-за того, что на каждом шаге мы

выбрасывали целые кресты, получающаяся линия не имеет самопересечений (этим она и отличается от кривой Пеано). Но так как она проходит через все точки множества, площадь которого по крайней

мере равна 179 , то и площадь полученной линии по крайней мере

равна 179 .

Теперь уже ничего не стоит построить область, не имеющую площади. Для этого надо соединить точки A и B полученной кривой какой угодно линией, например полуокружностью. Тогда полученная линия Г ограничивает какую-то область G. Чему же равна ее площадь? Ответ получится разный в зависимости от того, присоединим мы к этой области ее границу или нет — ведь сама граница

имеет площадь, по крайней мере равную 179 . Ясно, что обычной площади наша область не имеет. Такие области, не имеющие обычной площади, в математике называют неквадрируемыми.

Неожиданные примеры

Вероятно, после появления кривой Пеано математики были уверены, что знают уже все «чудовища» из мира необычайных функций и линий. Однако и потом их еще не раз подводила геометрическая интуиция. Насколько отличаются свойства канторовых линий от свойств обычных линий, лучше всего говорит следующая история.

В начале XX века известный математик Шёнфлис опубликовал серию работ, в которых говорилось о различных свойствах кривых, границ областей и т. д. При этом Шёнфлис часто опирался на «геометрическую очевидность». Но через несколько лет, в 1910 году, появилась короткая (всего 12 страниц) статья молодого голландского математика Брауэра. Она содержа-

Рис. 63 ла несколько удивительных примеров, из которых следовало, что одни результаты Шёнфлиса просто неверны,

а другие, хотя и верны, но нестрого доказаны. Поистине плохую шутку сыграла с Шёнфлисом «геометрическая очевидность»!

Чтобы показать, какие «очевидные» утверждения оказались неверными, приведем некоторые примеры Брауэра (при этом мы используем полученные позднее упрощения).

Брауэр построил ограниченную область, граница которой (в обычном понимании этого слова) не являлась континуумом. Для этого он взял бутылку и начал вытягивать ее горлышко, наматывая его на окружность (рис. 63). В результате получилась область, ограниченная двумя спиралями и бутылкой. Но эта граница не является континуумом; чтобы получить континуум, надо к нашим спиралям прибавить окружность, на которую они наматываются.

Если же добавить к границе окружность, то получится новое осложнение: точки границы нельзя будет соединить с точками области линиями конечной длины.

Области и границы F

Раз мы уже заговорили об областях и границах, уточним соответствующие понятия. Ведь поскольку жорданово определение линии оказалось не слишком удачным, то и определение области надо дать заново.

Назовем открытым множеством на плоскости любое множество, являющееся суммой кругов с отброшенными границами. В частности, дополнение до любого плоского континуума является открытым плоским множеством. Все обычные плоские области (внутренность крута, квадрата, треугольника и т. д.) являются открытыми множествами (на плоскости). Кроме того, они связны: любые две их точки можно соединить ломаной линией, не выходя из этой области. Эти свойства и определяют плоскую область.

Плоской областью называют связное множество точек плоскости, являющееся суммой кругов с отброшенными границами.

При этом число кругов может быть произвольным. Однако можно доказать, что любую область можно составить из счетного множества кругов.

Круг с отброшенной границей называют окрестностью его центра a. Разумеется, каждая точка имеет бесконечно много окрестностей.

Точку a на плоскости называют граничной для области G, если в любой окрестности точки a есть как точки из области G, так и точки, ей не принадлежащие (рис. 64).

с ней стран. Почти каждая точка границы этой страны принадлежит двум и только двум странам: данной и одной из сопредельных. Поэтому в каждой точке границы стоят два пограничника — один из этой страны, а другой — из сопредельной. Есть на карте несколько точек, где сходятся три страны (рис. 67). В таких точках стоят уже три пограничника. Но таких мест на карте — лишь конечное число. И кажется совершенно очевидным, что такие точки не могут заполнить всю границу страны, то есть что не может быть трех областей (трех стран), имеющих одну и ту же общую границу. Иными словами, кажется очевидным, что три пограничника из трех разных стран не могут стоять в каждой точке границы.

А Брауэр построил такие три области. Чтобы понять этот пример, представим себе, что в океане есть остров, на котором находятся два озера с пресной водой. Только в одном озере вода холодная, а в другом теплая. Теперь проведем следующие ирригационные работы. В течение первых суток проведем каналы от океана и от обоих озер так, чтобы каждый из этих каналов был слепым (то есть только заливом соответствующего водоема), чтобы эти каналы нигде не соприкасались друг с другом и чтобы в результате расстояние каждой точки суши до океанских вод, а также до вод обоих озер было меньше 1 километра (рис. 68).

В следующую половину суток продолжим эти каналы так, что они по-прежнему остаются слепыми и не соприкасаются между собой, а расстояние от каждой точки суши до любого из трех каналов

становится меньше чем 12 километра. При этом, конечно, каналы должны стать более узкими, чем ранее. В следующую четверть суток каналы продолжаются дальше так, чтобы каждая точка суши

отстояла от любого канала меньше чем на 14 километра и т. д. С каждым шагом каналы становятся все извилистее и извилистее, все уже

и уже. Через двое суток такой работы весь остров будет пронизан этими тремя каналами и превратится в канторову линию. Стоя в любой точке этой линии, можно зачерпнуть, по желанию, соленой, теплой пресной или холодной пресной воды. При этом воды не смешиваются друг с другом. Если бы вместо океана и озер мы взяли три страны, то получили бы ту удивительную картину, о которой говорили вначале, в каждой точке границы можно поставить трех пограничников по одному от каждой страны.

«Недиссертабельная» тема

Мы уже говорили, что у канторова определения был один недостаток: оно совсем не годилось для пространственных кривых. А уж что такое поверхность в пространстве — никто не знал. Эту задачу — выяснить, что такое пространственная кривая и поверхность в пространстве, — поставил летом 1921 года перед своим двадцатитрехлетним учеником Павлом Самуиловичем Урысоном маститый профессор Московского университета Дмитрий Федорович Егоров (как видно, он больше думал о математической значительности проблемы, чем, как теперь иногда говорят, о диссертабельности темы: задача-то была одной из труднейших!).

Вскоре Урысон понял, что задача Егорова лишь частный случай гораздо более общей проблемы: что такое размерность геометрической фигуры, то есть сколько измерений она имеет, почему надо говорить, что отрезок или окружность имеют размерность 1, квадрат — размерность 2, а куб или шар — размерность 3? Вот как вспоминал об этом периоде жизни П. С. Урысона его ближайший друг, в те годы такой же молодой аспирант, а впоследствии академик, почетный президент Московского математического общества Павел Сергеевич Александров:

«...Все лето 1921 года прошло в напряженных попытках найти настоящее определение (размерности), причем П. С. [Урысон] переходил от одного варианта к другому, постоянно строя примеры, показывавшие, почему тот или иной вариант надо отбросить. Это были два месяца действительно всепоглощающих размышлений. Наконец, в одно утро в конце августа П. С. проснулся с готовым, окончательным и всем теперь хорошо известным индуктивным определением размерности... В то же утро во время купания в Клязьме П. С. рассказал мне свое определение размерности и тут же, во время этого разговора, затянувшегося

на несколько часов, набросал план всего построения теории размерности с целым рядом теорем, бывших тогда гипотезами, за которые неизвестно было, как и взяться, и которые затем доказывались одна за другой в течение последующих месяцев. Никогда потом я не был участником или свидетелем математического разговора, который состоял бы из такого сплошного потока новых мыслей, как в то августовское

ками). Но часть поверхности уже невозможно отделить от всей поверхности несколькими точками —

для этого обязательно потребуется целая линия, — сколько бы точек ни взять на поверхности, их всегда можно обойти. Точно так же часть трехмерного пространства отделяется от всего остального пространства поверхностью.

Все это надо было еще уточнить: на некоторых линиях для отделения части требуется бесконечно много точек, но эти точки не образуют в совокупности никакой линии. Урысону удалось точно сформулировать все нужные определения. В каком-то смысле его определения напоминали определения Евклида (оконечность линии — точки, оконечность поверхности — линии). Но это сходство примерно такое же, как между греческой триерой и современным океанским лайнером.

Индуктивное определение размерности

Расскажем теперь точнее, как же определяется размерность геометрической фигуры по Урысону. Сначала выясним, что такое