kontr

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С ОДНИМ ИСТОЧНИКОМ ПИТАНИЯ

Если необходимо определить токи во всех ветвях схемы с одним источником питания, при известных значениях параметров ее элементов, то задача решается методом свертывания схемы. Отдельные участки схемы упрощают и постепенным преобразованием приводят схему к одному эквивалентному (входному) сопротивлению относительно источника питания.

Схема упрощается путем замены группы последовательно или параллельно соединенных элементов одним эквивалентным сопротивлением (рис. 3).

Rэкв R1 R2 R3 6 .

Рис. 3

В некоторых сложных электрических цепях при свертывании электрических цепей встречаются соединения пассивных элементов, которые нельзя отнести ни к последовательному, ни к параллельному – соединения звездой и треугольником. В этом случае целесообразно провести взаимное преобразование: звезда – треугольник или треугольник – звезда.

При эквивалентной замене ветвей, соединенных трехлучевой звездой, ветвями, соединенными треугольником, сопротивления ветвей треугольника определяются по формулам:

18

При эквивалентной замене ветвей, соединенных треугольником, ветвями, соединенными трехлучевой звездой, сопротивления ветвей звезды рассчитываются по формулам:

После нахождения величины эквивалентного сопротивления (Rэкв), используя закон Ома, определяют ток, потребляемый от источника

питания. Токи в остальных ветвях исходной схемы определяют, пользуясь законами Кирхгофа и Ома.

АНАЛИЗ И РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

СНЕСКОЛЬКИМИ ИСТОЧНИКАМИ ПИТАНИЯ

1.Законы Кирхгофа. Расчет любой электрической цепи можно провести, используя законы Кирхгофа.

Уравнения составляются в следующем порядке. Определяют число ветвей (в) и узлов (у) в электрической цепи. Общее количество уравнений, которое необходимо составить, равно количеству неизвестных токов (количеству ветвей). По первому закону Кирхгофа составляют (у–1) независимых уравнений. Остальные уравнения составляют по второму закону Кирхгофа (в–у+1). Например, схема, показанная на рис. 4, имеет 6 ветвей и 4 узла, поэтому по первому закону Кирхгофа необходимо составить

19

3 уравнения (4–1) и 3 уравнения по второму закону Кирхгофа, так как число неизвестных токов равно числу ветвей.

Рис. 4

Для записи уравнений необходимо выбрать (произвольно) положительные направления токов в ветвях и направления обхода контуров. В уравнении, составляемом по первому закону Кирхгофа, токи, направленные от узла, записываются со знаком плюс, направленные к узлу, – со знаком минус. Для 1 узла схемы цепи на рис. 4 уравнение имеет вид:

I1 I2 I5 0 .

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа со знаком плюс записываются те слагаемые, в которых ток и ЭДС имеют направления, совпадающие с направлением обхода контура. Например, для контура 2 уравнение имеет вид:

R2 I2 R3 I3 R5 I5 R6 I6 E2 E3.

Решая систему уравнений, составленную по законам Кирхгофа, можно определить токи во всех ветвях схемы заданной цепи. Если в результате решения системы уравнений получаются отрицательные значения токов, то это означает, что истинные направления этих токов противоположны выбранным при составлении уравнений.

2. Метод контурных токов. Сущность метода состоит в уменьшении числа совместно решаемых уравнений путем замены реальных токов ветвей расчетными контурными токами. Благодаря этому число достаточных для расчета уравнений равно (в–у+1) – количеству независимых контуров схемы электрической цепи.

20

Расчет ведется следующим образом.

Выделяем необходимое число контуров, в каждом из которых протекает контурный ток. Произвольно задаемся направлением контурных токов; целесообразно все токи направить в одном на-

Рис. 5

Составляем для каждого контура уравнение по второму закону Кирхгофа. При этом направление обхода контуров выбираем совпадающим с направлением контурного тока. Для рассматриваемой схемы система уравнений имеет вид:

Так как направление обхода контура совпадает с направлением тока в этом контуре, то падение напряжения от этого тока записано со знаком плюс. В общих ветвях токи смежных контуров направлены противоположно току контура, поэтому падение напряжения от токов смежных контуров записано со знаком минус.

Решая систему уравнений, находят контурные токи. Токи в ветвях схемы определяются как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих через ветвь. Если направление контурного тока совпадает с направлением тока ветви, то он берется со знаком плюс, если не совпадает, – со знаком минус.

Так:

21

3. Метод междуузлового напряжения. В реальных электри-

ческих цепях часто несколько источников и приемников электрической энергии включаются параллельно. Схема замещения такой цепи, содержащей активные и пассивные ветви, соединенные параллельно, имеет только два узла (узлы 1 и 2, в схеме на рис. 6).

Рис. 6

Если схема содержит k источников тока и m источников ЭДС, то напряжение U12 между узлами:

n

Gi

i 1

Произведения Gi Ei и J j берутся со знаком плюс, когда Ei и J j направлены к узлу, потенциал которого условно принят за

более положительный (к узлу с первым индексом).

Напряжение U12 в электрической схеме, показанной на рис. 6, рассчитывается по формуле

Определив величину напряжения на параллельных ветвях, можно рассчитать токи в ветвях схемы по закону Ома для активной и пассивной ветвей:

22

4. Метод эквивалентного активного двухполюсника. Если при анализе сложных электрических цепей нас интересует состояние только одной ветви, то расчет рационально производить методом эквивалентного активного двухполюсника. Этот метод основан на том, что электрическую цепь, независимо от количества входящих в нее активных и пассивных элементов, относительно интересующей нас ветви можно заменить эквивалентным активным двухполюсником. Последний, в свою очередь, можно представить в виде схемы – источника напряжения (или тока). Весь расчет сводится к определению параметров этого источника. В случае представления двухполюсника схемой источника напряжения, его ЭДС равна напряжению холостого хода (Uхх), напряжению на разомкнутых зажимах ветви, в которой определяется ток, а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению (Rвх) электрической цепи относительно этих зажимов. Тогда искомый ток I определится из выражения

где R – сопротивление ветви, в которой определяется ток.

Рис. 7

23

В качестве примера рассмотрим определение тока I1 в схеме, показанной на рис. 7, а.

Ток в выделенном участке электрической цепи – a–b – в соответствии с методом эквивалентного активного двухполюсника определяется по формуле

I1 Uхх (R1 Rвх ) .

Вычислим напряжение холостого хода Uхх – напряжение на разомкнутых зажимах a–b. Для выделенного контура (рис. 7, б) запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:

Uхх R6Iх6 R4Iх4 E1,

откуда следует

Uхх E1 R4Iх4 R6Iх6.

Для нахождения токов, входящих в это уравнение, определим, используя формулу междуузлового напряжения, напряжение между узлами c и d:

Зная напряжение между узлами схемы, рассчитываем значения токов Iх4 и Iх6 :

Токи Iх4 и Iх6 можно определить и другими известными ме-

тодами, например методом контурных токов.

Подставив значения токов в выражение для напряжения холостого хода, можно получить его величину.

Для определения величины внутреннего сопротивления двухполюсника, равного входному сопротивлению Rвх электрической цепи относительно зажимов a–b, устраним из схемы, показанной на рис. 7, б, источники питания (закоротим источники ЭДС). В полученной эквивалентной схеме (рис. 8, а) преобразуем тре-

угольник сопротивлений R3 R4 R5 в звезду сопротивлений

Ra Rb Rc (рис. 8, б).

24

Рис. 8

Величина входного сопротивления рассчитывается по выражению

Подстановка в выражение для искомого тока I1 значений напряжения холостого Uхх и входного сопротивления Rвх позволяет определить величину тока.

Потенциальная диаграмма. Потенциальной диаграммой называется график зависимости (R), построенной при обходе замкнутого контура. Потенциальная диаграмма для контура рис. 9 показана на рис. 10. На участках, содержащих сопротивления, имеет место постепенное изменение потенциала .

25

Угол наклона , характеризующий это изменение, пропорционален величине тока, протекающего через этот участок электрической цепи. Знак угла определяется направлением тока. При совпадении положительного направления тока с направлением обхода контура знак отрицательный, при несовпадении их направлений – положительный. В идеальных источниках ЭДС потенциал изменяется скачком, поэтому источникам ЭДС соответствуют вертикальные участки потенциальной диаграммы.

АНАЛИЗ И РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Электрическое состояние цепей синусоидального тока, так же как и цепей постоянного тока, описывается уравнениями Кирхгофа, однако вычисления становятся более громоздкими, поскольку уравнения содержат тригонометрические функции. Для упрощения решения уравнений в электротехнике используется символический метод расчета, основой которого является математический аппарат комплексных чисел. При использовании этого метода синусоидальные функции заменяются комплексными числами – символами. Например, синусоидальной функции

Информацию о соотношении амплитуд напряжения и тока, а также о сдвиге фаз между ними дает значение комплексного сопротивления Z. Комплексное сопротивление – отношение комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока,

Z= Um Im .

Втабл. 6 приведены свойства идеальных элементов, с помощью которых анализируются цепи синусоидального тока.

26

Т а б л и ц а 6

Использование символического метода расчета, а также принципов и методов, применяемых для расчета цепей постоянного тока, позволяет рассчитать любую электрическую цепь переменного тока.

Задача. Рассчитать токи в ветвях электрической цепи синусоидального тока, показанной на рисунке, если:

U = 120 B, R1 = 10 Ом,

R2 = 24 Ом, R3 = 15 Ом,

L1 = 19,1 мГн, L3 = 63,5 мГн,

C2 = 455 мкФ, f = 50 Гц.

27