LR104

;

.

Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то согласно принципу независимости действия сил, под во втором законе Ньютона понимают результирующую силу.

Третий закон Ньютона (закон действия и противодействия): Два взаимодействующих тела действуют друг на друга с силами равными по значению и противоположными по направлению

,

где - сила действующая на первое тело со стороны второго; - сила, действующая на второе тело со стороны первого

Эти силы приложены к разным телам, всегда действуют парами и являются силами одной природы. Третий закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчета.

Для описания вращательного движения вводятся следующие динамические параметры: момент инерции, момент силы, момент импульса тела. Аналогами их в поступательном движении являются масса, сила, импульс тела.

Момент инерции.

Момент инерции материальной точки относительно какой-либо оси называется произведение массы этой точки на квадрат расстояния от ее оси:

Эта величина скалярная. Единица измерения - кг·м². В динамике вращательного движения момент инерции играет ту же роль, что и масса в динамике поступательного движения; определяет величину углового ускорения, получаемого телом под действием данного момента силы.

Момент инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

,

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами x, y, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного ц илиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси. Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r+dr. Момент инерции каждого полого цилиндра (так как , то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm – масса всего элементарного цилиндра; его объем . Если ρ – плотность материала, то и . Тогда момент инерции сплошного цилиндра

,

но так как - объем цилиндра, то его масса , а момент инерции

.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции J_C относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстоянии а между осями:

В заключение приведем значения моментов инерции для некоторых тел (тела считаются однородными, m – масса тела).

Тело	Положение оси	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиусом R	Ось симметрии
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара

Кинетическая энергия вращения

Р ассмотрим абсолютно твердое тело (абсолютно твердое тело – тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками (или вернее между двумя частицами) этого тела остается постоянным.), вращающееся около неподвижной оси, проходящей через него. Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами m₁, m₂,…, m_n, находящиеся на расстоянии r₁, r₂, …, r_n от оси.

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами m_i опишут окружности различных радиусов r_i и имеют различные линейные скорости v_i. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:

или

Используя выражение , получаем

,

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

Если сравнить формулы и для кинетической энергии тела движущегося поступательно, следует, что момент инерции – мера инертности тела при вращательном движении. Выведенная формула справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения тела, например, цилиндра скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, или движение маятника Максвелла (лабораторная работа 109), энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

,

где m - масса катящегося тела;

v_C – скорость центра масс тела;

J_C – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр его масс;

ω – угловая скорость тела.

Момент силы

М оментом силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора , проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу :

Здесь - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Модуль момента силы

где α – угол между и ;

- кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О – плечо силы.

Н айдем выражение для работы при вращении тела. Пусть сила приложена в точке В, находящейся от оси z на расстоянии r, α – угол между направлением силы и радиусом-вектором . Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dφ точка приложения В проходит путь и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

Учитывая , можем записать

,

где - момент силы относительно неподвижной оси. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идет на увеличении его кинетической энергии: , но , поэтому , или .

Учитывая, что , получаем

.

Это уравнение представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Момент импульса и закон его сохранения

При сравнении законов вращательного и поступательного движений просматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы «выступает» ее момент, роль массы «играет» момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент импульса тела относительно оси.

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

,

где - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А;

- импульс материальной точки;

- псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Модуль вектора момента импульса

,

где α – угол между векторами и , l – плечо вектора относительно точки О.

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса r_i с некоторой скоростью . Скорость и импульс перпендикулярны этому радиусу, то есть радиус является плечом вектора . Поэтому можем записать, что момент импульса отдельной частицы равен

и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульсов отдельных частиц:

.

Используя формулу , получим

то есть

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение по времени:

,

то есть

Это выражение – еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси. Скорость изменения момента импульса тела равна результирующему моменту всех внешних сил.

Можно показать, что имеет место векторное равенство

.

В замкнутой системе момент внешних сил и , откуда

.

Это выражение представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, то есть не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью, то есть инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

Продемонстрировать закон сохранения момента импульса можно с помощью скамьи Жуковского. Пусть человек, сидящий на скамье, которая без трения вращается вокруг вертикальной оси, и держащий в вытянутых руках гантели, приведен во вращение с угловой скоростью ω₁. Если человек прижмет гантели к себе, то момент инерции уменьшится. Поскольку момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется и угловая скорость вращения ω₂ возрастает. Аналогичной, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение.

Поступательное движение	Вращательное движение
Масса m	Момент инерции
Скорость	Угловая скорость
Ускорение	Угловое ускорение
Сила	Момент силы
Импульс	Момент импульса
Основное уравнение динамики	Основное уравнение динамики
Работа	Работа
Кинетическая энергия	Кинетическая энергия

Описание лабораторной работы 104

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ДИНАМИКИ И КИНЕМАТИКИ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА МАШИНЕ АТВУДА

Цель работы: проверка второго закона Ньютона и уравнений равноускоренного прямолинейного движения.

Приборы и принадлежности: автоматизированная машине Атвуда с грузами, снабженная фотоэлектрическими датчиками положения грузов, пусковым устройством, электронным секундомером; набор добавочных грузов.

Описание установки. Основные законы движения и кинематики поступательного движения могут быть проверены на машине Атвуда (рис. 1) Она состоит из вертикальной колонки 1 с миллиметровой шкалой. На верхнем конце установлен легкий блок 2, способный вращаться с малым трением. Через блок перекинута легкая нить с грузами Г₁и Г₂. Основание прибора опирается на регулируемые ножки 3, позволяющие установить колонку в вертикальное положение.

Для определения положения грузов в разные моменты движения на колонку надеты три кронштейна с указателем шкалы. Верхний кронштейн К₁ имеет дополнительную метку (черту) для согласования положения верхнего груза Г₂. Нижний неподвижный кронштейн К₃ снабжен амортизирующей подставкой, останавливающей движение грузов на конце пути. Верхний и средний кронштейны можно перемещать вдоль колонки и фиксировать зажимом в любом положении, задавая таким образом длину пути грузов.

Время движения определяется по электронному секундомеру С. Для этого на кронштейнах К₂ и К₃ установлены фотоэлектрические датчики ФД положения, сигналами от которых запускается или останавливается секундомер.

Блок 2 соединен с пусковым устройством, позволяющим удерживать грузы в начальном положении, запускать движение и останавливать их после пересечения грузом Г₂ светового луча одного их ФД.

Секундомер имеет кнопки «СЕТЬ», «ПУСК», «СБРОС» и справа тумблер Т переключения фотодатчика. Кнопка "СЕТЬ" при нажатии включает установку в электрическую сеть, "СБРОС" – убирает показания секундомера. При отжатом положении кнопки "ПУСК" блок с грузами удерживается пусковым устройством в начальном положении. С нажатием кнопки "ПУСК" блок освобождается и начинается поступательное движение грузов. В зависимости от положения тумблера Т секундомер отсчитывает время движения груза Г₂ либо между метками верхнего К₁ и среднего К₂ кронштейнов (положение тумблера Т – вверх), либо между метками среднего К₂ и нижнего К₃ кронштейнов (тумблер Т – вниз).

Грузы Г₁ и Г₂ имеют одинаковую массу . Если на правый груз Г₂ положить небольшой добавочный груз с массой , то под действием его силы тяжести вся система грузов начнет двигаться равноускоренно. Ускорение можно определить из решения уравнений движения двух грузов с массой и блока:

(1)

где и – силы натяжения левой и правой частей нити, – момент инерции блока, – его радиус, – момент силы трения относительно оси блока, - угловое ускорение, –ускорение свободного падения.

Определим силу трения, приложенную к нити,

(2)

и, решив совместно уравнения (I) и (2), получим

(3)

В этой формуле числитель представляет собой ускоряющую силу

(4)

Поскольку сила трения в ходе опытов остается постоянной, то при условии  ускорение грузов можно считать пропорциональным весу добавочного груза .

Формула. (3) представляет собой второй закон Ньютона для движения грузов на блоке. Проверить справедливость формулы можно, изучив зависимость между ускорением и силой тяжести добавочного груза . При этом ускорение системы определяется из формулы пути равноускоренного движения: .

График зависимости должен представлять прямую линию.

Упражнение I. Проверка второго закона Ньютона

Проверка состоит в установлении пропорциональности между ускорением и ускоряющей силой (4). Ускоряющая сила может изменяться путем подбора добавочных грузов при неизменной массе всей системы. В качестве добавочных грузов используются три кольца с массами . Если все добавочные грузы положить на основные Г₁ и Г₂, то перекладывании их с одного груза на другой масса всей системы останется неизменной. Изменяться будут только внешняя сила и ускорение грузов.

Необходимо выполнить работу в следующей последовательности:

1. Проверить нормальное положение колонки I. Груз Г₂ при вертикальном перемещении должен свободно проходить сквозь кольцевую подставку КП. Положение прибора можно выровнять регулируемыми ножками 3.