УП Основы эконометрики

совместное нормальное распределение как линейные функции от yi .

Если гипотеза нормальности ошибок не выполняется, то нормальность оценок, вообще говоря, неверна. Однако при некоторых условиях

при n → ∞.

В этих условиях справедливы формулы интервальных оценок или

т. е. это вероятность того, что построенный нами доверительный интервал покроет истинное значение параметра a . Аналогично можно определить γ и для параметра b. Обычно значения доверительной вероятности

стандартизованы и принимаются равными 0,9; 0,95; 0,99; 0,999. Доверительный интервал для неизвестной дисперсии ошибок наблю-

распределения.

При статистическом исследовании реальной ситуации возникает необходимость не только оценить неизвестные параметры модели, но и проверить по отношению к ним некоторые гипотезы. Например, можно ли считать потребление пропорционально зависящим от дохода (a = 0)? Бу-

И, наконец, служит ли линейная зависимость адекватным отражением эмпирических данных?

21

Статистики, которые использовались для построения доверительных интервалов, могут использоваться и для проверки или тестирования гипотез о параметрах модели.

Так, для проверки гипотезы H0 : a = a0 против альтернативной гипотезы H1 : a ≠ a0 используется статистика

распределенная по закону Стьюдента с (n − 2) степенями свободы.

следует принять, т. е. считать, что результаты наблюдений согласуются с гипотезой H0 , не противоречат ей.

Для такого вида альтернативной гипотезы H1 область принятия H0

совпадает с доверительным интервалом для соответствующего неизвестного параметра: гипотеза H0 принимается на уровне значимости α ,

если построенный доверительный интервал для a (или b) в форме (2.9) (или (2.10)) покрывает гипотетическое значение параметра a0 (или b0 ).

Для проверки гипотезы H0 :σ 2 =σ02 , против H1 :σ 2 ≠σ02 может использоваться доверительный интервал (2.11). Гипотезу H0 принимаем с

уровнем α =1 −γ , если интервал покрывает значение σ02 .

При использовании современных статистических пакетов программ не требуется искать нужные квантили t -распределения (или χ2 -

распределения), поскольку в них (пакетах) рассчитывается уровень ошибки, с которой можно отвергнуть нулевую гипотезу и , если он меньше желаемого значения, либо равен ему, то нулевая гипотеза отвергается.

2.4. Верификация модели

Пригодность построенной модели ˆ = ˆ + ˆ или ее верификация, а y a bx

также качество оценивания регрессии может быть проверено двумя равноценными способами: дисперсионным анализом в регрессии и с использованием элементов теории корреляции.

22

1. Дисперсионный анализ в регрессии Суть метода заключается в разложении общей суммарной дисперсии

выходной величины y на составляющие, обусловленные действием

входных переменных-факторов, и остаточную дисперсию, обусловленную ошибкой или всеми неучтенными в данной модели переменными. Фактор оказывает несущественное влияние на y , если соответствующая ему

дисперсия и дисперсия ошибок статистически незначимы. Для проверки гипотезы о равенстве таких дисперсий используется критерий Фишера ( F -критерий). Поскольку для оценок дисперсий используются суммы квадратов SS (от англ. sum of squares) отклонений значений данной переменной от ее средней величины, то можно говорить о разложении общей суммы квадратов SS на составляющие. Этой идеи мы и будем

придерживаться далее.

Рассмотрим SSобщ. = Σ(yi − y)2 - величину, характеризующую разброс значений yi относительно среднего значения y . Разобьем эту сумму на

две части: объясненную регрессионным уравнением и не объясненную (т. е. связанную с ошибками εi ).

y

Рис. 2.4.

Тогда SSобщ. представляется в виде трех слагаемых:

23

словленная ошибкой.

Заметим, что вектор остатков регрессии ортогонален константе, т. е. sT e = Σei = 0 , вообще говоря, только в том случае, когда константа вклю-

чена в число объясняющих параметров регрессии. Поэтому (2.14) справедливо только в этом случае.

Коэффициентом детерминации, или долей объясненной дисперсии y , называется

В силу определения 0 ≤ R2 ≤1. Если R2 = 0 , то это значит, что регрессия ничего не дает, т. е. фактор x не улучшает качество предсказания yi по сравнению с тривиальным предсказанием yˆi = y .

Другой крайний случай R2 =1 означает точную подгонку: все наблюдаемые значения (xi , yi ) лежат на регрессионной прямой (все остатки

ei = 0 ).

Чем ближе к 1 значение R2 , тем лучше качество подгонки или качество регрессии, yˆ более точно аппроксимирует y .

Гипотеза об отсутствии линейной функциональной связи между x и y может быть записана как H0 : b = 0 . Критерий, статистика которого

(2.13) распределена по закону Стьюдента, эквивалентен здесь критерию, статистика которого

статистик дает в данном случае (для одномерной регрессионной модели) тождественные результаты.

24

Здесь через MSR и MSост. обозначены средние квадраты (от англ.

mean of squares), которые дают несмещенные оценки соответствующих теоретических дисперсий.

Используя коэффициент детерминации (2.15), получим для F - статистики

Вычисления, необходимые для дисперсионного анализа уравнения регрессии, обычно сводят в таблицу (табл. 2.1).

Таблица 2.1. Дисперсионный анализ одномерной регрессии

блюдений не противоречат предположению о ее линейности. В противном случае H0 : b = 0 принимается и постулируется отсутствие значимой

функциональной связи между x и y . Исходя из соотношения (2.16), малым значениям F -статистики будут соответствовать и малые значения коэффициента детерминации R2 (плохая аппроксимация данных).

25

2. Использование элементов теории корреляции Другой способ верификации линейной модели состоит в использова-

нии элементов теории корреляции. Мерой линейной связи двух величин является коэффициент корреляции, выборочное значение которого

Чем больше его абсолютное значение к 1, тем теснее связь между признаками. Положительная величина коэффициента корреляции свидетельствует о прямой связи между ними, отрицательная – о наличии обратной связи между признаками.

Вывод о значимости корреляции между x и y может быть сделан,

всего выражаемый в %). Он равен, как уже отмечалось, той доле дисперсии y , которая объяснена линейной зависимостью от x . Если rB = 0,9 ,то

это значит, что линейная регрессия y на x объясняет 81% дисперсии y .

Остальные 19% приходятся на долю прочих факторов, не учтенных в уравнении регрессии.

2.5. Интерпретация уравнения регрессии

Существуют два этапа интерпретации уравнения регрессии. Первый этап состоит в словесном толковании уравнения так, чтобы это было понятно человеку, не являющемуся специалистом в области статистики или эконометрики. На втором этапе необходимо решить, следует ли ограничиться этим или провести более детальное исследование зависимости, например, проверить по отношению к исследуемым переменным некоторые статистические гипотезы, либо улучшить качество и предсказательные свойства модели.

Представим простой способ интерпретации коэффициентов линейно-

го уравнения регрессии ˆ = ˆ + ˆ , когда и x - переменные с простыми, y

y a bx

естественными единицами измерения.

26

Во-первых, можно сказать, что увеличение x на одну единицу изме-

рения приведет к увеличению на ˆ единиц (в единицах измерения и y b

переменной x и переменной ). Здесь коэффициент регрессии ˆ есть y b

абсолютный показатель силы связи, характеризующий среднее абсолютное изменение результата y при изменении фактора x на единицу сво-

его измерения. Вторым шагом является проверка, каковы действительно единицы измерения x и y , и замена слова «единица» фактическим ко-

личеством.

Постоянная aˆ дает прогнозируемое значение y (в единицах y ), если

x = 0 . Это может иметь или не иметь ясного смысла в зависимости от конкретной ситуации. Если x = 0 находится достаточно далеко от выборочных значений переменной x , то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам; даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, мы не можем гарантировать, что это ее свойство сохранится при экстраполяции влево или вправо. В случае, когда интерпретация aˆ не имеет никакого смысла, эта константа выполняет единственную функцию: она позволяет определить положение линии регрессии на графике.

При интерпретации уравнения регрессии важно помнить о трех ве-

Поэтому вся интерпретация в действительности представляет собой лишь оценку. Во-вторых, уравнение регрессии отражает только общую тенденцию для выборки. При этом каждое отдельное наблюдение подвержено воздействию случайностей. В-третьих, верность интерпретации зависит от правильности спецификации уравнения.

В заключение, обратим внимание на то, что для линейного уравнения

уравнения регрессии значение эластичности в любой точке будет зави-

сеть не только от значения ˆ , но также и от значений и x в данной b y

точке.

2.6. Прогноз на основе линейной модели

Построенная адекватная модель может использоваться для прогнозирования. Оценка прогнозируемых величин в регрессионном анализе получается подстановкой в регрессию значений независимых переменных. Таким образом, прогноз на основе уравнения регрессии является условным типа: «если независимые переменные равны таким-то величинам, то зависимая переменная составит такую-то величину».

Рассмотрим подробнее задачу прогноза на основе линейной модели. Предположим, что мы хотим распространить нашу модель, содержащую две переменные, на другие значения независимой переменной и поста-

27

вить проблему прогнозирования среднего значения y , соответствующего некоторому данному значению x0 , которое может лежать как между выборочными наблюдениями от x1 до xn , так и вне соответствующего интервала. Наш прогноз может быть точечным или интервальным.

МНК-оценки (2.5). Обоснование этого факта можно найти, например, в [4].

Итак, M (yˆ0 x0 )= y0 = a + bx0 .

После постановки значений дисперсий и ковариаций МНК-оценок для линейной модели в форме (2.6) - (2.8) с точностью до значения неизвест-

ной дисперсии ошибок наблюдений σ 2 , получим

Последнее выражение в силу того, что Σxi = nx , может быть сведено

Отсюда видно, что дисперсия прогноза возрастает по мере удаления

ˆ (ˆ0 ). Тогда доверительный интервал для прогностического значения

D y

y0 можно записать в виде

28

Построением доверительного интервала решается задача интервального прогноза.

Рассмотрим пример построения линейной регрессии, статистического анализа полученных результатов и прогноза по модели.

Пример 2.2 [3]. Исследуем зависимость розничного товарооборота (млрд. руб.) магазинов от среднесписочного числа работников. Товарооборот как результирующую объясняемую переменную обозначим через y , а среднесписочное число работников (чел.) как независимую объяс-

няющую переменную (фактор или регрессор) – через x . На объем товарооборота оказывают также влияние такие факторы, как объем основных фондов, их структура, площади торговых залов и подсобных помещений, расположение магазинов по отношению к потокам покупателей, сезонность и др. Предположим, что в исследуемой группе магазинов значения этих последних факторов примерно одинаковы, поэтому влияние различия их значений на изменение объема товарооборота оказывается незначительно. То есть можно считать, что анализ зависимости производится в условиях гомоскедастичности ошибок наблюдений.

В табл. 2.2. во втором и третьем столбцах приведены значения соответственно объемов розничного товарооборота и среднесписочного числа работников, а в следующих столбцах – значения расчетных величин, необходимых для определения оценок коэффициентов линейной регрессии, их дисперсий и дисперсии случайной составляющей, а также статистик, необходимых для верификации модели.

Используем итоги столбцов 4-6 для определения оценок коэффициентов регрессии по формулам (2.5):

Таким образом, уравнение линии регрессии, найденное по результатам наблюдений, можно записать в виде

yˆ = −0,974 + 0,01924x .

Подставляя в это уравнение значения xi , определим yˆi (выравнен-

ные или вычисленные по модели значения результирующего признака). Заполнив столбцы 7-9 и определив итоги по этим столбцам, найдем

оценку дисперсии случайной составляющей или ошибки σ 2 :

29

Таблица 2.2. Результаты наблюдений и необходимые расчеты

для построения линейной регрессии

Для построения интервальных оценок параметров регрессии найдем по формулам (2.6), (2.7) оценки дисперсий точечных оценок этих параметров:

t0,95 = t(0,975;6)= 2,447 . Согласно формулам (2.9), (2.10) имеем

− 0,974 − 2,447 0,156 < a < −0,974 + 2,447 0,156 , 0,01924 − 2,447 0,0013 < b < 0,01924 + 2,447 0,0013

или

30