Курс_ТОЭ-1_2011_12
.pdf
Чтобы найти Zвх, закорачиваем точки 1 и 0 и ищем ток короткого замыкания Iкз.
Составим систему уравнений для схемы рис. 2.13 при закороченных зажимах 1 и 0 (ϕ1 = ϕ0 = 0).
ϕ2(1/Z1(1) + 1/Z4(1) + 1/Z5(1)) − ϕ3/Z4(1) = E1/Z1(1);
−ϕ2/Z4(1) + ϕ3(1/Z3(1) + 1/Z4(1) + 1/Z7(1) + 1/Z2(1)) = E2/Z2(1).
Решив эту систему, получаем:
ϕ2 = 119,61 + 0,64375j кВ;
ϕ3 = 86,7528 + 35,0359j кВ. Токи в ветвях:
I3 = ϕ3/Z3(1) = 0,8716 − 0,8658j кА; I5 = ϕ2/Z5(1) = 0,8104 − 1,3211j кА; Iкз = I5 + I3 = 1,6820− 2,1869j кА;
Zвх(1) = Uxx/Iкз = 33,2097 + 59,6549j Ом.
Чтобы найти Zвх(2), свернем схему рис. 2.14 относительно зажимов 1 и 0, предварительно преобразовав треугольник в звезду (рис. 2.16).
1 |
3 |
|
Z′ |
Z′′ |
|
0′ |
Z7(2) |
Z2(2) |
Z6(2) Z′′′
2
Z1(2)
0
Рис. 2.16. Преобразованная схема обратной последовательности
Параметры схемы рис. 2.16:
Z′ = Z5(2) Z3(2)/(Z5(2) + Z3(2) + Z4(2)) = 11,5677 + 23,7050j Ом; Z′′ = Z4(2) Z3(2)/(Z5(2) + Z3(2) + Z4(2)) = 10,3923 + 21,5387j Ом; Z′′′ = Z5(2) Z4(2)/(Z5(2) + Z3(2) + Z4(2)) = 13,4733 + 20,1437j Ом;
Z0′0 = Z′′ + Z2(2) Z7(2)/(Z2(2) + Z7(2)) = 67,7423 + j95,266 Ом;
Z10 = Z′ + Z0′0(Z′′′ + Z1(2))/(Z0′0 + Z′′′ + Z1(2)) = 31,915 + j58,4213 Ом; Zвх(2) = Z6(2) Z10/(Z6(2) + Z10) = 34,297 + j51,998 Ом.
33
Чтобы найти Zвх(0), свернем схему рис. 2.15 относительно зажимов 1и 0, предварительно преобразовав треугольник в звезду (рис. 2.17).
1 |
|
3 |
|
Z′ |
Z′′ |
|
|
0′ |
|
Z7(0) |
Z2(0) |
Z6(0) |
|
|
|
n1 |
Z′′′ |
3Zn2 |
3ZN2 |
2 |
|
|
|
|
Z1(0) |
|
|
0
Рис. 2.17. Преобразованная схема нулевой последовательности
Параметры схемы рис. 2.17:
Z′ = Z5(0) Z3(0)/(Z5(0) + Z3(0) + Z4(0)) = 11,6325 + 82,548j Ом;
Z′′ = Z4(0) Z3(0)/(Z5(0) + Z3(0) + Z4(0)) = 10,446 + 75,04j Ом; Z′′′ = Z5(0) Z4(0)/(Z5(0) + Z3(0) + Z4(0)) = 13,444 + 70,693j Ом;
Z0′0 = Z′′ + (Z2(0) + 3ZN2)(Z7(0) + 3Zn2)/(Z2(0) + Z7(0) + 3Zn2 + 3ZN2) = 160,241 +
+ 289,98j Ом;
Zвх(0) = Z′ + Z0′0(Z′′′ + Z1(0))/(Z0′0 + Z′′′ + Z1(0)) = 64,468 + 235,02j Ом.
6. При формировании уравнений для расчета симметричных составляющих токов и напряжений по принципу компенсации заменяем несимметричную нагрузку тремя источниками ЭДС с неизвестными напряжениями на зажимах UA, UB , UC, образующими некоторую несимметричную систему (рис. 2.18), которую раскладываем на симметричные составляющие.
A |
В |
С |
А |
В |
|
С |
|
|
|
|
UA(1 ) |
a2UA(1) |
aUA(1) |
UA |
UB |
UC |
|
UA(2) |
aUA (1) |
a2UA(1) |
|
|
|
|
UA(0 ) |
UA(0) |
UA(0) |
Рис. 2.18. Схема включения компенсирующих источников
34
С учетом выполненных преобразований схем рис. 2.13, 2.14, 2.15 и схем рис. 2.18 получаем однофазные (на фазу А) расчетные схемы рис. 2.19.
Zвх(1) I(1) |
1 |
Zвх(2 ) I(2) |
1 |
Zвх(0) I(0 ) 1 |
Eэ(1) U(1)
0 |
U(2) |
U(0) |
0 |
0 |
a) |
б) |
в) |
Рис. 2.19. Расчетные схемы прямой (а), обратной (б), нулевой (в) последовательностей
Схемам рис. 2.19 соответствуют уравнения активного двухполюс-
ника:
I(1)Zвх(1) + U(1) |
= Eэ(1); |
(2.7) |
I(2)Zвх(2) + U(2) |
= 0; |
(2.8) |
I(0)Zвх(0) + U(0) |
= 0. |
(2.9) |
Дополнительные уравнения, определяющие вид несимметрии (од-
нофазное КЗ фазы В), запишутся следующим образом: |
|
|
IA = 0; |
I(1) + I(2) + I(0) = 0; |
(2.10) |
IC = 0; |
aI (1) + a2I(2) + I(0) = 0; |
(2.11) |
UB = 0; |
a2U(1) + aU(2) + U(0) = 0. |
(2.12) |
7. Решив систему уравнений (2.7÷2.12), получаем следующие симметричные составляющие токов и напряжений:
I(1) = 0,2485 − 0,4428j = 0,5078e-j60,7° кА; I(2) = 0,25925 + 0,437j = 0,5078ej59,3° кА; I(0) = −0,5078 + 0,0062j = 0,5078ej179,3° кА; U(1) = 151,65 + 27,6j = 154,14ej10,313° кВ; U(2) = 13,813 − 28,456j = 31,63e-j64,1° кВ; U(0) = 34,19 + 118,94j = 123,75ej73,96° кВ.
8. Ток короткого замыкания фазы В несимметричного участка Iкз В = a2I(1) + aI(2) + I(0) = −1,5233 + 0,0186j кА.
Напряжения на фазах А и С несимметричного участка: UA = U(1) + U(2) + U(0) = 199,65 + 118,075j = 232ej30,6° кВ;
35
UC = aU(1) + a2U(2) + U(0) = −97,08 + 238,74j = 257,72ej112,13° кВ.
Отразим полученные результаты на рис. 2.11.
9. Рассчитаем симметричные составляющие для тока в ветви 6 в несимметричном режиме.
I6(1) = U(1)/Z6(1) = 0,1962 − 0,0848j = 0,2137e-j23,38° кА; I6(2) = U(2)/Z6(2) = 0,016 − 0,0496j = 0,0523e-j71,701° кА;
I6(0) = 0, так как точка n1 изолирована и тока нулевой последовательности в этой ветви нет.
Фазные токи в ветви 6 определяются через симметричные составляющие.
IA6 = I6(1) + I6(2) = 0,2126 − 0,1344j = 0,2515e-j32,3° кА; IB6 = a2I6(1) + aI6(2) = −0,137 − 0,0885j = 0,163e-j147,1° кА; IC6 = aI6(1) + a2I6(2) = −0,0758 + 0,223j = 0,2355ej108,78° кА.
Расчетные токи несимметричного режима нанесены на векторную диаграмму рис. 2.11 для сопоставления с исходным симметричным режимом. На рис. 2.20 показано графическое суммирование симметричных составляющих для получения токов несимметричного режима.
Второй уровень сложности
Несимметричный режим в статической цепи
1. В части 1 настоящей работы была рассмотрена электрическая цепь, являющаяся одной фазой симметричной трехфазной цепи, которую мы теперь изобразим в развернутом виде (рис. 2.21).
Запишем в комплексной форме системы ЭДС симметричных трехфазных генераторов, а также токов в них с учетом того, что расчетные схемы на одну фазу, как правило, составляются для фазы А:
E1A = 220ej0° кB;
E1B = a2E1A = 220e-j120° кВ; E1C = aE1A = 220ej120° кВ; E2A = 220ej45° кВ;
E2B = 220e-j75° кВ; E2C = 220ej165° кВ;
I1A = 0,5935e-j115,23° кА;
I1B = a2I1A = 0,5935e-j235,23° кА;
36
I(2)
aI6(1)
+j
IC6
+ |
0,1 кА |
|
I6(1)
0,05 кА
IA6
I(1)
aI6(2)
I6(2)
a2I6(2)
IВ6
a2I6(1)
I(0)
a2I(1)
aI(2)
IкзВ
Рис. 2.20. Графическое суммирование симметричных составляющих токов
37
|
Z6 |
|
1A |
|
Z3 |
|
3A |
|
|
|
|
|
n1 |
Z6 |
|
1B |
|
Z3 |
|
3B |
|
|
|
|
|
|
Z6 |
|
1C |
|
Z3 |
|
3C |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z5 |
|
2A |
Z4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z5 |
|
2B |
Z4 |
Z7 |
Z7 |
Z7 |
Z2 |
Z2 |
Z2 |
|
|
|
Z5 |
|
2C |
Z4 |
|
|
|
|
|
|
|
IA |
IB |
IC |
|
|
|
|
|
E2C E2B E2A |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
N2 |
|
|
ZA ZB ZC |
Z1 Z1 Z1 |
|
|
Zn2 |
|
|
ZN2 |
|
|||
|
|
|
|
E1A |
E1B E1C |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
N1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.21. Схема трехфазной цепи в развернутом виде |
|
|
|
||||||
I1C = aI1A = 0,5935ej4,77° кА; I2A = 0,9368ej40,89° кА;
I2В = 0,9368e-j79,11° кА; I2С = 0,9368ej160,89° кА,
где а − фазный множитель трехфазной системы ( а = ej120° = −1/2 + j√3/2). 2. Дополним схему рис. 2.21 статической несимметричной нагруз-
кой с изолированной нейтральной точкой, например:
ZA = j50 Ом;
ZB = 30 Ом;
ZC = −j60 Ом,
подключенной в данном случае к первому узлу схемы.
Учтем режимы работы нейтралей генераторов и симметричных нагрузок в соответствии с табл. 2.6 (например: ZN1 = 0, ZN2 = j8 Ом, Zn2 =
=j5 Ом, точка n1 изолирована от земли).
3.Построим для симметричного режима топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов. Ограничимся при по-
38
строении изображением потенциалов только узловых точек, ЭДС генераторов и токов в них (рис. 2.22).
4. Будем в дальнейшем всю симметричную часть цепи рассматривать как эквивалентный генератор по отношению к точкам подключения несимметричной нагрузки. ЭДС эквивалентного генератора равна рассчитанному ранее до подключения несимметричной нагрузки потенциалу узла 1, то есть соответствующему напряжению холостого хода:
ЕэА = UxxA = ϕ1A = 188,37ej8,46° кВ; ЕэВ = 188,37е -j111,54° кВ;
ЕэС = 188,37ej128,46° кВ.
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора рассчитывается свертыванием цепи относительно точек подключения несимметричной нагрузки. При этом все ветви схемы являются пассивными (ЭДС источников Е1 и Е2 принимаются равными нулю, остаются в схеме только внутренние сопротивления источников). Используются формулы эквивалентных преобразований схем. Исходная и преобразованные схемы приведены на рис. 2.23.
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора (или входное по отношению к зажимам 1-0 на рис. 2.23) определяется выражениями:
Z′ = Z3Z5/(Z3 + Z4 + Z5) = (30 + j70)(40 + j66)/(30 + j70 + 36 + j60 + 40 +
+ j66) = 11,56 + j23,705 Ом;
Z′′ = Z3Z4/(Z3 + Z4 + Z5) = 10,392 + j21,539 Ом;
Z′′′ = Z4Z5/(Z3 + Z4 + Z5) = 13,473 + j20,144 Ом;
Z27 = Z2Z7/(Z2+Z7) = (50 + j110)(600 − j300)/(50 + j110 + 600 − j300) =
= 68,164 + j98,386 Ом;
Zэ = Z′ + (Z′′ + Z27)(Z′′′ + Z1)/(Z′′ + Z27 + Z′′′ + Z1) = 33,11 + j66,706 Ом;
Zвх = Z6Zэ/(Z6 + Zэ) = (600 + j400)(33,11 + j66,706)/(600 + j400 + 33,11 + + j66,706) = 33,209 + j59,656 Ом.
Далее рассматриваем эквивалентную расчетную схему рис. 2.9.
39
I2А |
+ |
|
30 кВ |
2А |
Е1А |
0,1 кА |
|
|
3А |
|
|
|
|
|
|
|
1А I1С |
|
|
Е2А
U1А1В
Е2В I2В
U1С1А
0
+j
|
|
|
1В |
3В |
Е1С |
|
|
I1А |
2В |
|
U1В1С |
|
||
I1В |
Е1В |
|
||
2С |
1С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3С |
|
|
|
Е2С
I2С
Рис. 2.22. Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений симметричной трехфазной цепи
40
1 |
Z3 |
1 |
|
1 |
|
Z5 |
Z4 |
Z′ |
Z′′ |
|
|
Z7 Z2 |
|
Z7 Z2 Zвx |
|
Z6 |
Z1 |
Z6 |
Z′′′ |
|
|
|
|
Z1 |
0 |
|
0 |
|
0 |
Рис. 2.23. К определению входного сопротивления эквивалентного генератора
5. Рассчитаем напряжение смещения нейтрали UnN: UnN = (EэАYA + EэВYB + EэСYC)/(YA + YB + YC),
где YA = 1/(Zвх + ZA) = 1/(33,209 + j59,656 + j50) = 0,00253 −j0,00835 = = 0,00873e -j73,15° См;
YВ = 1/(Zвх + ZВ)=1/(33,209 + j59,656 + 30) = 0,00837 − j0,07897 = = 0,0115e -j43,34° См;
YС = 1/(Zвх + ZС) = 1/(33,209 + j59,656 − j60) = 0,0301 + j0,000312 = = 0,03011ej0,594° См.
UnN = −118,85 + j2,538 = 118,88ej178,78° кВ.
Определим напряжения UA′n, UB′n, UC′n в схеме рис. 2.9: UA′n = EэА − UnN = 305,17 + j25,175 = 306,21ej4,716° кВ; UB′n = EэB − UnN = 49,69 − j177,75 = 184,57e-j74,382° кВ; UC′n = EэC − UnN = 1,69 + j144,96 = 144,97ej89,33° кВ. Найдем токи в фазах:
IA = UA′n YA = 0,9823 − j2,4855 = 2,673e -j68,44° кА;
IВ = UВ′n YВ = −0,9879 − j1,88 = 2,1235e-j117,73° кА;
IС = UС′n YС = 0,00563 + j4,3652 = 4,3652ej89,93° кА.
Проверкой правильности вычислений является в данном случае уравнение первого закона Кирхгофа
IA + IB + IC = 0.
41
По результатам расчета строим векторную диаграмму токов на рис.
2.24.
Для построения топографической диаграммы напряжений вычислим падения напряжений на элементах схемы рис. 2.9.
UAn = ZAIA = 124,27 + j49,115 = 133,63ej21,56° кВ; UВn = ZВIВ= −29,638 − j56,392 = 63,706e -j117,73° кВ; UСn = ZСIС = 261,91 − j0,33782 = 261,91e -j0,074° кВ; UA′А = ZвхIA = 180,9 − j23,941 = 182,47e -j7,54° кВ; UВ′В = ZвхIВ = 79,328 − j121,36 = 144,99e -j56,83° кВ; UС′С = ZвхIС = −260,22 + j145,3 = 298,04ej150,82° кВ.
Сделаем проверку расчета по уравнению баланса мощностей
mm
ΣSист = Σ Ik2Zk,
k=1 k=1
где m − общее число ветвей. Для схемы рис. 2.9 имеем
ЕэАIA + EэВIB + EэСIC = IA2(Zвх + ZA) + IB2(Zвх + ZB) +IC2(Zвх + ZC).
Подставляя численные значения величин, получим: мощность источников
ЕэАIA + EэВIB + EэСIC = 188,37ej8,46 2,6726ej68,44° + 188,37e-j111,54°
2,1235ej117,73° + 188,37ej128,46°4,3652e-j89,93° = 1155,05 + j1045,68 МВ А;
Рист = 1155,05 МВт; Qист = 1045,68 Мвар;
мощность пассивных элементов цепи
IA2(Zвх + ZA) + IB2(Zвх + ZB) + IC2(Zвх + ZC) = 7,1426(33,209 + j109,66) + 4,5094(63,209 + j59,656) + 19,055(33,209 − j0,34432) = 1155,046 +
+ j1045,6812 МB A;
Рпотр = 1155,046 МВт; Qпотр = 1045,6812 Мвар.
42